王超，胡鳳紅，何曉蓉，秦偉剛，白瑞峰

天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津 300072

基于L1-L1范數(shù)的電學(xué)層析成像靜態(tài)成像算法

王超，胡鳳紅，何曉蓉，秦偉剛，白瑞峰

天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津 300072

WANG Chao, HU Feng-hong, HE Xiao-rong, QIN Wei-gang, BAI Rui-feng

School of Electrical Engineering and Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China

電學(xué)層析成像中靜態(tài)成像算法的目標(biāo)函數(shù)為電壓測(cè)量值與電壓計(jì)算值之間殘差的范數(shù)與罰函數(shù)兩項(xiàng)之和。目前，針對(duì)殘差項(xiàng)的L1范數(shù)成像算法還較少，本文使用原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)函數(shù)中殘差項(xiàng)和罰函數(shù)項(xiàng)均使用L1范數(shù)的重建算法，進(jìn)行圖像重建。研究表明使用基于L1-L1范數(shù)算法進(jìn)行圖像重建可獲得較好的重建圖像質(zhì)量。

電學(xué)層析成像；靜態(tài)成像算法；原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法；L1范數(shù)；L2范數(shù)

0 引言

1 基于L1-L1范數(shù)的靜態(tài)成像算法

圖像重建過(guò)程中目標(biāo)函數(shù)的選取如式（1）所示。

對(duì)偶問(wèn)題（D）用式（3）表示。

交換min和max，得到式（4）。

對(duì)（4）求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，如式（5）。

原始對(duì)偶法不是解決原始的最小化問(wèn)題和對(duì)偶的最大化問(wèn)題，而是通過(guò)使原始對(duì)偶間隙為0，求解互補(bǔ)條件的最優(yōu)解，原始對(duì)偶法如式（7）所示。

當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足條件（8）時(shí)，原始對(duì)偶間隙為0。

由于式（8）的兩個(gè)條件不是處處可微分，原始對(duì)偶法可以轉(zhuǎn)化為（9）。

由（10）～（12）得到變量更新的方程，式（13）。

對(duì)偶變量x、y是有范圍限制的，每次更新值都要在設(shè)定范圍之內(nèi)，而不能確保是對(duì)偶問(wèn)題的下降方向，因此傳統(tǒng)的線性搜索不適用于求解迭代步長(zhǎng)，本文采用步長(zhǎng)法則更新 x、y[9]，如式（16）所示。

2 不同算法的對(duì)比研究

本文評(píng)價(jià)系統(tǒng)包括評(píng)價(jià)模型和評(píng)價(jià)參數(shù)，使用EIDORS和MATLAB實(shí)現(xiàn)。

2.1 算法的成像結(jié)果

為驗(yàn)證L1-L1算法的圖像重建成像效果，共設(shè)置3個(gè)評(píng)價(jià)模型，包括單目標(biāo)、雙目標(biāo)和三目標(biāo)模型，其中目標(biāo)物體的電導(dǎo)率是3 S/m，背景的電導(dǎo)率為1 S/m。同時(shí)與Newton-Raphson類(lèi)經(jīng)典算法中的TR、NOSER的成像效果進(jìn)行對(duì)比研究，這兩種算法的電壓殘差項(xiàng)和罰函數(shù)項(xiàng)均采用L2范數(shù)。不同算法的成像結(jié)果見(jiàn)圖1。

圖1 圖像重建算法的成像結(jié)果

對(duì)于三種模型，TR、NOSER和L1-L1三種算法都可以分辨出目標(biāo)的位置、大小。L1-L1算法重建目標(biāo)的電導(dǎo)率大小接近真實(shí)分布，但是TR和NOSER算法重建目標(biāo)的電導(dǎo)率和真實(shí)電導(dǎo)率分布相差較大。NOSER算法的成像結(jié)果中目標(biāo)的形變較為嚴(yán)重，尤其是雙目標(biāo)模型最嚴(yán)重，已經(jīng)無(wú)法估計(jì)出目標(biāo)的形狀。并且，TR和NOSER算法重建目標(biāo)存在偽跡，L1-L1算法不存在偽跡。所有算法中，L1-L1算法重建目標(biāo)的電導(dǎo)率和真實(shí)電導(dǎo)率分布相差最小的，成像目標(biāo)的形變也是最小的，不存在偽跡，因此，L1-L1算法是表現(xiàn)最好的。

