云勇

【摘要】文章從解題教學的角度系統(tǒng)地分析了數(shù)學問題及問題解決的基本過程和教學啟示，以解題教學研究理論為基礎深入剖析了當下解題教學的弊端，并提建議和思考.

【關鍵詞】數(shù)學問題；問題解決；解題教學

1.數(shù)學問題的概念

數(shù)學問題籠統(tǒng)地說是現(xiàn)有水平與客觀需求之間的矛盾，問題就是矛盾.該敘述僅從問題本身的本質特點對問題進行了高度的概括，而從問題解決的心理角度出發(fā)，具備以下特點的數(shù)學問題才能成為學生的問題：①學生能理解問題并愿意解決問題；②學生具有解決問題的知識；③問題的答案不能被學生一眼看出.只有這樣的問題才具有教育教學的意義，例如：哥德巴赫猜想是一個問題，但從教學的角度，從學生心理特征角度看，它不能成為學生的問題.而作為高中學生計算5×0.2不成為問題，因為問題解決要具備教育功能，至少要達到具有鞏固數(shù)學知識、訓練數(shù)學技能、貫穿解題策略、發(fā)展學生思維的作用，所以問題應具備理解性.障礙性和挑戰(zhàn)性.美國著名的問題解決專家兇菲爾德給出了“好問題”的五條審美原則，即一個好問題必須是容易接受的，有多種解題方法，蘊含了重要的數(shù)學思想，不故意設陷阱，可以進一步開展和一般化.數(shù)學教師都有自己的數(shù)學教學觀念和對問題好壞的評價標準，在教學中數(shù)以千次地應用這些標準去為自己的學生選題，但各自所擁有的評價標準是否合理是值得探究的.

2.數(shù)學問題解決的模型

問題的特征不同，問題的類型也就不同，從而解決問題的模型也就各有差別，只能從問題解決的基本特征上得到大致的過程模型.根據(jù)我國高考數(shù)學問題的特點將各種類型問題的解題過程做深入研究，得到具體類型問題的解題過程模型成為當下教輔圖書編寫的主要思路（能提高學生的分數(shù)），但解題過程模型越是具體，則針對的問題面也就越窄，這樣處理有使學生進去機械模仿的嫌疑，不利于學生解題能力的提高.所以在教學實踐中將抽象的解題模型適當具體到問題，應用到課堂，才有利于學生解題能力的提高，例如波利亞的著作《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》中就歸納了幾種常用的具體解題模型，前四章就分別是雙軌跡模型、笛卡爾模型、遞歸模型、疊加模型.

3.數(shù)學問題解決的特征

問題解決具有多步化歸、多元表征、多層結構等特征，相關研究頗為豐富，這里做簡要概述.所謂“化歸”，是把未知的、待解決的問題轉化為已知的、已解決的問題，從而解決問題的過程.弗里德曼說：“解題就是把題歸結為已經(jīng)解過的題.”而波利亞的《怎樣解題表》中有30多個問句或建議體現(xiàn)了化歸的策略.數(shù)學問題解決的多步化歸使得“典型例題”在解題能力提升的過程中起到了關鍵的地位.只有掌握了一批典型例題，在解決新問題時才容易找到化歸的方向.但實際教學中不能因為講典型例題，而忽視了問題是提高思維能力的載體這一基本理念（筆者觀點），殊不知，典型例題也有被第一次被解決的過程，以后多次解決類似的問題，典型例題才能被熟悉，才能有被應用與化歸的可能.

知識表征指知識在頭腦中的表示形式和組織結構.知識是個體與信息甚至整個情境相互作用而獲得的，個體一旦獲得知識，就會在頭腦中用某種形式和方式來代表其意義，把它儲存起來.而問題表征是指問題解決者通過審題，認識和理解問題的結構；通過聯(lián)想，激活頭腦中與之相關的知識和經(jīng)驗，將外部信息轉化為內部信息，形成問題空間的過程.由于知識在頭腦中儲存具有多樣性，決定了知識表征的多樣性，如函數(shù)的單調性就有文字性表征、圖像表征、符號表征，學生甚至會采取弱表征的思維習慣，用具體函數(shù)的單調性表征一切函數(shù)的單調性，而問題表征需建立在知識表征的基礎上，所以問題表征變得更是復雜多元，如數(shù)形結合思想實際上是代數(shù)表征與幾何表征之間的轉化，特殊化事實上是不完整的問題表征方式，因為特殊化反映了問題解決的一個狀態(tài)結構.所以教學中如何引導學生采取合理的問題表征方式成為解題教學的重點.而當前對問題表征的研究紛亂復雜，以致表征理論的實際應用顯得更為困難，所以建立解題教學中各類問題的有效的問題表征策略是理論與實踐結合的重點.

數(shù)學問題既包括結構良好的問題，也不良結構的問題，而問題的結構特征與相關知識領域有密切聯(lián)系，多層結構這一特點是針對問題結構特點而言的，但是問題的結構特點決定了解題過程的多樣性、思維的開放性等特點，這是值得重視的.特別地，不良結構的問題對學生思維的訓練更為有效.

4.影響數(shù)學問題解決的因素

影響數(shù)學問題解的因素大致可以分為兩類：內部因素（知識基礎、解題策略、元認知、信念、動機）和外部因素（對問題的熟悉程度、環(huán)境因素、題型、問題的特點、結構、復雜程度、問題情境）.

問題的解決是解題者對問題的操作過程，影響問題解決的外部因素主要是問題的基本特征，內部因素反映了解題者對待問題的態(tài)度和操作問題的手段以及對操作問題過程中的監(jiān)控.在教學實踐中，更多地強調了外部因素對問題解決的影響，因為問題是可以看得到的，讓學生更深刻地認識問題是容易做到的，但要提高學生的知識結構、發(fā)展學生解題策略、培養(yǎng)學生的元認知能力是看不到的，實際教學中我們忽視了內部因素對問題解決的影響.學生會解常規(guī)題，原因就在于學生機械地深刻地認識了常規(guī)題的問題特點，但是創(chuàng)新題、探究題及高考壓軸題（也即難題）學生便束手無策，因為他們缺乏解題策略，沒有解題信心，無法認識自己解題思維過程的確定性.所以，教學中應重視學生解題策略和元認知能力的培養(yǎng)，注重學生各類知識之間的轉化與聯(lián)結的建構.

內部因素培養(yǎng)要以問題解決為載體，問題解決需對問題的結構特點進行深入的剖析，所以內部因素和外部因素的培養(yǎng)是同時的，若只就題論題則必然會忽略內部因素的培養(yǎng)，使學生走向機械練習的題海戰(zhàn)術.