羅先文

【摘要】數(shù)學來源于具體生活實踐， 數(shù)學與生活息息相關，有著廣泛的應用價值，學習數(shù)學的目的是為了指導實踐，我們需要解決實際問題，首先就要具有把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力，并學會從數(shù)學的角度分析問題和解決生活中的實際問題.數(shù)學在各學科領域中的應用已得到廣泛認可.例如：在管理，農(nóng)業(yè)，工業(yè)，金融，教育等方面，數(shù)學都起到了不可替代的作用.下面就談談數(shù)學的在生活中的一些應用.

【關鍵詞】管理 農(nóng)業(yè) 工業(yè) 教育 金融

0引言

數(shù)學是一門實用性很強的學科，數(shù)學起源于計數(shù)、丈量土地等實際的生產(chǎn)活動，因此一開始就是實用的.它的特點是為解決具體問題而提供算法或解法的.17世紀牛噸根據(jù)力學上的需要發(fā)明微積分后，很長的時間中，很多數(shù)學家同時也是力學家、物理學家，對他們來說，理論和實踐是密不可分的.以后數(shù)學研究越來越深入，分科越來越細，如大學數(shù)學中的計算數(shù)學、微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等學科.數(shù)學的應用已拓展到幾乎每個領域和應用部門，而且在其中起著不可替代的重要作用.

1 數(shù)學在管理中的應用

1.1 一元微積分在管理中的應用

1.1.1 價格需求彈性系數(shù)

在生活中，商品價格主要取決于商品的價值，市場上的競爭，對產(chǎn)品的需求這三個因素，一般說，價格水平對需求升降有影響，價低則需求上升，價高則需求下降，需求升降率與價格變動率之比稱為價格需求系數(shù)，用 表示， 值計算如下：

= Q/Q/ P/P

式中：Q---需求量 Q---需求的變動量 P---原價格 P---價格的變動量

Q/Q---需求升降率 P/P---價格變動率

1.1.2 經(jīng)濟批量法

這是一種在工業(yè)成批生產(chǎn)中，根據(jù)費用來確定合理批量的方法，批量大小對費用的影響，主要有兩個因素：設備調整費用和保管費用.批量越大，設備調整費用越少，分攤在每個產(chǎn)品的調整費用越少，但保管費用越多，反之亦然.求經(jīng)濟的批量的原理就是用數(shù)學的方法求得這兩項費用和的最小的批量.

年設備調整費用為：年設備費用

式中：A表示年調整費用，N表示年產(chǎn)量，Q表示批量.

庫存保管費用為：年庫存保管費用

式中：C為單位產(chǎn)品的平均保管費用

總費用

這個公式就是計算經(jīng)濟批量的公式.

例1 某廠生產(chǎn)商品，其年銷售量為100萬件，每批生產(chǎn)設備調整費用為1000元，而每件的庫存費用為0.05元，問每次生產(chǎn)多大批量為最優(yōu)？

所以應該每批生產(chǎn)20萬件為最優(yōu).

1.1.3 函數(shù)的最值在經(jīng)濟中的應用

最值問題是各學科中應用的基礎.例如，求資源最省、效益最高、路程做短等最值問題，這些問題都可以歸結為函數(shù)的最值問題.在數(shù)學分析中，最值的常用求法是先求原函數(shù)的一階導數(shù)，然后，令一階導數(shù)為零，得到可能的極值點，再對原函數(shù)求二階導數(shù)，把可能的極值點代入二階導函數(shù)，來判斷該點是否為最值.在理論中，最值問題要結合自變量及函數(shù)的取值區(qū)間來考慮，在實際應用中，最值是存在的且一般是唯一的，否則原問題無解.