2.2 不同模型評(píng)價(jià)參數(shù)

本文選擇圖像誤差[10]、算法的運(yùn)行時(shí)間作為評(píng)價(jià)圖像重建算法的評(píng)價(jià)指標(biāo)，圖像誤差越接近0，圖像質(zhì)量越高，算運(yùn)行時(shí)間越短，算法的實(shí)時(shí)性越好。定義評(píng)價(jià)指標(biāo)如下所示。

2.2.1 圖像誤差

2.2.2 算法運(yùn)行時(shí)間

算法的運(yùn)行時(shí)間從逆問(wèn)題計(jì)算開(kāi)始，到計(jì)算出重建圖像的電導(dǎo)率分布為止，不包括將重建圖像顯示出來(lái)的時(shí)間，單位為s。TR、NOSER和L1-L1三種算法的圖像誤差、運(yùn)行時(shí)間分別如圖2所示。

圖2 不同算法的圖像誤差和運(yùn)行時(shí)間

對(duì)于三種模型，三種算法的圖像誤差相差較大，從成像結(jié)果可以看出L1-L1算法成像效果最好，不存在偽跡，TR和NOSER算法存在偽跡，而且NOSER算法中雙目標(biāo)模型形變嚴(yán)重。評(píng)價(jià)參數(shù)中NOSER算法的圖像誤差最大，L1-L1算法的圖像誤差最小，與成像結(jié)果相吻合。從運(yùn)行時(shí)間來(lái)看，NOSER算法運(yùn)行時(shí)間最短，實(shí)時(shí)性好，L1-L1算法運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，實(shí)時(shí)性較差。

3 結(jié)論

對(duì)于三種模型，L1-L1算法成像結(jié)果基本上不存在偽跡，目標(biāo)邊界比較清晰，圖像效果最好。TR和NOSER算法成像結(jié)果存在偽跡，目標(biāo)邊界比較模糊，但是NOSER算法運(yùn)行時(shí)間較短，實(shí)時(shí)性好。因此，電壓殘差項(xiàng)和罰函數(shù)項(xiàng)均采用L1范數(shù)的算法成像不存在變形，目標(biāo)邊界清晰，要優(yōu)于均采用L2范數(shù)的算法，但兩項(xiàng)均采L2范數(shù)的算法實(shí)時(shí)性更好。

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Electrical Tomography Static Reconstruction Algorithms Based on L1-L1 Norm

The objective function of the static imaging algorithm in electrical tomography contains two terms, one is function of residual error between measurement boundary voltage and computational voltage, and the other is the penalty function.At present, the L1 norm imaging algorithm for the residual term is still less.The primal dual interior point method is used to reconstruct the image with both the residual term and penalty function using L1 norm.The research shows that the image reconstruction using the L1-L1 norm algorithm can obtain high-quality reconstructed images.

electrical tomography；static imaging algorithm；primal-dual interior point method；L1 norm；L2 norm

靜態(tài)成像算法是當(dāng)前電學(xué)層析成像（Electrical Tomography，ET）技術(shù)研究的熱點(diǎn)[1-2]。其目標(biāo)函數(shù)為電壓測(cè)量值與電壓計(jì)算值之間殘差的范數(shù)和罰函數(shù)兩項(xiàng)之和。Newton-Raphson類(lèi)算法是靜態(tài)成像中的經(jīng)典算法，其目標(biāo)函數(shù)的第一項(xiàng)為殘差的L2范數(shù)，罰函數(shù)多數(shù)采用L2范數(shù)。如Tikhonov正則化算法（TR）、Levenberg-Marquart算法、牛頓一步迭代算法（Newton’s One Step Error Reconstructor，NOSER）和同倫Newton-Raphson算法電壓殘差項(xiàng)和罰函數(shù)均采用L2范數(shù)[3-6]。
L1范數(shù)應(yīng)用較少的重要原因在于L1范數(shù)是不光滑的函數(shù)，不是處處可導(dǎo)，因此求解困難。Andersen等[7]證明原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法在求解L1范數(shù)方面比其他經(jīng)典的方法具有獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)[8]。本文采用原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法，實(shí)現(xiàn)了殘差項(xiàng)和罰函數(shù)項(xiàng)均采用L1范數(shù)的圖像重建。

TM934.7

A

10.3969/j.issn.1674-1633.2015.07.005

1674-1633（2015）07-0016-03

2015-06-28

作者郵箱：wangchao@tju.edu.cn