鄭慶全

（1．齊魯師范學院，山東 濟南 250013；2．山東省基礎(chǔ)教育課程研究中心，山東 濟南 250013）

當前估算教學：存在問題與解決策略

鄭慶全1，2

（1．齊魯師范學院，山東 濟南 250013；2．山東省基礎(chǔ)教育課程研究中心，山東 濟南 250013）

當前的估算教學引起了廣泛關(guān)注，存在著諸多困惑．通過調(diào)查梳理出內(nèi)容理解和教學認識方面存在如下問題：本體性內(nèi)容的邏輯關(guān)系認識不明確、與其它內(nèi)容之間的關(guān)系認識不清、應(yīng)用條件認識不足、估算結(jié)果的科學評價標準不清楚、教和學的認識模糊，教學的階段要求不明確．針對以上問題提出了“把握估算課程價值，確保育人價值實現(xiàn)；正確定位估算課程內(nèi)容及其教學；堅持估算的特殊教學原則；把握估算課程內(nèi)容特征，采取針對性的教學策略”的解決策略和“深入研讀課標及其解讀，把握課程的基本要求；整體梳理估算課程內(nèi)容，有序逐步實現(xiàn)達標”的建議．

估算教學；問題；策略

自20世紀70年代以來，世界各發(fā)達國家開始把估算作為數(shù)學基本修養(yǎng)的一部分而引入中小學數(shù)學課程[1～2]．在國內(nèi)，估算內(nèi)容是在20世紀90年代以后的小學數(shù)學大綱和教材中首次作為選學內(nèi)容引入的．在新一輪課程改革中的義務(wù)階段數(shù)學課標實驗版把估算作為必學內(nèi)容，在2011年修訂版中又進行了調(diào)整以進一步明確和清晰．在針對2011年課標修訂版的山東省小學數(shù)學教師全員遠程研修中，估算教學作為突出的困惑問題被廣大教師提了出來，這里擬在對這些困惑初步梳理的基礎(chǔ)上，明確存在的問題，進一步提出解決的策略建議．

1 當前估算教學中存在的問題

通過借助2012年山東省小學數(shù)學教師全員遠程研修的網(wǎng)上在線平臺調(diào)查了解到，估算教學在實踐中存在著許多困惑．

1.1 現(xiàn)象描述

估算雖在小學數(shù)學課程內(nèi)容中所占比重不大，但一線教師和學生存在的困惑卻不少．比如，

（1）為了“估算”而“估算”．如教學中常要求學生估算“325+186≈、234-75≈”．感受必然是：教師在帶著孩子“走教案”，讓學生做什么學生就做什么，幾乎沒有體驗與參與；學估算只是老師讓學生估學生就估，只在課堂上有用． 由此，學生的估算學習必然是“教師讓‘估’就‘估’，教師讓精確計算就精確計算”，對“為什么要估算”“什么時候需要估算”，學生很茫然，他們體驗不到“估算”的必要性，也不能正確選擇何時估算何時精確計算．顯然，這種“估算”教學的實際與課標的要求相去甚遠．

（2）估算方法的多樣化使教師不知如何評價．如262+173+208+145，262可估成300，也可估成200；145可估成150，也可估成100，所以估算結(jié)果莫衷一是．于是，“那么多的估算方法，到底哪個對啊？”這樣的問題經(jīng)常見到．

（3）僅把“估算”看作一種具體的技能教給學生．如，常讓學生解決這樣的問題：“電話機（148元）比自行車（350元）大約便宜多少元？”要求學生不能精確到百位，要精確到十位進行估算，以追求比較精確的結(jié)果．這樣“估算的結(jié)果最接近精確數(shù)就是最好的估算嗎？”的問題就出現(xiàn)了．

（4）如何表征估算成為困惑的問題．如，當估算以“解決問題”形式出現(xiàn)的時候，要不要列算式呢？怎么列算式？而參考書和課本上都沒有，教師由于自身理解的不同，就出現(xiàn)了比較混亂的教學現(xiàn)象．