例2 企業(yè)分次訂購全年需要的原材料2400噸，每次訂貨到后，先存入倉庫，然后陸續(xù)出庫投入生產(chǎn).若每次定貨要支付費用60元，每噸原材料一年的庫存費為3元，每次定貨多少，才能使全年企業(yè)在存貨上所花的費用最?。?/p>

解 ：設每次定貨T噸，所以全年定貨的批數(shù)為2400/T，定貨費用為因平均庫存量為 ，所以存費為 ，因此庫存總費用為

又因為

所以

故L（x， y）在（120，80）處取得利益函數(shù)的極大值L（120，80）=320（元）.又因為駐點只有一個，所以 為利益最大值.

1.2 數(shù)學期望在經(jīng)濟管理中的一些應用

在生活中，有許多問題都可以直接或間接的利用數(shù)學期望來解決.數(shù)學期望是隨機變量的數(shù)字特征之一，它代表了隨機變量總體取值的平均水平.以下通過具體的實例來說明數(shù)學期望在生活中的一些應用.

1.2.1 保險公司獲利問題

例4 一年中一個家庭萬元被盜的概率是 ，保險公司開辦一年期萬元以上家庭財產(chǎn)保險.參加者需要繳納保險費100元，若在一年內，萬元以上財產(chǎn)被盜，保險公司賠償a元 試問a如何確定，才能使保險公司獲利？

解：只需考察保險公司對任一參加保險家庭的獲利情況.設

根據(jù)題意，

=100-

解得

1.2.2數(shù)學期望在天氣預報中的應用舉例

例5 某商場要根據(jù)天氣預報來決定節(jié)日是在商場內還是商場外開展促銷活動.統(tǒng)計資料表明，每年國慶商場內舉行促銷活動可獲得經(jīng)濟效益2萬元，商場外舉行促銷如果不遇到有雨天氣可獲得經(jīng)濟效益10萬元，如果促銷活動中遇到有雨則帶來經(jīng)濟損失4萬元.9月30日氣象臺預報國慶有雨的概率是 ，商場應該選擇哪種促銷方式？

解：設若在商場外舉行促銷活動該商場所獲得的經(jīng)濟效益為 ， 所有可能的取值為10 、-4，則 的分布列為

E

即在商場外舉行促銷活動可期望獲利 萬元，又因為在商場內舉行促銷活動可獲得經(jīng)濟效益2萬元，故商場應選擇在商場外舉行促銷活動.

1.2.3 進貨問題

例6 設某種商品每周的需求 是取從區(qū)間 上均勻分布的隨機變量，經(jīng)銷商進貨量為區(qū)間 中的某一整數(shù)，商品每銷售一單位商品可獲利5000元，若供大于求，則削價處理，每處理一單位商品虧損100元.若供不應求，則可從外部調劑供應.此時一單位商品獲利300元.為使商品所獲利期望不少于9280元，試確定進貨量.

解： 設進貨量為a，則利潤為

期望利潤為

依題意有：

所以利潤期望值不少于9280元的最少進貨量為21單位.

1.2.4大數(shù)定律與中心極限定理的一些應用

下面以彩票為例，闡明大數(shù)定理與中心極限定律的實際應用.

大數(shù)定理是近代保險業(yè)得以建立的基礎.根據(jù)大數(shù)定律和中心極限定理，我們知道承保的危險單位越多，損失概率的偏差越小，反之亦然.因此，保險人運用大數(shù)法則就可以比較精確的預測危險，合理的擬訂保險費率.下面以一道具體的有關保險業(yè)的事例來闡述大數(shù)定律和中心極限定理在保險業(yè)中的重要作用和具體應用.

例7 已知在某人壽保險公司里有10000個同一年齡段的人參加保險，在同一年里這些人死亡率為0.1%，參加保險的人在一年的頭一天交付保險費10元，死亡時家屬可以從保險公司領取2000元的撫恤金.求保險公司一年中獲利不少于40000元的概率；保險公司虧本的概率是多少？

解：設一年中死亡的人數(shù)為x人，死亡率為p=0.0001，把考慮10000人在同一年是否死亡看成10000重貝努里實驗.

