黨泉元

[摘 要]從菱形的面積出發(fā)，運(yùn)用對角線互相垂直的四邊形的幾何特征，得出對角線互相垂直的四邊形的面積的簡單解法，解決平面幾何中的一些對角線互相垂直的四邊形的面積問題.

[關(guān)鍵詞]平面四邊形 對角線 垂直 面積

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2015）320048

當(dāng)我們學(xué)完菱形的相關(guān)知識后，知道菱形由四個全等的直角三角形組成，所以它的面積S=12·AC·BD（AC和BD為菱形的對角線長度），也就是說，菱形的面積等于對角線乘積的二分之一.這是因?yàn)榱庑蔚膶蔷€是互相垂直的.那么，任意對角線互相垂直的平面四邊形的面積是不是都等于對角線乘積的一半呢？如果這一結(jié)論成立，將會很方便解決任意對角線互相垂直的平面四邊形的面積求解問題.

筆者經(jīng)過探究和證明，發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論是成立的.

一、推理證明

1.對角線互相垂直的凸四邊形的面積公式的證明

圖1

【例1】 已知在凸四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，如圖1所示.

求證：S四邊形ABCD=12·AC·BD.

證明：在四邊形ABCD中，AC⊥BD于E，∴S四邊形ABCD=S△ACB+S△ACD

=12AC·BE+12AC·DE

=12AC·（BE+DE）

=12AC·BD.

2.對角線互相垂直的凹四邊形的面積公式的證明

圖2

【例2】 已知在凹四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD于E，如圖2所示.

求證：S四邊形ABCD=12·AC·BD.

證明：在四邊形ABCD中，AC⊥BD于E，

∴S四邊形ABCD=S△ACB+S△ACD

=12AC·BE+12AC·DE

=12AC·（BE+DE）

=12AC·BD.

綜上，可得出命題：任意對角線互相垂直的平面四邊形的面積等于對角線乘積的一半.

二、命題應(yīng)用

圖3

【例3】 如圖3，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O，△AOB的周長為3+3，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面積.

解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO.

因?yàn)椤螦BC=60°，所以∠ABO=∠CBO=30°.

設(shè)AO=x，則AB=2x，BO=3x，

所以x+2x+3x=3+3，

即（3+3）x=3+3，

解得x=1.

所以O(shè)A=1，OB=3，

所以AC=2，BD=23，

所以S菱形ABCD=12AC·BD=

12×2×23=23.

圖4

【例4】 高為a的等腰梯形ABCD的兩條對角線互相垂直，垂足為O，求梯形ABCD的面積.

解：如圖4，設(shè)等腰梯形ABCD的腰為AB、CD，則AB=CD，AC⊥BD，且OB=OC，

所以∠1=∠2=45°.

過點(diǎn)D作DE⊥BC于E，則△BDE為等腰直角三角形，可得BE=DE=a，

所以AC=BD=BE2+DE2=2a

，所以

S梯形ABCD=12AC·BD=12×2a·2a=a2

.

圖5

【例5】 如圖5，已知在△ABC中，BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD=8，CE=12，求△ABC的面積.

解：連結(jié)DE，則四邊形BCDE的面積為

12EC·BD=12×8×12=48.

又因?yàn)镾四邊形BCDE=34S△ABC，

所以S△ABC=48×43=64.

任意對角線互相垂直的平面四邊形的面積都等于對角線乘積的一半.利用這個結(jié)論將很方便解決任意對角線互相垂直的平面四邊形的面積求解問題.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）