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        巧構(gòu)向量,妙解線性規(guī)劃問(wèn)題

        2015-05-30 00:44:45范賢麗

        范賢麗

        [摘 要]通過(guò)構(gòu)造向量解決兩類線性規(guī)劃問(wèn)題,體現(xiàn)向量的強(qiáng)大功能,同時(shí)也說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)間有著緊密的聯(lián)系.

        [關(guān)鍵詞]向量 向量投影 線性規(guī)劃

        [中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058(2015)320049

        解決線性規(guī)劃問(wèn)題,常規(guī)的做法就是作出可行域,通過(guò)平移目標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)解.而有些學(xué)生不能準(zhǔn)確地作出可行域,當(dāng)然也就不會(huì)平移目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解.本文介紹一種構(gòu)造向量的方法,求解線性規(guī)劃問(wèn)題,希望能對(duì)學(xué)生有所幫助.

        【例1】 (2015·黑龍江雙鴨市模擬)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)M(x,y)為平面區(qū)域

        x+y≥2x≤1y≤2

        上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則z=-x+y的取值范圍是( ).

        A.[0,1] B.[0,2] C.[-1,0] D.[-1,2]

        圖1

        解析:設(shè)點(diǎn)N(-1,1),則z=-x+y=ON·OM,不等式組所表示的平面區(qū)域是如圖1所示的三角形區(qū)域.∵ON·OM的幾何意義是|ON|與向量OM在向量ON上的投影的積,而可行域中任意一點(diǎn)在向量ON上的投影集中在線段ON上(如圖1),∴ON·OM的取值范圍是[0,|ON|2],即[0,2].故選B.

        點(diǎn)評(píng):運(yùn)用向量的幾何意義避開(kāi)了平移直線,將所求ON·OM的取值范圍轉(zhuǎn)化為求可行域內(nèi)任意一點(diǎn)到向量ON的投影,另辟蹊徑,體現(xiàn)出向量數(shù)量積的核心價(jià)值.

        雖然向量法和

        常規(guī)的線性規(guī)劃求解方法都是動(dòng)態(tài)求解(線性規(guī)劃是平移直線;向量數(shù)量積是作垂線),但兩者運(yùn)動(dòng)的多寡和難易程度是不同的.相比較來(lái)說(shuō),向量法更具可操作性,更易于學(xué)生理解.

        圖2

        【例2】 (2015·河南模擬)已知在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),M(1,12),N(1,0),Q(2,3),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足不等式0≤OP·OM≤1,0≤OP·ON≤1,則w=OP·OQ的最大值為 .

        解析:運(yùn)用向量的投影作出可行域.

        在線段OM上取點(diǎn)A,使OA=25,過(guò)O、A分別作OM的垂線,過(guò)O、N分別作ON的垂線,如圖2,兩個(gè)帶型區(qū)域的公共部分(平行四邊形OBCD)即為可行域.過(guò)C作OQ的垂線,垂足為E,則w的最大值為OQ·OE.

        易求得A(45,25),∴AC的方程為y-25=-2(x-45),

        與NC:y=1聯(lián)立得C(12,1).

        ∵OE為OC在OQ上的投影,∴OE=OC·OQ|OQ|=413,

        ∴w的最大值為OQ·OE=|OQ|·|OE|=4.

        點(diǎn)評(píng):向量投影法作可行域,避開(kāi)了可行域的判斷過(guò)程,充分運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義——投影作出可行域.運(yùn)用投影作可行域的方法是找準(zhǔn)投影,將可行域轉(zhuǎn)化為垂線所夾的區(qū)域.在求w的最大值時(shí),仍是運(yùn)用投影.這種算法也可以利用解直角三角形,避開(kāi)求直線與直線的交點(diǎn).

        運(yùn)用向量的投影作可行域的過(guò)程:先由向量數(shù)量積的范圍找到動(dòng)向量在定向量上的投影范圍(投影是一條線段或射線),如本題中,由0≤OP·OM≤1得動(dòng)向量OP在定向量OM上的投影滿足0≤OP·OM|OM|

        ≤25.因此,在向量OM上取點(diǎn)A,使OA=25,所以O(shè)P在定向量OM上的投影是線段OA;再由投影的邊界點(diǎn)作定向量的垂線,根據(jù)所找的投影確定區(qū)域,同理確定其他條件對(duì)應(yīng)的區(qū)域,最后其公共部分就是可行域.這種確定可行域的方法避開(kāi)了判斷直線上方還是下方的過(guò)程.另外,從直線的方程來(lái)看,過(guò)點(diǎn)A與向量OM垂直的直線的法向量就是OM,該垂線的方程為y-25=-2(x-45),即2x+y-2=0,與轉(zhuǎn)化后的直線方程一致.

        運(yùn)用向量的投影求向量數(shù)量積的最大值(最小值)的解釋:w=OQ·OP=|OQ|·|OP|cos,因?yàn)閨OQ|為定值,所以當(dāng)且僅當(dāng)|OP|cos取最大值(最小值)時(shí),w取最大值(最小值),即當(dāng)且僅當(dāng)OP在OQ上的投影取最大值(最小值)時(shí),w取最大值(最小值)(注意:在OQ正方向上的投影為正值,在OQ負(fù)方向上的投影為負(fù)值).

        總之,巧構(gòu)向量,利用向量的數(shù)量積求解線性規(guī)劃問(wèn)題,可使解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了,避免常規(guī)的線性規(guī)劃求解方法中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤,體現(xiàn)了向量的功能.

        (責(zé)任編輯 鐘偉芳)

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