儲著斌

摘 要：APOS理論是美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的一種數(shù)學(xué)教學(xué)理論。他將數(shù)學(xué)概念的建立分為四個(gè)階段，并用于指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐。本文嘗試通過“映射”的教學(xué)設(shè)計(jì)分析APOS理論在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：APOS理論；數(shù)學(xué)概念；映射

概念是人們對客觀事物在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上經(jīng)過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動，逐步認(rèn)識到它的本質(zhì)屬性以后才形成的。概念是思維的基本單位，理解概念是一切數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)，概念混淆不清就無法進(jìn)行其他數(shù)學(xué)活動。然而受應(yīng)試教育的影響，概念的教學(xué)往往易被忽視，許多教師認(rèn)為：概念就是一種規(guī)定，讓學(xué)生記住是主要的，“填鴨式”教學(xué)和“啟發(fā)式”教學(xué)沒什么區(qū)別，講與不講效果也差不多。因此，“一個(gè)定義，幾項(xiàng)注意”式的概念教學(xué)方式比比皆是，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際中表現(xiàn)得更為突出。

一、什么是APOS理論

任何一個(gè)數(shù)學(xué)教育中的理論或模型都應(yīng)該致力于對“學(xué)生是如何學(xué)數(shù)學(xué)的”及“什么樣的教學(xué)計(jì)劃可以幫助這種學(xué)習(xí)”的理解，而不僅僅是陳述一些事實(shí)。[1]基于這樣的考慮，1991年美國數(shù)學(xué)家、教育家杜賓斯基等人提出了APOS理論：APOS分別是由英文action（操作）、process（過程）、object（對象）和scheme（圖示）的第一個(gè)字母所組合而成。這種理論認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果引導(dǎo)個(gè)體經(jīng)過思維的操作、過程和對象等幾個(gè)階段后，個(gè)體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組成圖式，從而理清問題情景、順利解決問題。[2]APOS理論被引入到我國的數(shù)學(xué)教育界，是為數(shù)不多的依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)而建立的教學(xué)理論。與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)概念相比較，APOS理論教學(xué)更能體現(xiàn)“學(xué)生主體，教師主導(dǎo)”的建構(gòu)主義理念，更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

1.第一階段——操作（或活動）（action）階段

數(shù)學(xué)來源于實(shí)際，并應(yīng)用于實(shí)際。而數(shù)學(xué)教學(xué)活動就是將實(shí)際問題抽象概括為理論問題，并給予科學(xué)的定義即數(shù)學(xué)概念，同時(shí)應(yīng)用于研究和實(shí)際。為更好地理解這些數(shù)學(xué)概念需要還原操作或活動，要像數(shù)學(xué)家一樣親自投入，通過實(shí)踐活動來獲得知識，如果沒有這些物理的操作和心理的活動，數(shù)學(xué)概念將成為無源之水、無本之木。這些操作和活動過程蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)際體驗(yàn)，與已獲得的知識進(jìn)行聯(lián)系和比較，引發(fā)學(xué)生的思考，引起思維和認(rèn)知沖突，這樣便使學(xué)生獲得了對問題的初步認(rèn)識。因此這一階段的學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)概念過程化。

2.第二階段——過程（process）階段

在此階段杜賓斯基認(rèn)為學(xué)生需要掌握一種特殊的能力：內(nèi)化和壓縮。所謂內(nèi)化和壓縮可以理解為吸收和消化。在經(jīng)歷了第一階段的操作和活動后，歸納總結(jié)這些活動的共同屬性，在頭腦中進(jìn)行描述和反思，就會形成一種“程序”。此階段中學(xué)生將具體問題抽象化，形成抽象思維，抽象出概念所特有的性質(zhì)。例如，學(xué)生通過計(jì)算認(rèn)識到函數(shù)y=x3只不過是給定一個(gè)不同的x值就會得出相應(yīng)的y值，進(jìn)而理解了函數(shù)就是變量x和y之間的一種對應(yīng)關(guān)系，這樣學(xué)生就已經(jīng)完成了這種階段過程模式的建構(gòu)。

3.第三階段——對象（object）階段

當(dāng)概念發(fā)展到此階段時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對“過程”階段所得出的各種屬性進(jìn)一步總結(jié)提煉，使概念的本質(zhì)屬性形成一個(gè)整體，進(jìn)一步對概念進(jìn)行嚴(yán)格定義，并進(jìn)行數(shù)學(xué)符號化表示。[3]這樣“過程”便凝聚成了“對象”?！皩ο箅A段”使過程更加細(xì)致化，并將其作為一個(gè)新的獨(dú)立對象進(jìn)行新的教學(xué)活動，通過其引導(dǎo)學(xué)生對概念進(jìn)行進(jìn)一步的界定，形成規(guī)范、準(zhǔn)確、簡練的概念定義。例如，將函數(shù)的“過程”壓縮為一個(gè)“整體”，形成函數(shù)的“對象”，從而明確函數(shù)是什么樣的對應(yīng)關(guān)系，形成更加抽象的函數(shù)概念。

