泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 陳 靜上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院 李 凱

在實(shí)際應(yīng)用中，輕型飛行模擬器的邊置式座艙結(jié)構(gòu)的6根伸縮桿在其行程范圍內(nèi)隨意運(yùn)動時(shí)，僅存在動平臺座艙干涉和等效復(fù)合球鉸擺角約束的情況。要設(shè)計(jì)出滿足各項(xiàng)約束條件的輕型飛行模擬器控制算法，首先要解決的問題就是能夠?qū)Ω黜?xiàng)約束進(jìn)行檢驗(yàn)，包括桿長限制、擺角約束和座艙干涉，且檢驗(yàn)算法越簡單越好[1]。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)連桿干涉算法

1.1 干涉檢驗(yàn)算法

目前求解連桿干涉的檢驗(yàn)算法一般有3種[2]，本文以連桿l1和l2為例進(jìn)行討論。通常情況下，連桿是有一定尺寸的，為了討論方便，假設(shè)連桿都是圓柱形，分別為C1、C2，其半徑為 r1、r2。

（1）算法1。

該算法通過計(jì)算2線段l1和l2之間的距離d來判斷C1和C2是否干涉。

令l1=A1-B1，l2=A2-B2，則l1和l2所在直線的最短距離為

設(shè)M1和M2為公垂線與l1和l2的交點(diǎn)，則有A1M1=u1A1B1，A2M2=u2A2B2，其中

如果d＞r1+r2，則兩連桿不干涉；如果d≤r1+r2且d=d12，則兩連桿干涉；如果d≤r1+r2且d≠d12，則從d的定義上不能直接判斷兩連桿是否干涉，需要通過計(jì)算公垂線垂足的位置來加以判斷。

（2）算法2。

定 義 n2為 l2的單位向量，v2、ω2是兩個與n2互相垂直相交的向量?？紤]l2上一點(diǎn)M2，則A2M2=u2A2B2。M為M2所在圓柱體截面上一點(diǎn)，則M2M=r2cosθv2+r2cosθw2。因此M點(diǎn)在靜坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為

取 l1上一點(diǎn)M1，則A1M1=uA1B1，如果|M1M|＞r1且u1，u1∈[0，1]，θ∈[0，2π]，則兩連桿不干涉；如果|M1M|≤ r1且A1M·A1B1≥ 0，B1M·A1B1≥ 0， 則兩連桿干涉。

該算法是一個全面干涉檢驗(yàn)算法，因而比算法1更加完整。

（3）算法3。

取M為l1所在圓柱體上一點(diǎn)，有

第一個不等式表示M點(diǎn)到l1的距離小于圓柱體半徑r1，第二個不等式表示M在圓柱體C1范圍內(nèi)?？梢杂孟嗨频?個不等式的形式表示M在圓柱體C2范圍內(nèi)。如果存在一個點(diǎn)M都滿足這樣6個不等式，則連桿干涉，否則不干涉。這個算法與算法2相似，提供了一種完整的干涉檢驗(yàn)，但需要解6個不等式而不是算法2的3個不等式。

1.2 干涉算法及分析

以算法1為基礎(chǔ)，在d≤r1+r2且d≠d12的情況下，通過計(jì)算公垂線垂足的位置來進(jìn)行干涉檢驗(yàn)。設(shè) M1、M2分別為公垂線在兩連桿軸線上的垂足。

如果u1?[0，1]，u2?[0，1]，即兩個垂足都在連桿軸線外部，建立如下公式

如果，則 d 由式（7）求得。

如果，則 d 由式（8）求得。

兩連桿如干涉，則應(yīng)首先在最小距離方向上發(fā)生，因此應(yīng)求出兩連桿半徑在最小距離方向上的投影長度。計(jì)算最小距離時(shí)，如果取式（7），則最小距離方向?yàn)锳1M2；如果取式（8），則最小距離方向?yàn)锳2M1；如果取式（9），則最小距離方向?yàn)锳1A2。而點(diǎn)Mi（i=1，2，...，6）在靜坐標(biāo)系OB-XBYBZB中的坐標(biāo)為。

