董安琪 陳元

摘要：ETF（交易型的開放式指數(shù)基金），可以在交易所內(nèi)上市進(jìn)行交易并且基金的份額是可變的，在開放式的基金中是一種極其特殊的基金。ETF的優(yōu)點(diǎn)是它結(jié)合了倆大類基金——封閉式和開放式的運(yùn)作特點(diǎn)：第一、交易成本低；第二、當(dāng)天可以套利；第三、具有高透明性。本文以上證50ETF為研究的對(duì)象，通過對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行分析來分析期權(quán)的基本信息。以Excel、MATLAB為工具，利用歷史波動(dòng)率來估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率，代入B-S模型中對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)計(jì)算，并將計(jì)算出的結(jié)果與期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)格進(jìn)行對(duì)比，分析定價(jià)誤差（真實(shí)市場(chǎng)價(jià)格與B-S模型價(jià)格差）產(chǎn)生的可能原因。

關(guān)鍵詞：上證50ETF；B-S模型；期權(quán)定價(jià)

一、引言

在1970年至1980年，期權(quán)在美國(guó)率先出現(xiàn)。期權(quán)是在未來的一定時(shí)期內(nèi)可以進(jìn)行買賣的權(quán)利。它是由期貨延伸而發(fā)展出來的具有衍生性質(zhì)的金融工具，是金融領(lǐng)域的創(chuàng)新型工具，因期權(quán)的有效防范風(fēng)險(xiǎn)和投機(jī)性而迅速席卷市場(chǎng)，引領(lǐng)金融領(lǐng)域新興產(chǎn)業(yè)的發(fā)展。期權(quán)在其本質(zhì)上是可以對(duì)權(quán)利進(jìn)行定價(jià)的工具。根據(jù)期權(quán)所賦予的買者的權(quán)利，可以將期權(quán)區(qū)分為看漲期權(quán)和看空期權(quán)——看漲期權(quán)所賦予的是購(gòu)買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利的，相對(duì)而言看跌期權(quán)所賦予的是賣出的權(quán)利。在1973年，首個(gè)期權(quán)的定價(jià)模型建立，它將證券的組合通過建立一個(gè)期權(quán)與其標(biāo)的資產(chǎn)的組合來進(jìn)行對(duì)沖，并且在均衡時(shí)，滿足無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利率，從這點(diǎn)看來它與無(wú)套利的定價(jià)思想是一致的。從B-S模型的推導(dǎo)中，我們可以得出期權(quán)的定價(jià)的本質(zhì)實(shí)際上就是無(wú)套利的定價(jià)。由此得知，在滿足無(wú)套利時(shí)，證券的組合是可以復(fù)制期權(quán)的。因?yàn)橹袊?guó)經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展和資本市場(chǎng)的快速增長(zhǎng)，指數(shù)化的投資具有突出的優(yōu)勢(shì)——低成本和低風(fēng)險(xiǎn)。而上證50ETF，目前在中國(guó)的市場(chǎng)中最具代表的標(biāo)的指數(shù)之一，是中國(guó)境內(nèi)的第一只ETF的跟蹤標(biāo)的。本文以上證50ETF為例，通過B-S模型，對(duì)50ETF的定價(jià)進(jìn)行了研究。

二、模型的建立

模型以無(wú)套利為基礎(chǔ)，在推導(dǎo)的過程中使用了偏微分方程。B-S式中最關(guān)鍵的有五個(gè)變量：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S、執(zhí)行價(jià)格X、T時(shí)刻到期的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r、現(xiàn)在時(shí)刻t和 波動(dòng)率σ。

運(yùn)用B-S模型有七個(gè)假設(shè)前提：

①證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)

②允許賣空標(biāo)的證券

③沒有交易費(fèi)用和稅收，所有的證券都是完全可分的

④在衍生證券的有效期內(nèi)，標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金的收益支付

⑤不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)

⑥證券的交易是連續(xù)的，價(jià)格的變動(dòng)也是連續(xù)的

⑦在衍生證券的有效期中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)

