摘 要：判別分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種重要的數(shù)據(jù)處理方法，也是數(shù)據(jù)挖掘的重要技術(shù)之一。該文主要研究多元統(tǒng)計(jì)分析中的距離判別分析方法。第一，介紹了判別分析的基本思想。第二，主要圍繞距離判別分析具體方法展開論述。首先，論述了距離的定義，主要介紹了閔可夫斯基距離和馬氏距離的定義。其次，重點(diǎn)介紹了兩總體的距離判別分析和多總體的距離判別分析的方法。分別從方差相等和方差不相等的兩種不同情形進(jìn)行展開論述。第三，闡述了判別準(zhǔn)的評(píng)價(jià)，給出了誤判率的估計(jì)值。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)挖掘 距離判別分析 兩總體的距離判別分析 多總體的距離判別分析

中圖分類號(hào)：O21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）09（c）-0155-02

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來臨，人們?cè)絹碓街匾晹?shù)據(jù)挖掘技術(shù)。數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)是從大量數(shù)據(jù)中挖掘出隱含的、先前未知的、對(duì)決策有潛在價(jià)值的關(guān)系、模式和趨勢(shì)，并用這些知識(shí)和規(guī)則建立用于決策支持的模型，提供預(yù)測(cè)性決策支持的方法、工具和過程[1]。統(tǒng)計(jì)學(xué)中的很多分析方法都能夠很好的處理和分析數(shù)據(jù)，主要包括：數(shù)據(jù)描述性分析、回歸分析、判別分析、聚類分析、主成分分析、典型相關(guān)分析和數(shù)值模擬分析等方法。本文著重介紹判別分析中的距離判別分析方法，希望能夠應(yīng)用該方法在數(shù)據(jù)中挖掘出有用的信息。

1 判別分析的基本思想

判別分析是多元統(tǒng)計(jì)分析中用于判別樣本所屬類型的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。判別分析是指事物的分類是清楚的，目的是通過已知分類建立判別函數(shù)，預(yù)測(cè)新的觀察對(duì)象所屬類別。判別分析適用于被解釋變量是非度量的屬性變量，而影響被解釋變量的解釋變量是度量變量。判別分析按判別的組數(shù)來分，有兩組判別分析和多組判別分析；按區(qū)分不同總體所用的數(shù)學(xué)模型來分，有線性判別和非線性判別； 按判別對(duì)所處理的變量方法不同，有逐步判別、序貫判別等； 按判別準(zhǔn)則不同，有距離判別、貝葉斯判別（Bayes）、費(fèi)歇（Fisher）判別等。該文著重介紹其中的距離判別分析。

2 距離判別分析

2.1 距離的定義

2.1.1 閔可夫斯基距離

設(shè)有維向量，則稱為維向量、之間的閔可夫斯基距，其中為常數(shù)。當(dāng)時(shí)閔可夫斯基距離就是常見的歐氏距離。

2.1.2 馬氏距離

馬氏距離是由印度統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬哈拉諾比斯（PC Mahalanobis）提出的，由于馬氏距離具有統(tǒng)計(jì)意義，在距離判別分析時(shí)經(jīng)常應(yīng)用馬氏距離：

（1）同一總體的兩個(gè)向量之間的馬氏距離。

設(shè)總體G的兩個(gè)維觀測(cè)向量，稱為維向量、之間的馬氏距離。其中為總體協(xié)方差矩陣，通常取為實(shí)對(duì)稱正定矩陣，當(dāng)Σ為單位矩陣時(shí)馬氏距離就是歐氏距離。

（2）一個(gè)向量到一個(gè)總體的馬氏距離。

總體G的均值向量為μ，協(xié)方差矩陣為Σ。則稱為n維向量x與總體G的馬氏距離。

（3）兩個(gè)總體之間的馬氏距離。

設(shè)有兩個(gè)總體G1，G2，兩個(gè)總體的均值向量分別為，協(xié)方差矩陣相等，皆為，則兩個(gè)總體之間的馬氏距離為。

2.2 兩總體的距離判別分析

距離判別分析思想是：根據(jù)已知分類的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各類的重心即分組的均值，對(duì)任給的一次觀測(cè)，計(jì)算其與每一類中心的距離，最后依據(jù)最小距離進(jìn)行判別。若它與第類的距離最小，就判定其歸屬于第類。

2.2.1 兩總體的協(xié)方差矩陣相等的情況

設(shè)兩個(gè)總體、協(xié)方差陣均為，考慮維樣品到總體、的馬氏距離的平方差為：

，其中，、為兩個(gè)總體的均值。于是判別準(zhǔn)則為：。 在實(shí)際問題中、、為樣本的估計(jì)值。

2.2.2 兩總體的協(xié)方差矩陣不相等的情況

設(shè)兩個(gè)總體、協(xié)方差陣分別為與不相等，均值分別為、。則樣品到總體、的馬氏距離的平方差為：，判別準(zhǔn)則仍為：。兩種情況的區(qū)別是判別函數(shù)不同。

2.3 多總體的距離判別分析

設(shè)有多個(gè)總體，均指向量分別為，協(xié)方差矩陣的分別為。對(duì)于待判樣品，計(jì)算其到個(gè)總體的馬氏距離，若存在第個(gè)總體使得則判定樣品屬于第個(gè)總體。

2.3.1 總體協(xié)方差矩陣相等時(shí)的判別

當(dāng)每個(gè)總體的協(xié)方差矩陣都相等時(shí)，判別函數(shù)為：，則到的距離最小等價(jià)于對(duì)所有的，有。其中總體均值向量與協(xié)方差矩陣用樣本的均值和樣本協(xié)方差矩陣代替。

2.3.2 總體協(xié)方差矩陣不全相等時(shí)的判別

假設(shè)有個(gè)總體，則樣品到各個(gè)總體的馬氏距離的平方分別為：。若，則判定。

3 判別準(zhǔn)則的評(píng)價(jià)

誤判率是考察一個(gè)判別準(zhǔn)則的優(yōu)良性的一個(gè)指標(biāo)。誤判率的估計(jì)思想是：屬于樣品被誤判為屬于樣品的個(gè)數(shù)為個(gè)個(gè)，屬于樣品被誤判為屬于樣品的個(gè)數(shù)為個(gè)個(gè)，兩總體樣品總數(shù)為個(gè)，則誤判率的估計(jì)為：。

4 結(jié)語

首先，該文系統(tǒng)的闡述了距離判別分析的基本思想和具體方法。按照統(tǒng)計(jì)學(xué)中的馬氏距離的定義給出了判別函數(shù)。進(jìn)行兩組判別分析和多組判別分析，對(duì)應(yīng)的構(gòu)造了線性判別函數(shù)和二次判別函數(shù)。在今后的研究過程中也可以考慮使用閔可夫斯基距離構(gòu)造判別函數(shù)，并和馬氏距離構(gòu)造的判別函數(shù)的判別效果進(jìn)行對(duì)比分析，以考察哪種判別函數(shù)更合理，以及考察相互之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而能夠從更多的角度去研究同一個(gè)問題，得到更好的分析結(jié)果。其次，該文只是研究了距離判別分析，但是判別分析的方法有很多種，還有貝葉斯判別（Bayes）分析、費(fèi)歇（Fisher）判別分析等。在今后的研究和學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)這些方法的比較研究，從而靈活應(yīng)用每種方法分析數(shù)據(jù)，最后得出精確的分析結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

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