這樣如果用N1表示兩連桿l1和l2的最小距離方向，用θ1和θ2分別表示N1與l1和l2所夾銳角，則兩連桿在最小距離方向上的投影長度為：

綜上所述，連桿l1和l2干涉時(shí)應(yīng)滿足條件d≤r'。

相鄰連桿干涉檢測算法的步驟如下。

步驟1：計(jì)算靜坐標(biāo)系OB-XBYBZB下連桿鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)及連桿向量。

步驟2：計(jì)算相鄰兩桿間的公垂線長度d。如果d＞r1+r2，則兩連桿不干涉且算法結(jié)束，否則繼續(xù)下一步。

步驟3：計(jì)算 u1、u2。

（1）如果，，則兩連桿發(fā)生干涉，算法結(jié)束；

（2）如果，則計(jì)算公式（7），并計(jì)算點(diǎn)M1的坐標(biāo)及向量N1=A2M1。

（3）如果，則計(jì)算公式（8），并

計(jì)算點(diǎn)M2的坐標(biāo)及向量N1=A1M2。

步驟4：如果，則計(jì)算 k1、k2。

（1）若則 計(jì) 算公式（9），且N1=A1A2；

（2）若，則計(jì)算公式（7），并計(jì)算點(diǎn)M2的坐標(biāo)及向量N1=A1M2。

（3）若則計(jì)算公式（8），并計(jì)算M1的坐標(biāo)及向量N1=A2M1；

步驟5：根據(jù)公式（10）計(jì)算兩連桿在最小距離方向上的投影長度r。

步驟6：如果d≤r'，兩連桿發(fā)生干涉；否則，兩連桿不發(fā)生干涉。

步驟7：算法結(jié)束。

該算法通過計(jì)算u1、u2和k1、k2，對公垂線與連桿軸線的交點(diǎn)位置進(jìn)行了判斷，進(jìn)而通過對兩連桿半徑在最小距離方向上的投影長度的計(jì)算，可準(zhǔn)確地判別兩相鄰連桿在空間是否干涉。

需要指出的是，為了進(jìn)一步提高算法效率，在實(shí)際應(yīng)用中常常用r1+r2代替r，這樣就減少了計(jì)算M、N、θ的時(shí)間，而且同樣保證了兩桿不會干涉。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺座艙干涉檢驗(yàn)算法

輕型飛行模擬器采用邊置式座艙結(jié)構(gòu)，平臺座艙位于動平面下方，如圖1所示，因而要考慮動平臺座艙與各連桿之間的干涉問題[3]。

圖1 動平臺結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of moving platform

2.1 干涉檢驗(yàn)算法

為了計(jì)算方便及提高算法效率，在實(shí)際應(yīng)用中采用一個直徑DL略小于平臺最大尺寸的空間圓柱體包絡(luò)座艙。研究座艙干涉檢驗(yàn)算法是為了避免座艙在運(yùn)動時(shí)與連桿發(fā)生碰撞。當(dāng)座艙在空間運(yùn)動時(shí)，計(jì)算動平臺與各連桿最小距離問題就轉(zhuǎn)化為計(jì)算圓柱體與各連桿最小距離問題，如圖2所示。

圖2 平臺連桿干涉情況Fig.2 Interference situation of platform connecting rod

動平臺是一個邊置式座艙，其下底面所在圓周的圓心為O'，半徑為r'，座艙高為h。Pi為連桿中心線與平臺下底面所在平面的交點(diǎn)。Mi點(diǎn)為O'P連線與底面圓周的交點(diǎn)。則Mi點(diǎn)到連桿中心線距離為平臺與連桿干涉時(shí)應(yīng)滿足條件di＜ D/2。

2.2 干涉算法及分析

座艙與連桿干涉算法步驟如下。

步驟1：計(jì)算靜坐標(biāo)系OB-XBYBZB下連桿鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)、座艙底面圓心坐標(biāo)O'及連桿向量；