因此，估算教學的現(xiàn)狀被教師們形象地描述為“三很”：教材很重視、教師很為難、學生很迷惑．

1.2 問題梳理

上述現(xiàn)象暴露出了當前估算教學中存在的一些問題，這些問題集中在對估算課程內(nèi)容的理解和教學的認識及要求等方面．

1.2.1 內(nèi)容理解

（1）本體性內(nèi)容的邏輯關(guān)系認識不明確．

雖然估算的課程目標和內(nèi)容標準在課標中已經(jīng)比較明確，但是具體的知識層面內(nèi)容則需要通過教材來呈現(xiàn)，由于教材版本較多，許多教材在編排上沒有很好體現(xiàn)估算，導致估算的邏輯體系不太明確，教學素材有些混亂．從教學素材內(nèi)容角度來講，主要有3類估算：一是純數(shù)學類估算，主要是直接給出數(shù)據(jù)來估算運算結(jié)果，要根據(jù)數(shù)據(jù)特點來估算，這在教材中主要安排在各種運算內(nèi)容的學習中，表現(xiàn)為要求估算；二是應(yīng)用類估算，常見形式是在應(yīng)用題中，這種情況的最大特點是情境；三是計算時的估算，即檢驗結(jié)果是否正確，這種情況是應(yīng)用估算監(jiān)控筆算，此時估算通常表現(xiàn)為兩種形式，先估算再筆算和先筆算再估算，這樣就可通過估算來檢驗筆算，有助于學生養(yǎng)成檢驗習慣．其中，前兩者是常見估算情境，這些情境本身可能就對估算提出了精確度要求；而計算時的估算目的是預(yù)估計算結(jié)果或者檢驗計算結(jié)果．這3類估算在教材中分散編排在各章節(jié)中，而且又需要根據(jù)不同具體情況靈活選擇，從而導致師生對它們本身邏輯關(guān)系不明確．

（2）與其它內(nèi)容之間的關(guān)系認識不清．

對于估算，有許多內(nèi)容與其有密切關(guān)系，理清這些關(guān)系，能夠反映數(shù)學學習和教學的整體聯(lián)系思想，從而促進學生的數(shù)學理解．比如，估算與數(shù)感的培養(yǎng)以及實際生活的情境有密切關(guān)系，這是課標培訓比較重視的方面．在國培課標培訓中，有專家明確指出，估算是與具體情境聯(lián)系在一起的，脫離具體情境不談估算，估算是解決問題的一種策略．通過培訓，教師們在這些方面是比較明確的．然而，對于估算和口算、精算、以及近似計算的區(qū)別和聯(lián)系則比較困惑．在現(xiàn)實中的表現(xiàn)是，估算學習中發(fā)現(xiàn)許多學生在精算基礎(chǔ)上再進行四舍五入得到估算結(jié)果，而評價中只關(guān)注結(jié)果卻忽略了估算過程，從而導致學生的估算學習完全違背了課標要求的估算教學的要義．

（3）應(yīng)用條件認識不足．

教學中經(jīng)常見到的一種情況是：學生不知道在什么情況下選擇用估算，而這時通過老師的教學傳遞給學生的信息是：一看見有“大約”“大概”等字樣，就開始用估算來解決．例如這道題：

一個小型企業(yè)每月大約產(chǎn)生35千克垃圾，某村有3個小型企業(yè)，一年大約要產(chǎn)生多少垃圾？

對這個問題，許多學生是這樣解答的：35×3=105，105 ×12=1 260，此解答顯然是精算而不是估算，雖然本題中出現(xiàn)了“大約”字樣．特別需要指出的是，“大約、夠不夠、能不能”這類表述的詞語并不是要求估算的標志，不要一看到這些詞就誤認為是要求估算．其實，估算僅是解決問題的輔助策略之一，是為解決問題提供參考的．那么，這道題用估算來解答可不可以？單就數(shù)學題目的解決來講，這是不合適的．但是作為解決這一問題的輔助手段是可以的：一個小型企業(yè)每月大約生產(chǎn)35千克垃圾，3個小型企業(yè)一個月大約100千克，這樣的話一年就大約生產(chǎn)垃圾1 200千克，然后就可以對問題有一個初步結(jié)果，但這個結(jié)果是不能作為這一問題的答案的，這一問題的答案只能是精算的結(jié)果．雖然學生將35×3的結(jié)果自動地看作100是一種良好數(shù)感的體現(xiàn)，但這里的估算僅是一種解決問題的輔助手段而已．因此下面的認識是不妥的：認為這一問題有兩種解決方法，一種是估算，一種是精算，只是精確度不同，由于估算的精確度低一些，所以兩種方法相比較而言，精算比估算的方法要好．

（4）估算結(jié)果的科學評價標準不清楚．

由于估算結(jié)果的特點是不精確，因此會有多個結(jié)果，這些結(jié)果雖然沒有對錯之分，但是有精確度高低之分，所以這給估算的學習評價造成了困難．有相當一部分教師簡單地用精算的評價標準去評價估算的結(jié)果，導致出現(xiàn)許多困惑．比如，若要求估算192+219的結(jié)果，有如下一些解答：

這些解答中，有的是估兩個數(shù)，有的是估一個數(shù)，有的以百為單位，有的以十為單位．教師如何評價呢？首先必須肯定，這6種估算方法都是對的．其次，本題目涉及到量級的選擇問題．課標中第一學段要求是“能結(jié)合具體情境，選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單的估算”，怎么理解適當?shù)膯挝?？對單位來講，主要有兩方面：一是計量單位，一是計數(shù)單位．這個題目涉及到計數(shù)單位的選擇問題．這里的適當指的是要結(jié)合具體情境．對本題來講，計數(shù)單位選擇十或者百都是正確的，只不過精確度不同．因此，評價估算的好壞，雖然可以把精確程度作為標準之一，但不是唯一標準，有時問題情境發(fā)揮著重要作用，比如限制時間等．

