劉雪婷 童莉

一看到“模型”這個詞，你首先想到的是什么？汽車模型？飛機模型？這些都是依照實物的形狀和結構按比例制成的物品，那么什么是數學模型？數學模型思想是如何體現的？本文以二元一次方程組為例，帶領大家認識數學模型，體會數學模型思想.

一、接觸數學模型——“雞兔同籠”問題

“雞兔同籠”問題（如圖1）是一個經典名題，在許多教材中都出現過，對于我們七年級的學生而言，解答這一問題，可以讓我們從已有的經驗出發(fā)，利用二元一次方程組列式簡單、易于理解的特點，經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋和應用的過程，體會數學模型思想，提高舉一反i的應用能力.

我國古代數學著作《孫子算經》中介紹過“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何，意思是：有若干只雞和兔在同一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，籠子中的雞和兔各有多少只？

據說在日本也有類似的問題，如“龜鶴同游”問題：龜鶴同游，共有40個頭，112只腳，龜和鶴各有多少只？類似的問題還有很多，如“人狗同行”問題等.

觀察圖2，再經過比較不難發(fā)現，這類問題有著相似的特征，即雞、鶴、人都有2只腳，兔、龜、狗都有4只腳，這就給我們這樣的啟示：應當存在一種通用的解題方法，對于上述三個問題及與之類似的問題都是適用的.

基于以上分析，請大家看看我們在不同階段是如何解決“雞兔同籠”問題的，這一方面能讓我們了解什么是數學模型，另一方面也能讓我們體會到用哪種數學模型解決問題更簡單，更容易理解.

1.算術解法.

分析模型：腳的總數÷2—頭的總數=兔只數，頭的總數一兔只數=雞只數.

建立模型：列出算式，得94÷2-35=_____ ，35-____= ___.

解答模型：雞有23只，兔有12只.

驗證模型：23只雞和12只兔恰好有35個頭，每只雞有2只腳，每只兔有4只腳，23只雞和12只兔恰好有94只腳，故結果正確.

2.利用一元一次方程求解的方法，

分析模型：雞的腳數+兔的腳數=腳的總數，雞的腳數=2x雞的頭數，兔的腳數=4x兔的頭數=4x（頭的總數一雞的頭數）.

建立模型：列一元一次方程（將文字語言抽象為數學符號）.

設雞有x只，則兔有（35-x）只.

從而可得2x+4（35-x）=94.

解答模型：解一元一次方程，得x=23.

故35-x=12.

所以雞有23只，兔有12只，

驗證模型：同算術解法.

3.利用二元一次方程組求解的方法.

分析模型：雞的頭數+兔的頭數=頭的總數，雞的腳數+兔的腳數=腳的總數.

建立模型：列二元一次方程組（將文字語言抽象為數學符號）.

二、剖析數學模型思想——本質與作用

根據以上解題過程可以發(fā)現，其實無論用哪種方法求解“雞兔同籠”問題，都體現了數學模型思想，都經歷了分析模型、建立模型、解答模型、驗證模型這四個步驟.所謂數學模型，就是利用數學語言將實際問題中的主要關系、主要特征近似或概括地表示出來，從而得到的一種數學結構.數學模型思想體現在從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，最后求出結果并討論結果的意義.

從前面“雞兔同籠”問題的解答中我們會發(fā)現，對于同一個問題，解決問題的數學模型可以有多種，而我們一般會選擇最簡單的一種，在前面的幾種解題方法中，算術解法看起來簡單，但理解起來不是很容易；一元一次方程解起來比較簡單，但為了弄清未知數之間的關系，列式的時候需要費點腦筋：而二元一次方程組則比較直觀，列式也簡單，特別是對于一些數量關系比較復雜的問題，借助二元一次方程組模型可以很快弄清題中的數量關系，解答起來既簡單又準確.

三、體會數學模型思想——“驢騾伏貨：問題

為了進一步認識數學模型并學會運用數學模型思想，我們再來探討一個“驢騾馱貨”問題，這是《希臘文選》中的一個問題.

驢子和騾子馱著貨物并排走在路上，驢子不停地埋怨自己馱的貨物太重.騾子對它說：“你發(fā)什么牢騷？我馱的貨物比你馱的貨物更重.倘若你給我1袋貨物，我所馱貨物的袋數將是你所馱貨物的袋數的2倍：而如果我給你1袋貨物，咱倆馱的貨物才剛好一樣多.”驢子和騾子各馱幾袋貨物？

鑒于“雞兔同籠”問題已經為我們打下了基礎，下面我們就直接運用數學模型思想解決這個問題.

分析模型：由騾子的話可以知道，騾子所馱貨物的袋數+1=2x（驢子所馱貨物的袋數一1），騾子所馱貨物的袋數-1=驢子所馱貨物的袋數+1.

所以驢子馱5袋貨物，騾子馱7袋貨物，

驗證模型：若驢子給騾子1袋貨物，則驢子所馱貨物為4袋，騾子所馱貨物為8袋，騾子所馱貨物的袋數是驢子所馱貨物的袋數的2倍；若騾子給驢子1袋貨物，則驢子和騾子所馱貨物均為6袋，剛好一樣多.故結果正確，

對于這個問題，如果列一元一次方程求解，則不易弄清數量關系，而用二元一次方程組求解就很簡單，也很容易理解.

通過以上分析，大家應該對數學模型、數學模型思想有了初步的了解.并且發(fā)現方程是刻畫現實生活中數量關系的重要模型.如果我們在頭腦中形成了數學模型思想，那么解題就會變得更加容易.

今后我們在學習數學知識時要注意培養(yǎng)數學模型思想，要能夠舉一反三，觸類旁通.只有這樣，我們在解題時才能做到游刃有余.