中航工業(yè)成都飛機工業(yè)（集團(tuán)）有限責(zé)任公司 苗 勇 何 凱 陳國強

西北工業(yè)大學(xué)現(xiàn)代設(shè)計與集成制造技術(shù)教育部重點實驗室 余劍峰

機翼作為具有氣動外形要求的關(guān)鍵部件，在其接頭精加工及翼身對接過程中，為提高精加工質(zhì)量，需要對機翼的空間位姿參數(shù)進(jìn)行計算，以便指導(dǎo)機翼空間位姿的調(diào)整。文獻(xiàn)[1-5]中，通過使用激光跟蹤儀進(jìn)行測量，獲得部件上用于表達(dá)部件位姿的測量點的測量值，并結(jié)合這些測量點在產(chǎn)品理論姿態(tài)下的理論值，采用奇異分解法或最小二乘法，計算測量點與其理論值間平方和最小的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而得到部件的空間位姿。這種方法已成功應(yīng)用于機身的姿態(tài)計算，具有計算簡單、精度高的特點，但由于這種方法在實際使用時，需要根據(jù)產(chǎn)品數(shù)模在產(chǎn)品上預(yù)先布置用于表達(dá)位姿的點，并對這些點在空間中的實際位置進(jìn)行測量，使得其可能會受到來自產(chǎn)品結(jié)構(gòu)以及加工平臺結(jié)構(gòu)等因素的限制而無法使用，同時，要實現(xiàn)對產(chǎn)品上確定點的測量，通常要使用到激光跟蹤儀等先進(jìn)測量設(shè)備，對測量設(shè)備的要求較高。例如，就機翼精加工而言，由于其產(chǎn)品對象的曲面封閉結(jié)構(gòu)以及精加工型架的結(jié)構(gòu)緊湊性，使得在機翼上不易布置位姿表達(dá)點，并使用激光跟蹤儀對這些空間點進(jìn)行測量，從而造成該方法難以使用。

翼面水平測量是機翼精加工工藝過程中必不可少的環(huán)節(jié)，能夠起到檢驗位姿精度以及定性指導(dǎo)位姿調(diào)整的雙重作用，但由于這種測量所得的點并非翼面上的預(yù)先布置的確定點，而是依賴于機翼實際位姿的隨機點，此時，無法預(yù)知測量點的理論坐標(biāo)值，因此，前文所述方法不能適用于該種情況下的機翼位姿精確計算。

為此，本文通過對翼面水平測量原理的分析，提出一種基于隨機測量點的機翼精加工位姿計算方法。該方法旨在利用翼面水平測量數(shù)據(jù)，實現(xiàn)位姿參數(shù)的求解，以起到簡化精加工工藝流程、提高精加工質(zhì)量的作用。

1 原理分析

翼面水平測量數(shù)據(jù)是本文計算機翼位姿的基礎(chǔ)，下面將通過翼面水平測量原理的分析，對本文機翼位姿參數(shù)計算的基本思想進(jìn)行闡述。如圖 1所示，Ω、Ω'分別表示具有理論位姿與實際位姿的翼面，OXYZ為全局坐標(biāo)系。為描述機翼的空間位姿變化，在機翼部件上建立一個隨動坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系依機翼位姿改變而改變，如O1X1Y1Z1與O'1X'1Y'1Z'1分別對應(yīng)于理論位姿和實際位姿。在翼面的設(shè)計模型上分布有一定數(shù)量的關(guān)鍵點，這些點稱為水平測量點，如點Ai。點Ai的正下方設(shè)有直線位移傳感器，完成對這些點的測量，其過程為：由直線位移傳感器沿Z向運動，當(dāng)接觸到蒙皮后，可通過傳感器讀數(shù)得出測點的Z向高度值，結(jié)合直線位移傳感器的位置坐標(biāo)值（x，y）便可得到測點的空間坐標(biāo)。由于誤差的存在，機翼上架后，其實際狀態(tài)并不處于理論姿態(tài)，如Ω'所示，因此，直線位移傳感器所測得的高度值并非理論測點Ai的高度值，而是實際位姿翼面（即Ω'）上的另一個點B'i，將B'i稱為“偽水平測量點”?？紤]到誤差影響的隨機性，B'i可認(rèn)為是翼面上隨機測量的1個點。以表示測量點集（i=1，2，…，N），其中N為測量點數(shù)目，在不考慮翼面變形及測量誤差的情況下，實測點集B'實際上是理論位姿翼面上的某一對應(yīng)點集B={B1，B2，…，BN}經(jīng)過旋轉(zhuǎn)與平移得到，將B稱為B'的匹配點集。點集B與B'間的旋轉(zhuǎn)與平移關(guān)系能夠反映出機翼的位姿信息，若能求得點集B，便能采用現(xiàn)有的位姿計算方法，求出機翼的實際位姿。