1.2.2 教學認識和要求

（1）教和學的認識模糊．

什么是估算？它與精算（筆算）有何聯(lián)系？為什么學估算？學估算有什么用處？在什么情況下用精算、什么情況下用估算？這些問題在學生和教師中比較常見，反映了很多一線教師和學生對估算的認識比較模糊，加之估算方法多樣，估算學習評價標準不明確，而其它內(nèi)容的評價標準不能簡單地移植適用，這導致學生認為估算“只在課堂上有用”，而何時估算取卻決于教師讓估就估，缺乏對估算需要情境的認識．其實，估算的主要目的是做出一種判斷或決定；就估算與精算的關(guān)系而言，估算是高于精確計算的一種綜合能力，它與口算和數(shù)感具有密切的關(guān)系，估算課程內(nèi)容主要涉及估算策略和估算方法．

（2）教學的階段要求不明確．

估算的課程內(nèi)容是有難度的，主要由3個因素決定：一是數(shù)字的特點，比如整十和整百要容易一些；二是所用的運算種類決定的，比如，一般來講，乘法要比加法難一些，除法比乘法難一些；三是要求的精確度決定的，要求的精確度越高，越需要進行多次調(diào)整，這樣就增加了難度．從難度上可以看到對于估算教學的階段性要求，調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，許多老師對估算的階段教學要求不明確．如以下問題（人教版小學數(shù)學三年級上冊第70頁的估算教學）就是教學的一個難點：

每張門票8元，29個同學參觀，帶250元夠嗎？

教材中呈現(xiàn)的解法是：“因為29接近30，30×8=240．所以29×8≈240（元）”．教材設(shè)計這個題目的目的是讓學生結(jié)合具體情境進行估算并解釋估算過程，使學生體會到估算的必要性，進而找出可以把這個數(shù)看成最接近的整十、整百的數(shù)來估算的方法．即把29×8估算成30×8，剛好可以解決問題．這樣，題目出得好，數(shù)字選得也好，讓學生體驗到了估算的價值，也就達到了教學的目的．因此，估算教學中，設(shè)計好的題目，斟酌好的數(shù)據(jù)，提出好的問題，對于在解決問題過程中培養(yǎng)學生的估算意識很重要．

但是，在教學中，許多老師則又把數(shù)據(jù)29改成32，這時仍用剛才的方法估算，取估算值240進行判斷，就會造成估算結(jié)果與實際相矛盾的情況，這表明估算在這里暫時失效，但這是正常的．然而，對問題解決來講還沒有最終完成，還需要進一步思考：32比30多還是少？多多少或者少多少？仍然可以做出判斷：在多2的情況下，會比估計值多2 ×8=16元，再考慮到240元，帶250元顯然是不夠了．這里其實涉及到估算的二次調(diào)整問題，對三年級的學生來講，難度就增加了，因此把這樣需要二次調(diào)整能夠有效解決的問題應(yīng)放在更高的年級（對原題來講，由于是把29×8估算成30×8，因此沒必要考慮二次調(diào)整的問題），而對三年級學生就沒必要，這里重要的是三年級學生估算意識的培養(yǎng)問題．本來題目是好題目，數(shù)據(jù)是好數(shù)據(jù)，一個題目解決一個問題，對三年級學生來講，這樣的問題就可以不講，但是對個別學生的疑問應(yīng)該耐心地給他們解答，如果聽不懂的話，就告知題目的結(jié)果，要他們在課下或者查找相關(guān)材料進行學習，切不可非要一股腦把所有問題都集中到一起，這樣由于集中了難點給學生的估算學習帶來了更大的困難，因此估算的教學有個階段性和發(fā)展性，不能一蹴而就．

2 解決策略

仔細研究問題出現(xiàn)的原因?qū)⒂欣趩栴}的解決，下面將在分析原因的基礎(chǔ)上尋求解決問題的策略．

2.1 原因分析

雖然估算內(nèi)容占數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的比重很小，但是卻為什么會出現(xiàn)這么多的問題？其原因是多方面的，這里把主要原因歸結(jié)如下：

（1）課程標準中對估算的課程內(nèi)容界定不明確，系統(tǒng)性不強．

盡管2011版的義務(wù)數(shù)學課程標準對估算內(nèi)容和要求做了進一步的修訂、明確和深化，但是對于估算來講，這些內(nèi)容還是顯得比較單?。?，2011版的數(shù)學課程標準在學段課程目標和學段課程內(nèi)容中分別對估算提出的要求是：

學段課程目標：第一學段：（知識技能·1）在具體情境中，能選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單的估算；（數(shù)學思考·1）在運用數(shù)及適當?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實生活中的簡單現(xiàn)象，以及對運算結(jié)果進行估計的過程中，發(fā)展數(shù)感[3]．第二學段：（知識技能·1）理解估算的意義[3]．