設(shè)S遵循了幾何維納過程，則：dS=μSdt+σSdz（1-1）

在較短的時(shí)間間隔△t中，△S為：△S=μS△t+σS△z（1-2）

設(shè)變量f是與S有關(guān)的看漲期權(quán)或者其他衍生產(chǎn)品的價(jià)格。變量f必須是S和t的函數(shù)。得到：

三、數(shù)據(jù)處理及實(shí)證研究

1.期權(quán)的基本信息（看漲）當(dāng)期price=31480，距到期日為8天。

行權(quán)價(jià)到期日2.752015-6-24（8天）

2.22015-6-24（8天）2.82015-6-24（8天）

2.252015-6-24（8天）2.852015-6-24（8天）

2.32015-6-24（8天）2.92015-6-24（8天）

2.352015-6-24（8天）2.952015-6-24（8天）

2.42015-6-24（8天）32015-6-24（8天）

2.452015-6-24（8天）3.12015-6-24（8天）

2.52015-6-24（8天）3.22015-6-24（8天）

2.552015-6-24（8天）3.32015-6-24（8天）

2.62015-6-24（8天）3.42015-6-24（8天）

2.652015-6-24（8天）3.52015-6-24（8天）

2.72015-6-24（8天）3.62015-6-24（8天）

Shibor 期限Shibor 利率

隔夜期限3.52800

1周期限4.63900

2周期限5.57900

1個(gè)月期限5.58800

3個(gè)月期限5.13510

6個(gè)月期限4.74420

9個(gè)月期限4.62000

1年期限4.73040

利用歷史波動(dòng)率的方法來估計(jì)標(biāo)的資產(chǎn)的收益率的波動(dòng)率，波動(dòng)率部分?jǐn)?shù)據(jù)如下，數(shù)據(jù)來源于wind資訊。

日期開盤價(jià)（元）2015-05-283.285

2015-05-153.0732015-05-293.081

2015-05-182.982015-06-013.066

2015-05-192.9462015-06-023.194

2015-05-203.0842015-06-033.205

2015-05-213.0892015-06-043.191

2015-05-223.1392015-06-053.34

2015-05-253.2372015-06-083.28

2015-05-263.3282015-06-093.459

2015-05-273.3342015-06-103.316

由價(jià)格數(shù)據(jù)取比值的對(duì)數(shù)得到收益率序列，再根據(jù)收益率序列利用excel中STDEV函數(shù)得到波動(dòng)率，為0.019386009。

2.B-S模型計(jì)算期權(quán)理論價(jià)格

blsprice函數(shù)：[Call，Put] = blsprice（Price，Strike，Rate，Time，Volatility）

輸入數(shù)據(jù)，得到下表：

行權(quán)價(jià)到期日callput2752015-6-24（8天）066390

222015-6-24（8天）116070282015-6-24（8天）061870

2252015-6-24（8天）1115502852015-6-24（8天）057350

232015-6-24（8天）107040292015-6-24（8天）052840

2352015-6-24（8天）1025202952015-6-24（8天）048320

242015-6-24（8天）098032015-6-24（8天）04380

2452015-6-24（8天）093490312015-6-24（8天）034770

252015-6-24（8天）088970322015-6-24（8天）02574643E-198

2552015-6-24（8天）084450332015-6-24（8天）0167417E-84

262015-6-24（8天）079940342015-6-24（8天）00767420E-21

2652015-6-24（8天）075420352015-6-24（8天）262E-0400139

272015-6-24（8天）07090362015-6-24（8天）416E-330104

分析定價(jià)誤差（真實(shí)市場(chǎng)價(jià)格與B-S模型價(jià)格差）及產(chǎn)生的可能原因。從財(cái)經(jīng)類的網(wǎng)站中找出上述期權(quán)的真實(shí)價(jià)格，并作與用B-S模型求出的價(jià)格的差。結(jié)果如下：