尋求“偽水平測量點”的匹配點的過程可簡化為一個測量數(shù)據(jù)點集與理論曲面匹配的問題，這個匹配問題可描述為：將測量點集看作一個剛體，相對于曲面的CAD模型（即具有理論位姿時的翼面模型），經(jīng)過坐標(biāo)變換使得測量數(shù)據(jù)盡可能地包容該模型，并且使得測量數(shù)據(jù)與曲面間的距離誤差最小，此時，理論曲面上與經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的測量點最近的點就是原測量點的匹配點。在現(xiàn)有尋求匹配點算法中，以迭代最近點（Iterative Closest Point, ICP）[6-10]最為常用，該算法基于最小二乘法目標(biāo)函數(shù)，其基本思想是假定測量點與曲面充分貼合時，點集中的所有點到曲面的最近距離平方和最小。國內(nèi)外學(xué)者對ICP算法開展了較多應(yīng)用研究[10-14]，用于自由曲面的誤差評價及曲面加工余量的優(yōu)化。本文結(jié)合機翼精加工工藝過程，通過采用ICP算法，尋求翼面水平測量實測點在翼面設(shè)計模型上的匹配點，以便為位姿計算提供完整的信息。

圖1 水平測量原理圖Fig.1 Principle diagram of level measuring

在求得匹配點后，便可進(jìn)行位姿的求解。機翼位姿可采用6個參數(shù)表示，將其記為其中x1、x2、x3為剛體的歐拉角，表達(dá)剛體由當(dāng)前姿態(tài)到理論姿態(tài)的一個變換序列，x4、x5、x6為剛體旋轉(zhuǎn)后的平移矢量。分別表示實測點與其匹配點的空間坐標(biāo)值，則這2個點與位姿參數(shù)間的關(guān)系可表示為：

式中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，見式（2），其中有

2 位姿計算模型

2.1 位姿參數(shù)的簡化

采用6個參數(shù)的剛體姿態(tài)表達(dá)，是一種通用的表達(dá)方法。然而，由于機翼精加工有其特定的工藝規(guī)程，這會導(dǎo)致機翼處于某種約束下，例如，機翼在位姿調(diào)整或進(jìn)行精加工前，有一個預(yù)定位的過程，會采用精加工型架上的交點定位器對機翼進(jìn)行定位，此時，機翼的實際位姿與理論位姿相比，將會很接近，只在某些位姿參數(shù)上與理論位姿參數(shù)存在差異。因此，通過結(jié)合機翼精加工工藝特點，可以有效簡化位姿參數(shù)的求解。

以實際加工為基礎(chǔ)，本文假定在機翼精加工預(yù)定位時，優(yōu)先保證機翼部件上的某一交點孔（圖2中紅色圓圈），并采用短銷進(jìn)行精確定位。采用這種定位方式，既可以保證機翼的預(yù)定位精度，也可有效減少位姿求解參數(shù)，其定位效果等價于在機翼與精加工型架之間施加了一個固定點約束。將固定坐標(biāo)系設(shè)在該固定點處，并假定具有理論位姿時，固連在機翼上的動坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系重合，那么，在該固定點約束下，機翼的自由度及位姿參數(shù)見圖 2。由于存在固定點約束，3個平移自由度被限制，機翼實際位姿中只有3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)與理論位姿存在差異，因此，在機翼實際位姿求解時，只需考慮3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，其實際位姿可表示為以下內(nèi)容將以水平測量數(shù)據(jù)及翼面設(shè)計模型為基礎(chǔ)，采用ICP算法與Levenberg-Marquardt算法，實現(xiàn)匹配點的尋求及3個參數(shù)的求解。