學段課程內(nèi)容：第一學段：（數(shù)與代數(shù)·數(shù)的運算·6）能結(jié)合具體情境，選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用（參見例6）[1]．第二學段：（數(shù)與代數(shù)·數(shù)的運算·9）在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算（參見例26、例27）[3]．

由以上可以看出，盡管課標中對估算課程內(nèi)容和要求有些界定，但是對教師來講仍顯得不明確，系統(tǒng)性不強．比如，在加、減、乘、除等各種計算中如何利用估算預(yù)估或者檢驗結(jié)果正確性等內(nèi)容則在課標中的相關(guān)部分中都沒有涉及．

（2）教師對估算課程內(nèi)容理解不深且缺乏相應(yīng)教學經(jīng)驗借鑒．

“教師對估算內(nèi)容不熟悉、教學經(jīng)驗積累單薄以及過分追求估算解決問題的結(jié)果”也導致以上問題的出現(xiàn)．由于估算內(nèi)容是在新一輪（第八次）基礎(chǔ)教育課程改革中新添加的必學內(nèi)容，所以教師在這方面缺乏成功的教學經(jīng)驗借鑒，而且易把以往一些關(guān)于精算的教學經(jīng)驗不適當?shù)剡w移到估算教學內(nèi)容中．比如，許多老師認為估算的結(jié)果有唯一答案，當面對學生的許多答案時不知如何評判；當估算對解決問題無效時不知如何評判甚至對估算結(jié)果感到無法接受，等等．

（3）缺乏關(guān)于估算教學的專題性系統(tǒng)參考材料和針對性系統(tǒng)性的指導．

關(guān)于估算教學雖然已有許多研究，如有一些集中在估算能力、估算策略和估算意識方面[4～6]．從中國基礎(chǔ)教育期刊全文數(shù)據(jù)庫（1994—2012）中精確搜關(guān)鍵詞“估算”共有5 616條記錄，精確搜關(guān)鍵詞“估算教學”共有349條記錄；精確搜篇名“估算”共有1 540條記錄，精確搜篇名“估算教學”共有222條記錄．但是對于估算及其教學的專題性系統(tǒng)性研究和對估算及其教學的針對性系統(tǒng)性指導的研究明顯不足，尚需作進一步研究和探討．

（4）以往精算教學的思想根深蒂固地影響了估算的學習和教學．

在教學中經(jīng)常見到，很多學生在做估算的題目時，會先把準確值算出來，再利用準確值來估算．究其原因，一是有些學生對估算的意義不理解，以為用正確值來估計是一個高明的辦法，實際上是不明白為什么要估算；二是有些題目用筆算也很簡單，學生覺得不需要估算就直接可以得出正確值，沒必要用估算；三是教學時一般先學計算準確值，這樣就使得學生有了先入為主的印象，影響了估算的學習．這樣的估算教學，顯然是與課標的要求是背道而馳的．事實上，課標中的估算是指在一定的范圍內(nèi)對計算結(jié)果的大致估計，它是在不要求準確值或者難以求出準確值的情況下，在允許范圍內(nèi)迅速找出的計算結(jié)果，目的是及時做出決策．因此，估算要比一般的計算要求更高，它更加挑戰(zhàn)思維，要求學生要有良好的數(shù)感和靈活綜合運用所學知識的能力．

2.2 策略建議

針對當前估算教學中的問題，結(jié)合原因分析，提出如下策略建議：

2.2.1 解決策略

（1）把握估算教學價值，確保育人價值實現(xiàn)．

估算的重要性日益突出，“隨著社會的發(fā)展，人們越來越注意到估算的重要性．在很多情況下，估算結(jié)果與精算結(jié)果是同樣適用的，甚至比精算結(jié)果更可取”[7]．估算課程內(nèi)容在實驗版和修訂版課標中的確定和保持，標志著對估算教育價值的認可：應(yīng)用估算不僅可以支持探索筆算方法，而且可以預(yù)測、解釋計算結(jié)果、監(jiān)控筆算的得數(shù)，表現(xiàn)為先估算再筆算和筆算后再估算等；同時，估算又是應(yīng)用解決實際問題較廣的一種有效方法．在數(shù)學課程中強調(diào)估算的主要原因，“一是與數(shù)學應(yīng)用有關(guān)，畢竟日常生活中經(jīng)常遇到的是估算而不是精確的計算，估算可以使數(shù)字與真實生活情境聯(lián)結(jié)起來，不至于使數(shù)字失去意義，并能判斷數(shù)字在情境中需要的精確程度；二是源自對數(shù)意識（數(shù)感）的重視．事實上，估算涉及理解數(shù)字大小、小數(shù)與分數(shù)系統(tǒng)、修正調(diào)整數(shù)字的能力．而這些能力均包含在數(shù)意識的幾項特征中，因此，估算與數(shù)意識密切相關(guān)．若能擁有良好的估算能力，則對促進數(shù)意識亦有幫助”[8]．另外，估算作為檢驗精算是否正確的一種方法也是一個不可忽視的原因．