保險公司每年收入為10000 元，付出20000x元

由此可見，我們應用大數(shù)定律和中心極限定理的知識可以準確計算出保險公司的破產(chǎn)率，并為采取措施降低保險公司的風險提供了重要的理論依據(jù).在現(xiàn)實生活中，學會使用大數(shù)定律和中心極限定理對我們的學習和生活帶來很多幫助.

2 數(shù)學在農(nóng)業(yè)科學中的一些應用

2.1 微積分在農(nóng)業(yè)中的應用

例 1 某發(fā)酵過程中的酵母細胞數(shù)n與時間t的函數(shù)關系是 ，證明其相對生長率（RGR）是一個常數(shù).

可見，其相對生長率為一常數(shù).

酵母細胞的生長規(guī)律 是假設細胞在一個空間和營養(yǎng)供應都無限制的環(huán)境中進行的，因此，生長率正比于種群大小，即 ，但實際中，環(huán)境營養(yǎng)供應通常不是無限制的，所以，相對生長率將隨著種群大小的增加而降低，于是有如下關系： RGR=r-kn（k為常數(shù)）

例2 某地觀測得夏季綠肥生長量為求從t=20到t=30天綠肥的生長量.（已知N =15.5公斤，k=0.074）

解：生長量函數(shù)是其變化率的原函數(shù)，因此

故從20天到30天間綠肥生長量為 .

2.2 概率在農(nóng)業(yè)中的應用

概率是研究和揭示隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律性的數(shù)學分支，概率在農(nóng)業(yè)中的應用十分廣泛，它貫穿于農(nóng)作物生長的全過程，從一開始的發(fā)芽與否到生長的株高與天數(shù)的關系及最后估量果實產(chǎn)量，還是有生長過程中患病與治病等生長規(guī)律都可用概率解決.

例3 某地小麥易患銹病，當任一種銹病流行時，小麥即被危害，現(xiàn)測得該地條銹病流行的概率為 ， 葉銹病流行的概率為 兩種銹病同時流行的概率為 求小麥被銹病危害的概率為多大.

解：設A、B分別為小麥條、葉銹病流行的事件，則A+B表示小麥被銹病危害事件，根據(jù)加法公式有：

故小麥被銹病危害的概率為 .

例4 高桿糯稻與矮桿糯稻雜交，在 代出現(xiàn)矮桿糯稻的概率為 ，出現(xiàn)矮桿非糯稻的概率為 ，問：（1） 代種20株得到矮桿糯稻2株或2株以上的概率是多少？（2）為了使所種的 代中起碼要有一株矮桿糯稻的把握為99%，至少要種 多少株？

解：（1）沒有矮桿糯稻的概率為：

有1株矮桿糯稻的概率為

有2株或2株以上矮桿糯稻的概率為

（2）起碼有一株矮桿糯稻為99%的把握，就有

即：

所以

即：（1）概率是 .

（2）至少要種72株.

2.3 最小二乘法在農(nóng)業(yè)中的應用

例5 某地為了從綿羊的胸圍做估計測定它的體重，隨機地抽取了10頭綿羊的胸圍與體重得數(shù)據(jù)，資料如下表：

試建立體重Y關于胸圍的經(jīng)驗公式

解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖，如下：

從圖可見， 關于x是有直線變化的趨勢，所以可以利用直線型經(jīng)驗公式： =a+bx表示它們內在的規(guī)律，用最小二乘法解題，計算結果如下表：

把表中各數(shù)值代如公式

由

這樣，對于這個地區(qū)的其它綿羊只要測量出胸圍，通過上式就可計算出它的體重，因此給實際工作帶來了很大方便.