真實(shí)的市場(chǎng)價(jià)格B-S模型的價(jià)格差值真實(shí)市場(chǎng)的價(jià)格B-S模型的價(jià)格差值

094881160702119034710618702716

09125111550203031320573502603

08654107040205026020528402682

083811025201871020760483202756

076470980215301657043802723

06992093490235701050347702427

064460889702451006210257401953

05992084450245300356016701314

054890799402505002130076700554

0495407542025880013262E-04-001274

044630709026270009416E-33-0009

039910663902648

由表格中的數(shù)據(jù)可以看出通過B-S模型對(duì)到期日較為接近的期權(quán)估價(jià)存在比較大的誤差，下面對(duì)此進(jìn)行具體分析。應(yīng)用B-S模型來定價(jià)有七個(gè)假設(shè)，而在這七個(gè)假設(shè)中，有些假設(shè)在真實(shí)的市場(chǎng)中是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的，它過于苛刻，因而影響了B-S模型計(jì)算得到價(jià)格的可靠程度，具體的原因分為以下幾個(gè)方面：

1）對(duì)股價(jià)分布的假設(shè)。對(duì)于該模型來說，最為核心的假設(shè)是：股票的價(jià)格的波動(dòng)必須滿足布朗運(yùn)動(dòng)，由布朗運(yùn)動(dòng)可知分布是滿足對(duì)數(shù)正態(tài)的，并且也是一個(gè)連續(xù)性的隨機(jī)過程。而實(shí)際中股票的價(jià)格的變動(dòng)卻不僅僅包括對(duì)數(shù)正態(tài)分布，也包括其他分布。

2）關(guān)于連續(xù)交易的假設(shè)。根據(jù)模型定價(jià)的假設(shè)條件可知：投資者是可以通過調(diào)整期權(quán)和股票之間的頭寸來得到具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合的，但是這在實(shí)際中卻受到了多種條件的限制，如下：

①無(wú)法以相同的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利率借入或者貸出資金

②股票的可分性會(huì)受到具體的情況的制約，并不是完全可分的

③調(diào)整將會(huì)增加交易的成本

因而在實(shí)際中，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好必定會(huì)影響到期權(quán)的價(jià)格。

3）股票的價(jià)格離散度不變的假設(shè)。在實(shí)際中，如果股票的價(jià)格的上升，通常來說會(huì)導(dǎo)致股票價(jià)格的方差下降，并不能保證其離散度的不變。

4）不考慮交易費(fèi)用和稅收的假設(shè)。在實(shí)際的交易中，一定是存在交易費(fèi)用的，并且股息的派發(fā)的時(shí)間的不同和其數(shù)額的不同均會(huì)對(duì)期權(quán)的價(jià)格產(chǎn)生實(shí)質(zhì)上的影響。我們應(yīng)將這些因素加以考察，對(duì)模型進(jìn)行適度的調(diào)整，使股息對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響得以反映出來。具體來說：

若是歐洲買方期權(quán)，調(diào)整方法為：用股票的價(jià)格減去股息d得到的值來代替原先的股價(jià)，代入模型中，求出期權(quán)價(jià)格。

若是美國(guó)買方期權(quán)：

1.將股票價(jià)格減去d的替代原先的股價(jià)，代入B-S模型中，得到的是不提前執(zhí)行情況下的價(jià)格。

2.除息日前執(zhí)行。用調(diào)整后的股價(jià)代替實(shí)際的股價(jià)，距離除息日的時(shí)間代替有效的期限？股息經(jīng)調(diào)整后的執(zhí)行價(jià)格x-d來代替實(shí)際的執(zhí)行價(jià)格，同時(shí)將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利率和股價(jià)的離散度等代入模型中。

3.取在上述兩種情況下的較大值作為期權(quán)的均衡價(jià)格，但是在支付股息的情況較為繁復(fù)時(shí)，調(diào)整的難度很大，不在本文的討論范圍內(nèi)。（作者單位：安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融工程系）

參考文獻(xiàn)：

[1]John C.Hull.OPTIONS，F(xiàn)UTURES AND OTHER DERIVATIVES（8 th Edition）.機(jī)械工業(yè)出版社.2011

[2]黃本堯.Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的精確性及適用性分析[J].財(cái)貿(mào)研究.2002（06）

[3]丁忠明，黃華繼.《證券投資學(xué)》第二版.高等教育出版社.2013