（2）正確定位估算與估算教學．

關(guān)于估算教學中出現(xiàn)的問題，要注意區(qū)分兩個方面的問題：一是關(guān)于估算內(nèi)容本身的問題；二是估算教學中的問題，前者反映的是學術(shù)數(shù)學層面，而后者反映的是課程數(shù)學層面．在教學中需要正確定位估算與估算教學．

學術(shù)數(shù)學定位．從數(shù)學的角度來看，估算是在算的基礎(chǔ)上進行數(shù)量化的判斷，它是一種從模糊到逐漸清晰的數(shù)量化過程，是一種在算基礎(chǔ)上的合理假設(shè)和猜測．估算課程內(nèi)容的學術(shù)數(shù)學定位有利于保證其正確性和合理性．這一定位主要是為估算的教學尋找科學的根據(jù)，盡管估算的課程內(nèi)容與實際生活有密切的聯(lián)系，但是作為課程的估算應(yīng)該是有它的科學性的，離開的科學性是不能作為課程內(nèi)容的，其科學性就來源于學術(shù)的數(shù)學，學術(shù)的數(shù)學保證估算課程內(nèi)容的科學性．

課程數(shù)學定位．課程數(shù)學的估算定位，強調(diào)培養(yǎng)學生的估算意識、估算技能、估算能力和估算習慣（自動化）．在教學中，要注意根據(jù)估算目的盡可能追求估算結(jié)果的精確性、追求估算過程的合理性、追求估算評價的導向性．這一定位主要是從教育的視角來考慮的，即要從學生認知的視角來看待估算的課程內(nèi)容，要結(jié)合學生的認知水平對估算的課程內(nèi)容做出取舍，要進行教學法加工．

（3）堅持估算的特殊教學原則．

目前情況下，面對估算部分課程內(nèi)容的教學，應(yīng)該堅持哪些原則呢？

一是小學生認知水平性原則．估算的一些內(nèi)容是受到學生已有的知識經(jīng)驗制約的[9]，要根據(jù)學生已有的知識經(jīng)驗來確定估算教學內(nèi)容與方式，要注意多進行學情調(diào)研，切實把握學生的認知特點，有針對性地進行估算教學．

二是生活實際性原則．估算與生活具有密切的關(guān)系，自覺地運用估算有利于解決生活中的問題．教學中可以充分利用這一特點，貼近學生的現(xiàn)實，進行貼近學生生活的針對性地估算教學．“創(chuàng)設(shè)更多的機會接觸現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實踐中的數(shù)學問題，使學生意識到在他們周圍的某些事物中存在著數(shù)學問題，體會到估算的必要性和優(yōu)越性．”[4]

三是估算意識滲透性原則．估算作為一種解決問題的策略，重要的是具有應(yīng)用估算的意識，因此在估算教學中要特別注意滲透估算意識，幫助學生逐步養(yǎng)成自覺運用估算輔助解決問題或者正確及時做出決策的習慣．

四是直觀性原則．數(shù)學的學科特點是具有抽象性，抽象性的數(shù)學課程內(nèi)容非常需要直觀性的解讀，估算教學也不例外，特別是對低年級的估算教學，要善于借助合適的情境和呈現(xiàn)方式，在估算的過程中要注意運用以上提出的表征方式，這樣的直觀性教學有利于學生估算的學習．

（4）把握估算課程內(nèi)容特征，采取針對性的教學策略．

一般來講，估算內(nèi)容具有4個基本特征：綜合運算、方法多樣、估算結(jié)果多種、應(yīng)用廣泛（主要為決策服務(wù)）．綜合運算突出了估算在綜合性的同時具有運算的特點；方法多樣是指可以根據(jù)問題不同特點采用不同方法進行估算；估算結(jié)果多種是指估算結(jié)果不唯一，只有好壞之分而無對錯之分，而區(qū)分結(jié)果好壞的一般標準是能否解決問題或者精確程度；應(yīng)用廣泛（主要為決策服務(wù)）是指一般強調(diào)直觀整體上快速把握事情的全局，以利于做出決策及時處理面臨的問題．針對這些特征，在估算教學中要注意選擇針對性的教學策略．

一是要注意選擇好的情境和問題．估算離不開情境，只有適合的情境才是估算教學所需要的，否則，估算教學就失去了應(yīng)有之義，更達不到課標對估算教學的要求．同時要注意選擇好的估算題目，要注意仔細斟酌題目中的數(shù)據(jù)，想清楚通過這些數(shù)據(jù)解決什么問題，這樣才能確保真正的估算教學．

二是要注意估算教學的階段性．估算教學內(nèi)容中是有難度之分的，影響這種難度的主要因素有問題本身的難度、所用運算的難度和調(diào)整改進的難度．要注意按照課標的要求和學生的認知水平，恰當定位估算教學內(nèi)容的難易程度，確保對估算意識和估算能力的培養(yǎng)要做到心中有數(shù)，循序漸進．

