董媛媛

【摘要】區(qū)間數(shù)作為一類特殊的模糊數(shù)，其性質(zhì)和運(yùn)算法則在很多文獻(xiàn)中進(jìn)行了討論，根據(jù)前人所做的大量的有關(guān)區(qū)間數(shù)運(yùn)算法則的基礎(chǔ)的研究在此對(duì)其運(yùn)算法則做了系統(tǒng)的研究.

【關(guān)鍵詞】區(qū)間數(shù)；運(yùn)算法則

【中圖分類號(hào)】O159 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

一、引 言

區(qū)間作為實(shí)數(shù)的集合在經(jīng)典數(shù)學(xué)中已有明確的含義.近年來(lái)隨著模糊數(shù)學(xué)這門(mén)新學(xué)科的興起，在其理論完善的諸多方面都用到了有關(guān)區(qū)間模糊數(shù)的四則運(yùn)算，如利用區(qū)間數(shù)的排序進(jìn)行的模糊決策，還有在模糊規(guī)劃中將模糊規(guī)劃轉(zhuǎn)化為區(qū)間規(guī)劃來(lái)解決等等，而目前對(duì)區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則描述種種，很多學(xué)者提出了廣義區(qū)間數(shù)、正區(qū)間數(shù)、負(fù)區(qū)間數(shù)、零區(qū)間數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間數(shù)、虛區(qū)間數(shù)等等不同的概念，以便使有關(guān)區(qū)間數(shù)的運(yùn)算表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔實(shí)用.本文將諸多學(xué)者對(duì)有關(guān)區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則做一個(gè)系統(tǒng)的研究.

二、區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則

在文獻(xiàn)[1]中給出了區(qū)間數(shù)的定義：I=[a，b]={x|a≤x≤b，a，b∈R}叫作一個(gè)區(qū)間數(shù)，并且給出了區(qū)間數(shù)的運(yùn)算公式：

這里對(duì)0[c，d]時(shí)[a，b]÷[c，d]沒(méi)有定義，而且在一般情況下分配律是不成立的，加法與減法、乘法與除法不再像實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算那樣是互逆的運(yùn)算.

文獻(xiàn)[2]在區(qū)間數(shù)加法、減法、乘法、除法運(yùn)算的基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出了區(qū)間數(shù)的乘方與開(kāi)方運(yùn)算，并給予了嚴(yán)格的證明，從而豐富了區(qū)間數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).文獻(xiàn)[2]中關(guān)于區(qū)間數(shù)的加法、減法、乘法、除法同文獻(xiàn)[1].下面直接以兩個(gè)定理的形式給出區(qū)間數(shù)的乘方與開(kāi)方運(yùn)算：

定理1（區(qū)間數(shù)的乘方運(yùn)算）：n∈N，[a，b]n=[min{an，bn}，max{an，bn}]，特別的，當(dāng)a≥0時(shí)，n∈N，[a，b]n=[an，bn].

定理2（區(qū)間數(shù)的開(kāi)方運(yùn)算）：n∈N，n[][a，b]=[n[]a，n[]b]，a>0.

定理的證明可以參考文獻(xiàn)[2]，在該文獻(xiàn)中還給出了區(qū)間數(shù)乘方與開(kāi)方運(yùn)算的應(yīng)用.

文獻(xiàn)[3]給出了廣義區(qū)間數(shù)的定義：將實(shí)數(shù)集b]，[a，[a|b]和[a，b]稱為廣義區(qū)間數(shù)，其中[a=limb→+∞[a，b]，b]=lima→-∞[a，b]，[a|b]=b]Y[a，且有當(dāng)a≤b時(shí)有[a|b]=R，以及定義了同符號(hào)的廣義區(qū)間數(shù)、不同符號(hào)的廣義區(qū)間數(shù)、有限的廣義區(qū)間數(shù)和無(wú)窮的廣義區(qū)間數(shù)，在此基礎(chǔ)上給出了廣義區(qū)間數(shù)的四則運(yùn)算，由于廣義區(qū)間數(shù)的加法、減法的運(yùn)算較簡(jiǎn)單，故在此結(jié)合文獻(xiàn)[4]直接以幾個(gè)定理的形式給出廣義區(qū)間數(shù)的乘、除法的直接表示法：

定理3（廣義區(qū)間數(shù)的乘法運(yùn)算）：

1）若A為一個(gè)同符號(hào)的廣義有限區(qū)間數(shù)，則：

交換A，B的位置即可得b≤0，c≥0時(shí)的情況以及采用取極限的方法便可以得到無(wú)窮時(shí)的情況，其他結(jié)論可以參考文獻(xiàn)[3]的兩個(gè)推論.