圖2 固定點約束下的機翼自由度Fig.2 Freedom of aircraft wing under fixed point constraint

2.2 算法原理及步驟

設(shè)具有理論位姿的標(biāo)準(zhǔn)曲面（設(shè)計翼面）為S，測量點為Pi,0（0表示初始值，即由直線位移傳感器測得的值），它到曲面S的最近距離點為Bi,0（i=1，2，…,N），其中，N為測量點的數(shù)量。第k次匹配后的點為Pi,k，為原測量點經(jīng)過k次旋轉(zhuǎn)所到的新位置，Bi,k為曲面上對應(yīng)的最近點。由Pi,k、Bi,k所組成的2個點集間的距離可表示為

當(dāng)dk值最小時，可認(rèn)為達(dá)到最佳匹配，此時，所得的點Bi,k即為原測量點Pi,0的匹配點。根據(jù)假設(shè)，不考慮平移位姿參數(shù)，只需對測量點集進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，其旋轉(zhuǎn)矩陣為R（X）或R（x1，x2，x3）。在已知測量點集及標(biāo)準(zhǔn)曲面的情況下，求測量點集的匹配點集的算法步驟如下。

（1）算法 1（ICP）。

步驟 1:令k= 0，計算Bi,0和d0；給定精度ε＞0；

步驟2:k=k+1；

步驟3:求旋轉(zhuǎn)矩陣Rk（X），使得如下函數(shù)

達(dá)到最小值，采用算法2求解；

步驟4:計算

步驟5:求解到曲面S的最近距離點

步驟6:計算目標(biāo)函數(shù)

步驟7:令則停止計算；若則轉(zhuǎn)步驟2，否則轉(zhuǎn)步驟8；

步驟8:即為測量點的匹配點（i=1，2，…，N），為求得位姿參數(shù)X,再次調(diào)用算法2，使目標(biāo)函數(shù)最小，停止。

以上算法中有2個判斷停止計算的條件，如步驟7，分別為：（1）時，說明經(jīng)過k次迭代后，Pi,k有遠(yuǎn)離曲面的趨勢，此時算法不收斂，應(yīng)該停止計算需要重新對機翼進(jìn)行預(yù)算定位，提高機翼的預(yù)定位精度，并再次進(jìn)行水平測量和調(diào)用ICP算法進(jìn)行位姿評估，（2）說明經(jīng)過k次迭代后，Pi,k已離曲面足夠近，實現(xiàn)匹配點的搜索，經(jīng)過步驟8的計算可求得機翼位姿。

在算法1中，每進(jìn)行一次循環(huán)都需要調(diào)用算法2。給出算法2之前，參考文獻(xiàn)[5]先對其目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行前處理。算法2的目的是實現(xiàn)一個旋轉(zhuǎn)變換的求解，使得2個點集的距離平方和最小，其目標(biāo)函數(shù)為：

將式（4）展開，得到：

式中，的第j行所組成的行向量，式（5）表達(dá)的是一個非線性最小二乘優(yōu)化問題，可采用Levenberg-Marquardt方法[15]，即L-M法進(jìn)行求解。L-M算法中需要計算的梯度，為此，給出式（5）的梯度計算公式：

其中，

（2）算法2（L-M法）。

步驟1:取給定

步驟2:停算；

步驟3:求解方程組

步驟4:搜索步長，令是滿足下面不等式的最小非負(fù)整數(shù)

步驟5:令轉(zhuǎn)到步驟2。

在求解匹配點時，算法1可能會收斂于某一局部解，算法求解的初值X0對結(jié)果有著很重要的影響；此外，計算過程中，還需要反復(fù)調(diào)用算法2，X0對該算法的收斂速度也有較大影響。然而，通過2.1節(jié)的分析可知，機翼精加工之前存在一個預(yù)定位工藝過程，在此之后，機翼的位姿精度已經(jīng)很貼近理論值，在這種實際工程背景下，本文取作為迭代初值，既能有效保證算法收斂于全局最優(yōu)解，也可使算法效率不受大的影響。