三是要對估算學習進行合理的評價．估算學習的評價之所以引起關(guān)注，主要是因為估算策略的多樣化和結(jié)果的不唯一．對估算的評價，要注意引導學生對估算的策略進行優(yōu)化，對估算的結(jié)果進行調(diào)整．估算學習的評價不是簡單地對估算結(jié)果進行對錯判斷，而是要全面、科學和及時地對學生估算學習進程中的策略和結(jié)果做出評價，在評價時要注意評判估算結(jié)果好壞的標準：一是與估算的過程與方法有關(guān)系，對于一個估算問題，可以用多種方法進行估算，這些方法具有好壞之分而沒有對錯之分，好壞的標準是能否解決問題和精確程度；二是估算過程中要注意根據(jù)即時獲得的信息進行及時的調(diào)整，確保估算能為正確決策提供幫助；三是估算的學習評價最好要求學生參與進來，讓他們表達自己的看法，最后形成共識，這樣有利于學生對估算內(nèi)容的學習．“加強對估算的教學評價，雖然估算不同于精確計算，沒有固定的答案，考查具有一定的難度，但評價的形式是多樣的，因此可以采取不同的評價方式，在教學過程中評價，并把這些評價結(jié)果作為期末評價學生數(shù)學成績的一個方面．”[4]

2.2.2 做法建議

（1）深入研讀課標及其解讀，切實把握教學的基本要求．

通過課標修訂版的完善和課標解讀，估算內(nèi)容進一步得到了明確和深化，比如第一、二學段的課程內(nèi)容標準分別是：能結(jié)合具體情境，選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單估算，體會估算在生活中的作用；在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算．關(guān)于兩個學段對于估算的要求，在課標解讀中特別指出兩者側(cè)重點不同：

“第一學段的估算強調(diào)在具體的情境中選擇合適的單位，例6中是選擇了1 000人作單位．一般來說，估計教室的長度時，通常以‘米’為單位；估計書本的長度時，通常以‘厘米’為單位．也可以用身邊熟悉的物體的長度為單位，如步長、臂長等，進而體會估算在生活中的作用．第二學段強調(diào)學生在解決問題的過程中，選擇合適的方法進行估算．這個問題可以是實際問題，也可以是數(shù)學本身的問題．課標中的兩個例子，一個是現(xiàn)實問題，一個是純數(shù)學問題．例27就是一個數(shù)學問題．也可以鼓勵學生用自己的方法進行估算．”[10]

又如，對于估算和精算的關(guān)系問題，在2011年版課標解讀中做了解釋：

估算在解決實際問題中經(jīng)常用到，估算與精算相互補充，在實際運用中有不同的功能．對于一些問題可能只需要估算，沒有必要一定要精算．如購物時，選擇一些物品后，先估計一下大約需要多少錢，自己帶的錢是否足夠（課標例6）[10]．有時在精算的過程中也用到估算．如乘法運算時先估計結(jié)果是幾位數(shù)，可以簡單判斷結(jié)果是否正確[10]．

以上這些解讀或者解釋，有利于教師明確和深入理解課標對培養(yǎng)學生的估算意識、估算技能、估算能力以及靈活選擇合理的算法來解決問題的基本要求．

（2）整體梳理估算課程內(nèi)容，逐步有序?qū)崿F(xiàn)達標．

估算的課程內(nèi)容在教材中比較分散，往往安排在相應(yīng)的精確運算內(nèi)容中，而在教學時則需要整體梳理估算各部分內(nèi)容，以利于有序逐步實現(xiàn)課標中的要求．梳理方式方法有多種，比如可以大致歸納為如下幾個方面：

一是估算概念、過程和策略問題．關(guān)于估算概念，有兩種描述：一是側(cè)重于發(fā)生過程，認為估算是通過心算而得到問題合理的近似答案的過程，具有“以快速的心算為主要計算方式，以合理的猜測代替精確的計算結(jié)果，心算、數(shù)概念及各種計算技巧的綜合運用”的特點；二是側(cè)重于本質(zhì)層面，認為估算是指無法或沒必要進行精確的數(shù)字處理或數(shù)字運算，只對其中的一種數(shù)量關(guān)系進行合理推斷的一種能力，估算有時也是為了檢驗精算是否正確的一種方法；針對估算過程的調(diào)查研究認為，“在7年級學生直至成人中，好的估算者使用3種估算過程：一是精簡，改變數(shù)據(jù)資料，即通過對數(shù)字的四舍五入、截斷取值和兼容等相關(guān)的技能把數(shù)字重新改變成在心理上更友善的形式．如，用6+8+4來估算632+879+453，或用7 200÷60來估算7 431÷58；二是轉(zhuǎn)化，改變問題的結(jié)構(gòu)，即把數(shù)學結(jié)構(gòu)改變?yōu)橐粋€更容易的形式，如使用4×80來估算78+82+77+79的和，或者在估算百分數(shù)時轉(zhuǎn)換為小數(shù)或分數(shù)；三是補償，反映數(shù)學的變化，也即在心算之前或之后對結(jié)果進行補償調(diào)整，使估算結(jié)果更接近精確值”[6]；針對估算策略研究顯示，“一個好的估算者至少擁有3種策略（Sowder，1992）：一是重組，改變數(shù)字數(shù)據(jù)以改變心算；二是轉(zhuǎn)換，把原來結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)成更易處理的形式；三是調(diào)整，計算中及計算后，可調(diào)整估計值至較接近的近似值．”[8]“研究表明，估算策略技能的短期指導、干預(yù)對四～五年級（10歲左右）兒童的估算策略選擇有更大的影響”[6]．以上這些研究，有助于教師深刻理解估算的教學內(nèi)容，從而提高對估算教學的認識．

