黃俊杰

(江蘇省海門中學(xué), 江蘇 南通 226100)

地球同步衛(wèi)星軌道的空間資源是十分有限的,一方面不能在赤道上空無限制地發(fā)射同步衛(wèi)星,另一方面,所發(fā)射的同步衛(wèi)星也無法保證一定是在作圓軌道運動,它有可能會在同步圓軌道附近做離心率很小的周期為24 h橢圓運動．如圖1所示,24 h橢圓軌道上P、P′點,橢圓軌道衛(wèi)星的角速度等于同步圓軌道衛(wèi)星的角速度,即ω=ω0.假定初始時刻,橢圓軌道衛(wèi)星位于P′點,同步圓軌道衛(wèi)星位于Q′點,在近地心區(qū)域P′AP范圍內(nèi),橢圓軌道的角速度比同步圓軌道的角速度大,即橢圓軌道衛(wèi)星追及直至超越同步軌道衛(wèi)星到達(dá)橢圓軌道P點,同步圓軌道衛(wèi)星落后到達(dá)Q點.在遠(yuǎn)地心區(qū)域PA′P′內(nèi),橢圓軌道的角速度比同步圓軌道小,同步圓軌道衛(wèi)星反過來追及橢圓軌道衛(wèi)星直至超越橢圓軌道衛(wèi)星到達(dá)軌道Q′點,橢圓軌道衛(wèi)星落后到達(dá)P′．橢圓軌道衛(wèi)星與同步圓軌道衛(wèi)星間的追及與反追及的周期性運動,在以同步圓軌道衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動參考系中,橢圓軌道衛(wèi)星在同步圓軌道衛(wèi)星附近做周期性的往復(fù)運動,這里形象地稱為橢圓軌道衛(wèi)星相對于同步軌道衛(wèi)星的“漂移”運動．

圖1 地球同步衛(wèi)星軌道

技術(shù)上對這類“漂移”是有一定的限制的,通常修正這類“漂移”是通過衛(wèi)星自帶的動力系統(tǒng)完成的．在中學(xué)物理培優(yōu)教學(xué)中,對這種離心率很小的橢圓軌道衛(wèi)星相對于同步圓軌道衛(wèi)星的“漂移”運動的研究,對提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力具有較大的價值．下面選用一道衛(wèi)星“漂移”問題進(jìn)行分析探究以加深對這類問題的理解．

例1.假定各國在發(fā)射衛(wèi)星時都遵從以下規(guī)定：衛(wèi)星進(jìn)入軌道后不可離開本國領(lǐng)土和領(lǐng)海對應(yīng)的領(lǐng)空,即衛(wèi)星與地心連線和地球表面的交點必須落在自己的領(lǐng)土或領(lǐng)海上．為下面討論需要,給出同步衛(wèi)星的軌道半徑R0=4.2×104km．

下面分析一個具體問題：某國發(fā)射一顆周期為T0=1天的不用動力飛行的衛(wèi)星,衛(wèi)星的軌道平面位于赤道平面內(nèi)．容易理解,如果衛(wèi)星取一橢圓軌道,那么它相對于地心的角速度就不是定值,與地面上的參考點之間會發(fā)生相對運動．假設(shè)這個國家僅有θ=2°經(jīng)度范圍的赤道領(lǐng)空,發(fā)射者就必須將衛(wèi)星軌道的偏心率e限制在一個很小的范圍內(nèi),以保證衛(wèi)星不離開本國領(lǐng)空．試確定偏心率e的最大可取值．

解析1：平面直角坐標(biāo)系分析.