3 測量點精度補償

采用以最小二乘法為目標(biāo)函數(shù)的ICP法尋求測量點的匹配點，實現(xiàn)位姿參數(shù)計算，具有目標(biāo)函數(shù)簡單、收斂速度快的特點。然而，實際加工過程中，由于變形的存在，測量點的實際位置與其理論位置間有偏差，導(dǎo)致測量時存在測量誤差，并且各測量點的測量精度不一，例如，由于機翼沿翼展方向的變形累積及剛性變化，機翼外側(cè)測量點的測量精度較內(nèi)側(cè)相比會有所降低。若采用存在誤差的測量點與理論位姿曲面進(jìn)行匹配，勢必會導(dǎo)致誤差，因為這些測量點并非理論位姿翼面上的點。通過分析算法原理及工藝流程可以得出，影響機翼位姿計算的誤差主要包含2個部分（不考慮測量系統(tǒng)自身的測量誤差）： （1）部件總裝時引入的誤差，這類誤差包括零件制造誤差、定位誤差、鉚接變形等，最終會反映到翼面外形上，稱為局部外形偏差； （2）部件在精加工型架上完成預(yù)定位，并釋放部分定位器，由于部件自重變形而引起的誤差。如圖3所示，Δi1、Δi2分別表示第一部分誤差與第二部分誤差，為理論上的實測值，為實際測量值，i表示第i個測點。從圖3中可以看出，由于Δi1及Δi2的存在，使得并不重合。

Δi1可通過翼面外形測量預(yù)知其值大小。翼面外形測量在機翼完成部件總裝后進(jìn)行，主要針對翼面水平測量點，用于檢驗翼面的變形情況。Δi2與部件剛性有關(guān)，很難進(jìn)行精確預(yù)測，可根據(jù)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)及以往產(chǎn)品的檢驗歷史數(shù)據(jù)，大致分析。為減少Δi1及Δi2對翼面位姿計算的影響，提出測量點精度補償量：

圖3 測點誤差示意圖Fig.3 Diagram of measurement point errors

式中，Δi表示第i個測量點的精度補償量調(diào)整系數(shù)，為第i個測量點的公差要求，用于反映Δi2。由測量原理分析可知，測點的x,y值取決于直線位移傳感器的安裝精度，其誤差可以忽略，誤差較大是其z向值，因此，只需對測點的z進(jìn)行精度補償。

4 算例分析

為驗證算法的有效性，本文給出一個仿真算例，以一個圓柱面表示機翼翼面，固定點約束為坐標(biāo)系原點，翼面上共有8個水平測量點，沿y軸對稱分布，見圖 4，各點坐標(biāo)值其公差要求見表1。預(yù)先給翼面設(shè)定一個位姿單位為弧度。在不考慮誤差，即Δ= 0的情況下，其實測點坐標(biāo)值見表2。

得到水平測量點的實測點后，采用ICP算法可求得其對應(yīng)的匹配點，見表2中的匹配點。利用表2中具有對應(yīng)關(guān)系的兩個點集，采用L-M算法，可求得部件位姿。Δ時，主要包括Δi1、Δi2兩部分，其中Δi1由實際測量得到，可直接用于對測量數(shù)據(jù)的精度補償，在此不予考慮。為仿真Δi2，在各測點上z向增加一個誤差擾動，模擬機翼因自重產(chǎn)生的變形，并通過結(jié)合各測點公差要求及調(diào)整系數(shù)示意測點精度補償方法的使用。且未進(jìn)行補償時，其測量點及其匹配點見表3；取進(jìn)行補償后，其測量點及其匹配點見表4，位姿計算結(jié)果見表5。