二是估算的表征問題．估算中，有一個非常值得研究的問題就是表征問題，因為表征涉及到的是估算思維過程的呈現(xiàn)，因此對于估算學習、教學和研究具有重要意義．所謂估算表征，就是在進行估算時怎樣即時記錄估算的思考過程．在教學中怎樣表征估算比較好呢？下面的做法值得

參考：

以上表征中，用“↓”表示把某數(shù)估為某值，沒有估的數(shù)值就不用標出；用“≈”表示估算的結(jié)果．如①中表示把195估為200．初步的教學實踐表明，這樣的表征能夠很好地暴露和展示估算的思考過程，有利于學生和教師對估算的學習和教學，同時有利于研究估算及其教學．

三是估算與其它知識之間的聯(lián)系問題．若把估算當作孤立的點知識進行教學，肯定達不到課標要求的效果，這就需要建立估算與相關(guān)知識的聯(lián)系．目前在估算的教材編寫和教學中這一問題尤其突出．事實上，估算與其它知識具有密切的關(guān)系：估算是與精確計算（筆算、口算）相伴隨的數(shù)的運算；估算是一種粗略的近似計算；估算可以滲透到測、計和算的各種情境中；從應(yīng)用的視角來講，不必要運用精算的時候大多可用估算來解決實際問題，可能也正是因為估算有情境要求才顯出其不同于精算的教學價值．

四是估算的應(yīng)用情境和估算意識的培養(yǎng)問題．估算的教學離不開估算的情境，何時用估算往往由問題的情境來決定．要注意根據(jù)情境來決定是否選擇估算來思考和解決問題，“由于估算一般都與實際問題有關(guān)，因此，估算技能的訓練應(yīng)注意設(shè)置有意義的背景．研究表明，背景的使用在兩個方面提高了學生的能力：首先，估算背景可以幫助學生克服將在該背景中所需的運算概念化的困難（如某數(shù)乘以比1小的數(shù)得到“更小的”數(shù)）；其次，估算背景還可以幫助學生回避運算規(guī)則的回答（如在使用小數(shù)時，能夠在小數(shù)點后截去基本上沒有意義的數(shù)位）（Morgan, 1988）．”[8]同時，要注意根據(jù)估算的情境靈活選擇對已有數(shù)值的處理方法：大估、小估與大小估，必要時根據(jù)問題具體情況進行調(diào)整．估算的應(yīng)用與估算意識具有密切的關(guān)系，一般來講，估算意識越強，越有利于選擇估算策略迅速做出決策或者解決問題，因此培養(yǎng)學生的估算意識有利于學生養(yǎng)成運用估算解決問題的習慣，同時也可以培養(yǎng)學生的數(shù)感．

五是關(guān)于估算結(jié)果與評價的問題．與精算最大的不同是估算的結(jié)果不唯一，其結(jié)果是一種模糊粗略直觀的近似值，而且大多不準確，有時準確程度未必明確．估算結(jié)果與精確值的關(guān)系可以用精確度來衡量，一般來講，越好的估算，精確度越高，但也有例外，比如估算結(jié)果還與目的、情境有關(guān)系．估算結(jié)果的評價是一個現(xiàn)實問題，估算雖然沒有正誤之分，但有好壞之別．那么，怎樣的估算是好的或者好的估算的標準是什么？一般來講，好的估算應(yīng)該具備：估算的根據(jù)合理、策略方法科學（合自身的邏輯）和有利于達到解決問題的目的．估算的根據(jù)合理是指進行估算時要有根據(jù)，而且這一根據(jù)是有一定道理的；估算的策略方法科學是指估算合自身的邏輯，能夠有助于正確地解決問題；估算有利于達到解決問題的目的是指估算的結(jié)果要盡可能地精確，能夠有效地解決問題．