4.第四階段——圖式（scheme）階段

作為對象的數(shù)學(xué)概念，是學(xué)生整個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，它需要與結(jié)構(gòu)中其他知識節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的知識網(wǎng)絡(luò)逐漸建立聯(lián)系，形成新的知識網(wǎng)絡(luò)，即學(xué)生將“對象”與他原有的相關(guān)圖式進(jìn)行整合，產(chǎn)生新的圖式結(jié)構(gòu)，從而應(yīng)用到數(shù)學(xué)實(shí)際中去。這樣通過持續(xù)的建構(gòu)，學(xué)生的思維認(rèn)知水平上升到更高的層次，對數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)知進(jìn)一步深化。例如，函數(shù)概念形成“對象”后，結(jié)合集合、一次函數(shù)、二次函數(shù)等形成新的知識板塊，明確了定義域、值域、對應(yīng)法則的定義和函數(shù)符號的意義。在此基礎(chǔ)上函數(shù)與方程、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識可形成一個(gè)龐大的知識網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成了廣闊的應(yīng)用背景。

APOS理論是一種建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)理論，它揭示出數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的建構(gòu)過程。它讓學(xué)生既體驗(yàn)了概念形成的過程，又通過對象建構(gòu)了的新心理圖式；既重視概念學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，又關(guān)注了概念之間的邏輯體系。APOS理論解釋了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，是具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的學(xué)習(xí)理論。

二、“映射”教學(xué)設(shè)計(jì)為例來探討APOS理論的應(yīng)用

1.活動階段

教師在簡單的復(fù)習(xí)引入之后，提出以下問題：

問題1：判斷下列對應(yīng)關(guān)系f是否從集合A到B的函數(shù)，并說明理由。

①A={x|x是某高校高一年級學(xué)生}，B=N，f∶x→x的年齡；②A={x|x是三角形}，B={y|y是圓}，f∶x→x的外接圓；③A={x|x {0，1，2}}，B=N，f∶x→x的元素個(gè)數(shù)。

學(xué)生動手操作，然后回答。根據(jù)函數(shù)定義，由于三小題中集合A或集合B不是非空數(shù)集，故都不是函數(shù)。

2.過程階段

問題2：問題1中對應(yīng)關(guān)系都不是從集合A到B的函數(shù)，但在解決過程中有沒有發(fā)現(xiàn)什么異同之處？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們不是函數(shù)的原因是A或B不是數(shù)集。在教師適當(dāng)引導(dǎo)下，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)①②滿足函數(shù)定義中的“集合A中任何一個(gè)元素在集合B中有且僅有一個(gè)元素與之對應(yīng)”條件在③中不滿足。至此，映射概念的本質(zhì)屬性得以凸顯。

3.對象階段

問題3：上述①②中的對應(yīng)關(guān)系就是我們今天要學(xué)習(xí)的問題：映射。你能敘述映射的定義嗎？

學(xué)生嘗試給映射下定義，教師適時(shí)糾正、補(bǔ)充，板書定義。

4.圖式階段

問題4：判斷下列對應(yīng)關(guān)系f是否從集合A到B的映射，并說明理由。

①A=B=N，f∶x→y=|x-1|；②A={x|x是某一元二次函數(shù)}，B={x|x是數(shù)集}，

f∶x→x的值域；③A={x|x是圓}，B={y|y是三角形}， f∶x→x的內(nèi)接三角形；④A={x|x是四邊形}，B={y|y是圓}，f∶x→x的外接圓。

師生共同討論，舉例從集合A到B的對應(yīng)關(guān)系并說明是否映射，深化對映射概念的理解。

問題5：①映射和函數(shù)之間有何區(qū)別和聯(lián)系？②已知集合A=B={a，b，c}，

則滿足對任意x∈A，都有f[f（x）]=x的映射f∶A→B有多少個(gè)？

此問旨在加強(qiáng)映射與已學(xué)知識的聯(lián)系，讓學(xué)生明確映射不一定是函數(shù)，但函數(shù)一定是映射，培養(yǎng)綜合應(yīng)用能力。

總之，APOS理論對數(shù)學(xué)概念教學(xué)有一定的借鑒作用和參考價(jià)值。教師可以在教學(xué)實(shí)踐中結(jié)合實(shí)際對該理論進(jìn)行探索，不斷總結(jié)與反思，精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動，以促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化與完善。

參考文獻(xiàn)：

[1]鮑建生，周 超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]喬連全.APOS：一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J].全球教育展望，2001，30（03） .

[3]賈 兵，陸學(xué)政.“APOS理論”指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2012（06）.

（作者單位：安徽師范大學(xué)）