李煥煥 楊佳琦 陳晶晶 張雙亮 焦之遠(yuǎn)

摘 要：該文主要研究了一類帶有乘法擾動(dòng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程，首先，通過對(duì)方程作變換，將其轉(zhuǎn)化成了一個(gè)帶有隨機(jī)系數(shù)的微分方程。其次，利用柯西不等式，young不等式，Poincaré不等式和齊次的Dirichlet邊界條件等對(duì)方程進(jìn)行了放縮。再次，通過Gronwall-Bellman引理和一系列的變量代換，先后證明了由原方程生成的動(dòng)力系統(tǒng)有一個(gè)隨機(jī)吸收集，并且吸收集在中有界。因此，吸收集是緊集。最后得出動(dòng)力系統(tǒng)存在隨機(jī)吸引子的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng) 隨機(jī)吸引子 反應(yīng)擴(kuò)散方程 乘法擾動(dòng) 存在性

中圖分類號(hào)：O193 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）09（c）-0183-03

反應(yīng)擴(kuò)散方程涉及的大量問題主要來自于力學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)和化學(xué)中的數(shù)學(xué)模型，人們已經(jīng)從很多方面進(jìn)行了一定程度的研究，例如：反應(yīng)擴(kuò)散方程解的唯一性，全局吸引子等。一般問題都伴隨著不確定因素的干擾，由于確定性系統(tǒng)是理想化模型，大部分時(shí)候忽略了許多來自周圍環(huán)境的微小擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，所以一般用隨機(jī)擾動(dòng)代替這些擾動(dòng)因素，從而使動(dòng)力系統(tǒng)更接近物理現(xiàn)實(shí)。而隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的漸進(jìn)行為主要是通過隨機(jī)吸引子來描述的。所以著手證明的是關(guān)于帶乘法擾動(dòng)的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程所確定動(dòng)力系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子的存在性，該文主要考慮帶乘法擾動(dòng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程模型。

1 乘法擾動(dòng)下的反應(yīng)擴(kuò)散方程

該文研究乘法擾動(dòng)下的反應(yīng)擴(kuò)散方程：

定理4 設(shè)≤，那么隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)有唯一的隨機(jī)吸引子。

證：對(duì)于給定的≤1，由引理1可知，動(dòng)力系統(tǒng)有一個(gè)隨機(jī)吸收集，由引理3可知，吸收集在中有界，因此，吸收集是緊集。所以，動(dòng)力系統(tǒng)有唯一的隨機(jī)吸引子。

參考文獻(xiàn)

[1] 王斌.在加法擾動(dòng)下的廣義Kuramoto—Sivashinsky方程的隨機(jī)吸引子[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，29（11）：14-21.

[2] 陳華濤.一類隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的吸引子及其維數(shù)估計(jì)[D].西南交通大學(xué)，2011.

[3] 周英告.一類Gronwall-Bellman型不等式的統(tǒng)一證明及其推廣[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（5）：1-3.

[4] 郭柏靈.隨機(jī)無窮維動(dòng)力系統(tǒng)[M].北京航空航天大學(xué)出版社，2009.

[5] 林元烈.應(yīng)用隨機(jī)過程[M].清華大學(xué)出版社，2005.