圖4 位姿計算仿真模型Fig.4 Simulation model of posture calculating

表1 理論水平測量點坐標(biāo)值

表2 Δ = 0時實測點及其匹配點

表3 Δ ≠ 0、未進(jìn)行補償時實測點及其匹配點

表4 Δ ≠ 0、進(jìn)行補償后實測點及其匹配點

表5 仿真計算結(jié)果

從表5中可以看出，當(dāng)不考慮誤差，即認(rèn)為Δ=0時，位姿計算值與其理論值間的誤差很小，幾乎完全一致；當(dāng)且未進(jìn)行精度補償時，位姿計算值的誤差有所增大；進(jìn)行精度補償后，可提高位姿計算精度。因此，本文所述的位姿計算方法是一種有效的方法。

5 結(jié)論

利用機翼精加工的水平測量，采用迭代最近點算法（ICP算法）與L-M算法，實現(xiàn)機翼精加工位姿的求解。仿真算例表明，該方法是一種有效的機翼位姿計算方法。在采用該方法計算位姿時，應(yīng)當(dāng)注意以下2點。

（1）本文結(jié)合機翼精加工工藝特點，將機翼的6個位姿表達(dá)參數(shù)簡化為3個。在實際應(yīng)用時，可根據(jù)加工的實際情況，對待求解的位姿參數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

（2）為提高位姿計算精度，需要對測量值進(jìn)行精度補償，其具體補償量在一定程度上依賴于工程經(jīng)驗，后期將進(jìn)一步研究測量值的精度補償方法。

[1] 俞慈君, 李江雄, 余鋒杰, 等. 帶工程約束的點匹配算法.機械工程學(xué)報, 2010, 46(5):183-190.

[2] 張斌, 姚寶國, 柯映林. 基于鞍點規(guī)劃理論的機翼水平位姿評估方法. 浙江大學(xué)學(xué)報, 2009, 43(10):1761-1765.

[3] 邱寶貴, 蔣君俠, 畢運波, 等. 大型飛機機身調(diào)姿與對接試驗系統(tǒng). 航空學(xué)報, 2011, 32(5):908-919.

[4] 柯映林, 楊衛(wèi)東, 李江雄, 等. 基于激光跟蹤儀的飛機機身姿態(tài)計算方法: 中國, CN200810121358, 4. 2009-02-11.

[5] 羅芳, 鄒方, 周萬勇. 飛機大部件對接中的位姿計算方法.航空制造技術(shù), 2011(3):90-94.

[6] Besl P J, Mckay H A. A method for registration of 3-D shapes.IEEE Trasactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1992,14(2):239-256.

[7] Ahmad A, Christophe L, Mohamed D, et al. 3D registration using a new implementation of the ICP algorithm based on a comprehensive lookup matrix: Application to medical imaging. Pattern Recognition Letters,2007, 28: 1523-1533.

[8] Chetverikov D, Stepanov D, Krsek P. Robust Euclidean alignment of 3D point sets: The trimmed iterative closest point algorithm.Image and Vision Computing, 2005, 23(3):299-309.

[9] Liu Y H. Automatic registration of overlapping 3D point clouds using closest points. Image and Vision Computing, 2006, 24(7):762-781.

[10] Yahia H M, Huot E G, Herlin I L, et al. Geodesic distance evolution of surfaces: a new method for matching surfaces: a new method for matching surfaces. Computer Vision and Pat tern Recognition, 2000, 1(1):663-668.

[11] 武殿梁, 黃海量, 丁玉成, 等. 基于遺傳算法和最小二乘法的曲面匹配. 航空學(xué)報, 2002, 23(3): 285-288.

[12] 劉元朋, 劉晶, 張力寧, 等. 復(fù)雜曲面測量數(shù)據(jù)最佳匹配問題研究. 中國機械工程, 2005, 16(12):1080-1082.

[13] 嚴(yán)思杰, 周云飛, 彭芳瑜. 大型復(fù)雜曲面零件加工余量均布優(yōu)化問題研究. 華中科技大學(xué)學(xué)報, 2002, 30(10):35-37.

[14] 高棟, 孔令豹, 姚英學(xué), 等. 光學(xué)自由曲面面形誤差評定算法的研究. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 2006, 38(10):1630-1632.

[15] 馬昌風(fēng). 最優(yōu)化方法及其Matlab程序設(shè)計. 北京:科學(xué)出版社, 2010.