依題意,若這個國家僅擁有θ=2°緯度范圍的赤道領(lǐng)空,而橢圓軌道衛(wèi)星又不能離開這個領(lǐng)空,則依據(jù)對稱性,橢圓軌道衛(wèi)星相對于赤道只能在這個2°的緯度范圍內(nèi)作往復(fù)運動．由于赤道繞地心轉(zhuǎn)動的角速度,即地球自轉(zhuǎn)角速度ω0為一定值,則衛(wèi)星相對于地心轉(zhuǎn)動的角速度ω只能在ω0±Δω的小幅范圍內(nèi)變動．

圖2 衛(wèi)星的橢圓軌道與赤道位置關(guān)系示意圖

P、P′右側(cè)ω>ω0,衛(wèi)星相對赤道朝東飛行,設(shè)累積的偏轉(zhuǎn)角度為θ東;P、P′左側(cè)ω<ω0,衛(wèi)星相對赤道朝西飛行,設(shè)累積的偏轉(zhuǎn)角度為θ西．由橢圓軌道衛(wèi)星相對于赤道在一定經(jīng)度范圍內(nèi)的往返運動的周期性可得θ東=θ西,由于題中要求衛(wèi)星不離開該國僅有的θ0=2°經(jīng)度范圍的赤道領(lǐng)空,則有θ東=θ西≤θ0=2°．

我們知道,對于圓軌道的同步衛(wèi)星(偏心率e=0),是不會產(chǎn)生累積的偏轉(zhuǎn)角度的,所以,上述累積的偏轉(zhuǎn)角θ東、θ西都是由于橢圓軌道的角速度變化造成的．

下面選取θ東來討論衛(wèi)星在該國上空單向漂移的情況．

設(shè)衛(wèi)星在P′點時恰好在該國赤道領(lǐng)空區(qū)域的西側(cè)邊界,衛(wèi)星轉(zhuǎn)到P點時恰好處在該國赤道領(lǐng)空區(qū)域的東側(cè)邊界,衛(wèi)星由P′運動到P的過程相對于赤道累積轉(zhuǎn)動的角度為θ東．而后衛(wèi)星又將相對赤道移到赤道領(lǐng)空東側(cè)邊界,如此往復(fù)．

解析2：平面幾何分析.

圖3 將赤道轉(zhuǎn)動用同步圓軌道衛(wèi)星運動代替

可以認(rèn)為要使橢圓軌道衛(wèi)星相對于同步圓軌道衛(wèi)星始終位于θ經(jīng)度范圍內(nèi),需滿足前T/2橢圓軌道衛(wèi)星P追同步圓軌道衛(wèi)星,后T/2同步圓軌道衛(wèi)星追橢圓軌道衛(wèi)星P．我們用橢圓軌道的矢徑OP與同步圓軌道半徑OA、OB、OC的轉(zhuǎn)動追及來分析.

圖4 橢圓軌道

解析3：極坐標(biāo)方程分析.

天體做圓錐曲線運動的問題研究中,極坐標(biāo)系圓錐曲線方程是常用的數(shù)學(xué)方法．

圖5 橢圓的極坐標(biāo)表示

橢圓運動時間分析.根據(jù)角速度

得到轉(zhuǎn)動微小角度dφ的時間為

考慮到本題情境e為小量,可近似表示為

衛(wèi)星運動過程P4→P1：矢徑轉(zhuǎn)動角度為φ0,經(jīng)歷時間T/4,有

衛(wèi)星運動過程P1→P2：矢徑轉(zhuǎn)動φ0→π,經(jīng)歷時間T/4,有

從上述對橢圓軌道衛(wèi)星相對于赤道的漂移過程分析與解答過程不難體會到,給出的3種解法中除了必要的運動分析與小量近似之外,所用到的物理規(guī)律只有開普勒第二定律.該問題將開普勒第二定律與橢圓的性質(zhì)結(jié)合得如此之緊密,需要具備較高的物理分析能力和相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法運用的能力．在物理培優(yōu)教學(xué)過程中,不同板塊的物理內(nèi)容,對數(shù)學(xué)的要求也是有一定的針對性,在天體運動這一板塊,對圓錐曲線,特別是橢圓的性質(zhì)運用的要求極高．加之天體運動在中學(xué)生物理競賽中又是不折不扣的高頻考點,在教學(xué)過程可選用此類探究性的問題,以培養(yǎng)學(xué)生熟練運用數(shù)學(xué)知識研究物理問題的數(shù)理融合能力．