六是關(guān)于估算技能和能力的問題．估算技能是一種用估算來解決問題的本領(lǐng)，而多種估算技能的聯(lián)合用來解決問題的本領(lǐng)則是估算能力．有研究者指出，“在學生估算之前，教師應(yīng)首先讓學生對數(shù)量做敏銳的判斷．例如，對中年級學生而言，應(yīng)該多讓學生在解題前自己判斷3 169+5 312與8 000哪個較大，而不只是機械地求出精確總和．事實上，估算是一種相當復雜的技能，若學生在發(fā)展上尚未達到估算能力，教師應(yīng)避免估算技能的直接教學，否則將淪為沒有理解的背誦．此外，估算的重點不在求出估計值，而是學習判斷需要有多接近精確值（Sowder，1989）．因此，估算是決定答案是否合理的一種能力，這也是數(shù)感的特征之一．”[8]所以，估算能力是一種高于精確計算的綜合能力，有些問題運用估算未必簡單，特別是涉及二次甚至是多次調(diào)整的問題．例如，

一座橋限重3噸．一輛貨車裝了6箱貨物，每箱285千克，車重986千克．這輛車可以安全過橋嗎？

在本題中，若把285估成300，用“大估”法，得到的結(jié)果應(yīng)比實際大，結(jié)合本題（橋限重）來講是能夠得到正確結(jié)論，即能安全過橋．而如果把285改為310千克，用“小估”法，得到的結(jié)論是能過；如果改為340千克，用“小估”法，得到的結(jié)論是不能過．事實上，要解決這些問題就需要估算的二次調(diào)整：若把310千克估成300千克，300×6=1 800千克，10千克×6=60千克，合起來也不超過2 000千克，再與986千克（不足1噸）合起來，不超過3噸，得到的結(jié)論是能過；而把340千克估成300千克，300×6=1 800千克，40千克×6=240千克，合起來超過2 000千克，還多40千克，再與986千克（比1噸少14千克）合起來整體估計，超過3噸，得到的結(jié)論是不能過．這種情況下問題雖然解決了，但太麻煩，甚至可能還不如用精算快，這樣就不能體現(xiàn)出用估算解決問題的好處．在教學中若遇到這種情況，就需要根據(jù)實際情況靈活處理，而不一定必須要求用估算來解決這一問題了．［參 考 文 獻］

[1] 馬立平．美國小學數(shù)學內(nèi)容結(jié)構(gòu)之批評[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（4）：1-4．

[2] 徐群飛．中美學生估算能力研究[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（1）：73-75．

[3] 中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[4] 徐群飛，李俊．中小學生估算意識及策略的調(diào)查研究[J]．數(shù)學教育學報，2006，15（3）：64-67．

[5] 張云仙．學業(yè)不良生與學優(yōu)生估算能力對比研究[J]．數(shù)學教育學報，2008，17（4）：49-52．

[6] 陳麗蘭．小學四～六年級兒童估算策略選擇的干預(yù)研究[J]．數(shù)學教育學報，2011，20（3）：63-66．

[7] 陳麗蘭，劉鳴，曹景明．兒童估算策略選擇研究述評及展望[J]．數(shù)學教育學報，2009，18（3）：83-86．

[8] 鮑建生，周超．數(shù)學學習的心理基礎(chǔ)與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[9] 陳麗蘭．9～12歲兒童估算策略選擇的發(fā)展特點[J]．數(shù)學教育學報，2012，21（1）：48-51．

[10] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會．義務(wù)教育數(shù)學課程標準解讀：2011年版[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

Teaching on Estimation: Problems and Strategies

ZHENG Qing-quan
(1. Qilu Normal University, Shandong Jinan 250013, China; 2. Basic Education Curriculum Rensearch Centre of Shandong Province, Shandong Jinan 250013, China)

Teaching on estimation has attracted attention widely, there is a lot of confusion in the current teaching practice. Through the investigation some problems are found in content understanding the teaching cognition: logic of the content itself is not definite, understanding of the relationship between other knowledge is not clear, the application conditions of knowledge are lack, evaluation criteria to the results of estimation is not clear, understanding on teaching and learning is fuzzyand stage requirements on teaching are not clear. Some resolution strategies proposed to some problems above are: grasping estimation instructional value to ensure the realization of the value on educating people; correcting the positioning of the estimation and estimation on teaching; adhering to the special principles about estimation on teaching; grasping estimation courses content features, targeting strategies on teaching. Some suggestion is: studying deeply curriculum standards and their interpretation, grasping the basic requirements of teaching; arranging estimates course content overall, realizating the standards orderly and progressively.

teaching on estimation; problems; strategies

G420

：A

：1004-9894（2015）03-0096-06

[責任編校：周學智]

2014-12-26

山東省教育科學“十一五”規(guī)劃2010年度課題——數(shù)學創(chuàng)新性教學的理論與實踐研究（2010GG 224）

鄭慶全（1972—），男，山東蒙陰人，博士，副教授，曲阜師范大學兼職碩士生導師，主要從事數(shù)學課程與教學論和教師教育研究．