2）若A，B為不同號(hào)廣義區(qū)間數(shù)時(shí)，則

定理4（廣義區(qū)間數(shù)的除法運(yùn)算）：

文中還定義了廣義逆元，用四個(gè)定理給出了廣義區(qū)間數(shù)的逆運(yùn)算，這也大大豐富了區(qū)間數(shù)的運(yùn)算為解區(qū)間數(shù)方程奠定了理論基礎(chǔ).

在上述提到的有關(guān)區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則中我們發(fā)現(xiàn)其加法與減法不是互逆的，乘法與除法也不是互逆的，為了適應(yīng)實(shí)際應(yīng)用的需要和更加完善區(qū)間分析理論及模糊數(shù)學(xué)理論，因此我們就有必要提出一種更適宜的運(yùn)算規(guī)則，基于此文獻(xiàn)[5]引入了虛區(qū)間、區(qū)間模以及廣義區(qū)間數(shù)的概念，文中將虛區(qū)間和實(shí)區(qū)間統(tǒng)稱為廣義區(qū)間.它以幾個(gè)命題的形式給出了區(qū)間數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)并給予了證明.文中還定義了區(qū)間數(shù)的另外一種運(yùn)算：區(qū)間數(shù)的取大取小運(yùn)算以及區(qū)間數(shù)的模運(yùn)算.

文獻(xiàn)[6]在回顧了泛灰數(shù)的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上給出了區(qū)間數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示，并論述了標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間數(shù)的四則運(yùn)算法則與泛灰數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系及其應(yīng)用前景.在此就直接給出標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法：

容易證明標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算方法與一般區(qū)間數(shù)的運(yùn)算法則是等價(jià)的，而且其加法與減法、乘法與除法分別是互為逆運(yùn)算的，這又大大擴(kuò)大了區(qū)間數(shù)的運(yùn)算功能.

文獻(xiàn)[7]鑒于許多有關(guān)區(qū)間數(shù)的運(yùn)算的性質(zhì)中加法與減法、乘法與除法都不是互逆的運(yùn)算，故在此以定義的方式給出了區(qū)間數(shù)的逆運(yùn)算定義分別為：第二類加法運(yùn)算、第二、三類減法運(yùn)算、第二類乘法運(yùn)算以及第二、三類乘法運(yùn)算，并將這些運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用于求解一些簡(jiǎn)單的區(qū)間數(shù)方程.

【參考文獻(xiàn)】

[1]賀仲雄.模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用[M].天津科學(xué)技術(shù)出版社， 1984：76-94.

[2]歐伯群.Fuzzy數(shù)中區(qū)間數(shù)的乘方與開(kāi)方[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000（4）：95-97.

[3]周俊健，張志海，劉紹英.廣義區(qū)間數(shù)的四則運(yùn)算[J].河北煤炭建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)， 1996 （2）： 51-55.

[4]劉紹英，張志海，周俊健.廣義區(qū)間數(shù)的四則運(yùn)算（續(xù)）[J].河北建筑科技學(xué)院學(xué)報(bào)， 1997， 14（3）：58-62.

[5]蘇連青，李法朝，仇計(jì)清.廣義區(qū)間數(shù)及其運(yùn)算[J].河北輕化工學(xué)院學(xué)報(bào)， 1997， 18（1）：11-14.

[6]王清印，呂瑞華.區(qū)間數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示及其四則運(yùn)算法則與泛灰數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)， 2005， 35（6）：216-221.

[7]謝季堅(jiān)，劉承平.模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用[M].武漢：華中理工大學(xué)出版社，2000：169-254.