步驟2：計(jì)算圓O'所在平面與連桿AiBi所在直線的交點(diǎn)Pi；

步驟3：計(jì)算O'P矢量，以及O'P與底面圓周的交點(diǎn)Mi的坐標(biāo)；

步驟4：計(jì)算Mi到連桿AiBi的距離di和垂足Ni；步驟5：如果di＜ D/2，則座艙與連桿AiBi干涉；否則，不干涉。

該算法通過計(jì)算座艙底面圓周與連桿的最短距離來判斷是否干涉，具有簡單、高效的特點(diǎn)，同時(shí)計(jì)算出Mi、Ni的空間坐標(biāo)，為研究下文提出的“虛擬彈簧”作用力提供了便利。

3 動平臺復(fù)合球鉸擺角檢測算法

實(shí)際應(yīng)用中，機(jī)座和支鏈之間常常通過虎克鉸鏈連接，動平臺和支鏈之間常常通過球鉸連接?；⒖算q鏈的擺角限制問題在輕型飛行模擬器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)就已經(jīng)解決，本文不再進(jìn)行研究。動平臺復(fù)合球鉸的擺角是有限制的，本文給出其檢測方法。

3.1 干涉檢驗(yàn)算法

以連接于動平臺Ai點(diǎn)的l1和l6為例討論。如圖3所示，將等效復(fù)合球鉸進(jìn)行空間簡化。

平臺運(yùn)動時(shí)，支承軸始終與動坐標(biāo)軸ZP方向一致，因而在計(jì)算過程中可用座艙圓柱體中心矢量OAO'代替支承軸方向矢量進(jìn)行計(jì)算，則支承軸所在空間直線L0與球鉸中心線L1夾角為

圖3 復(fù)合球鉸擺角計(jì)算示意圖Fig.3 Swing angle calculation sketch of compound sphere joint

式中，n1,6為l1和l6所在平面的法向矢量

支承軸與球鉸的夾角有一個極限區(qū)域值，記為，則約束檢測條件為

3.2 干涉算法及分析

等效復(fù)合球鉸干涉算法步驟如下。

步驟1：計(jì)算靜坐標(biāo)系OB-XBYBZB下連桿鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)、座艙底面圓心坐標(biāo)O'及連桿向量l1、l6和平臺中心矢量OAO'；

步驟2：計(jì)算l1和l6的法向矢量n1,6；

步驟3：計(jì)算OAO'與n1,6的夾角θ1,6；

步驟4：判斷θ1,6是否在有效區(qū)域內(nèi)。如果在，則不干涉；否則，干涉。

該算法通過計(jì)算鉸鏈于一點(diǎn)的兩連桿矢量所在平面的法向矢量與球鉸支承軸矢量的夾角來判斷鉸鏈擺角是否有效，計(jì)算簡單、可行。

4 結(jié)論

本文首先介紹了并聯(lián)機(jī)構(gòu)工程應(yīng)用中常用的Newton-Raphson迭代法，設(shè)計(jì)了位姿正解算法步驟；其次，列舉了連桿干涉的3種算法，并以算法1為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了一種連桿干涉檢驗(yàn)算法；最后，分析研究了平臺座艙干涉算法以及擺角檢驗(yàn)算法，設(shè)計(jì)了算法步驟，這些為以后研究分析輕型飛行模擬器的工作空間提供了一定依據(jù)。

[1]楊灝泉，趙克定，吳盛林，等. 飛行模擬器六自由度運(yùn)動系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)及研究現(xiàn)狀. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2002, 14(1)：84-87.

[2]Merlet J-P, Daney D. Legs interference chercking of parallel robots over a given workspace or trajectory//IEEE. Proceedings of the 2006 IEEE International Conference on Robotics and Automation,2006：605-619.

[3]周冰.Stewart平臺并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)與干涉防護(hù)問題研究[D].西安：西安交通大學(xué)， 2002.