張文亭

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個重要工具.而導(dǎo)數(shù)與函數(shù)結(jié)合的問題一直是高考數(shù)學(xué)中的熱點和難點，常會出現(xiàn)在最后的壓軸題中.在解決這類問題時，很多時候需要去通過引進(jìn)輔助函數(shù)來解題，通過巧妙地構(gòu)造函數(shù)，可以把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，從而順利地解決相關(guān)問題.本文準(zhǔn)備結(jié)合具體事例去說明構(gòu)造函數(shù)在解決各類導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用.

一、構(gòu)造函數(shù)求解與不等式相關(guān)的問題

評注 在解決函數(shù)類不等式問題時，構(gòu)造輔助函數(shù)比較容易，一般是通過直接移項的方法，將不等式的一邊變?yōu)?，將另一邊的函數(shù)作為輔助函數(shù)去研究，方法1就是這種構(gòu)造方式.但這種構(gòu)造方式還需要討論參數(shù)的范圍，對于相對復(fù)雜的函數(shù)這種構(gòu)造方式就有一定的局限性.因此針對本例還可采用更優(yōu)化的方法，根據(jù)題目要求的參數(shù)范圍，先分離變量再構(gòu)造函數(shù)去研究，這樣構(gòu)造出的函數(shù)不含參數(shù)，可以避免討論，更直接地解出所求參數(shù)的范圍.

例2 （2014—2015蘇州期末測試）已知函數(shù)f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx.當(dāng)b=-1時，若f（x）≥g（x）在1e，n上恒成立（n為正常數(shù)），求a的取值范圍.

評注 本題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與方程的問題，先要將函數(shù)圖像有交點轉(zhuǎn)化成方程根的問題，再通過構(gòu)造函數(shù)去研究其性質(zhì).

四、通過構(gòu)造函數(shù)來研究綜合的函數(shù)問題

一些高考函數(shù)的綜合解答題，常常是由一些基本題型演變而成，也常常需要靈活應(yīng)用一些基本函數(shù)和函數(shù)模型，掌握好基本的解題思路，由此出發(fā)易得解題突破口.

評注 本題是比較綜合的函數(shù)問題，考查了導(dǎo)數(shù)問題的各個方面，問題（3）需要去構(gòu)造函數(shù)，本題雖然只含一個參數(shù)，但無法直接分離變量，采用直接構(gòu)造函數(shù)去分析解答更容易解決問題.

總之，構(gòu)造函數(shù)具有較強的靈活性和創(chuàng)新性，在導(dǎo)數(shù)的綜合問題中也有著十分廣泛的應(yīng)用.在解決導(dǎo)數(shù)問題時，不能局限的直接移項去構(gòu)造函數(shù)，需要仔細(xì)觀察和分析題目的特點，發(fā)現(xiàn)條件中的關(guān)系，靈活地去構(gòu)造符合題目特點又容易解決問題的函數(shù)，這樣必定事半功倍，最優(yōu)化地解決問題.