3 數(shù)學在工業(yè)中的一些應用

3.1 小概率事件在統(tǒng)計中的應用

統(tǒng)計推理的基礎是小概率原理，而不是邏輯推理.在顯著性假設檢驗理論中，一般把小概率 稱為顯著性水平.假設檢驗是在給定顯著性水平下，判斷某一假設的正確性.從邏輯上講是一種含有否定意義的結論形式，這個推斷結論是有 可能性錯誤的結論，它不但表現(xiàn)了概率統(tǒng)計的特點，而且表現(xiàn)了可能與不可能的辨證關系.

由此看出，X的值幾乎以概率1落在 區(qū)間內，也就是說，X的值以很小的概率落在 外.

此結論在實際生活中有重要應用.如：某生產(chǎn)線中袋裝鹽的質量X服從均值為1000g，標準差為20g的正態(tài)分布，即X～N（1000，20 ），現(xiàn)對袋裝鹽的質量進行抽查，發(fā)現(xiàn)有一袋鹽的質量為1080g，問：是否有理由懷疑生產(chǎn)線存在故障？

由正態(tài)分布的 袋裝鹽質量應以概率1落在 即（940，1060）之內，現(xiàn)在被抽取的這袋鹽為1080g，落在此區(qū)間的外部，即小概率事件竟在一次實驗中就發(fā)生了，所以我們有理由懷疑該生產(chǎn)線發(fā)生了故障，需要檢修.

例2 某廠有一批產(chǎn)品，共有200件，經(jīng)檢驗合格才能出廠.按國家標準，次品率不能超過 ，今從中任取5件，發(fā)現(xiàn)這5件產(chǎn)品中含有次品.問這批產(chǎn)品是否能出廠？

解： 設這批產(chǎn)品的次品率為p，問題準化為：如何根據(jù)抽樣的結果來

判斷不等式 是否成立？

要檢驗的假設是“ ”.首先，假定 成立，此時，200件中最多有2件次品，從中任取5件，令A“沒有取到次品”，由古典概率模型知

從而，任取5件，出現(xiàn)次品的概率=1—P（A）

以上結果說明，如果 則平均在100回抽樣中，事件 最多出現(xiàn)5回，也就是說，在一次抽樣中，將很少遇到 發(fā)生.由小概率事件原理知，小概率事件在一次實驗中實際上是不可能發(fā)生的，如果在一次實驗中竟然發(fā)生了，那么就認為這是一種反?，F(xiàn)象.然而現(xiàn)在的事實是，在一次具體的抽樣中， 竟然發(fā)生了，這是“不合常理”的.為什么會出現(xiàn)這種不合情理的情況呢？其根源在于我們假定了 ，因此“ ”的假設是不能接受的.這只能說明該產(chǎn)品的次品率不止 ，故判斷不能出廠.

小概率事件原理的應用是非常廣泛的，它是概率論的精髓，是統(tǒng)計學發(fā)展、存在的基礎，它使得人們在面對大量數(shù)據(jù)而需要做出分析與判斷時，能夠依據(jù)具體情況的推理做出決策，從而使統(tǒng)計推理判斷具備了嚴格的數(shù)學理論依據(jù).

4 數(shù)學在金融領域的一些應用

在投資環(huán)境日趨復雜的現(xiàn)代社會，幾乎所有的投資都是在風險和不確定情況下進行的，一般地說，投資者都討厭風險并力求回避風險.但是還是有人進行風險性投資，這是為什么呢？這是因為風險能給人們帶來超過預期的報酬，這種報酬就稱為“風險報酬”.風險程度越高投資者要求獲取的報酬也越高.因此在投資行為發(fā)生前，就必須對風險和報酬進行有效分析，以弄清不同風險條件下的投資報酬之間的關系，從而，在諸多投資者機會中選擇出最有價值的項目進行投資.風險報酬的分析在很大程度上依賴于概率論與數(shù)理統(tǒng)計原理的應用.

下面就以實例論述概率論與數(shù)理統(tǒng)計原理在投資“風險報酬”分析中的應用.

4.1 計算期望報酬

期望報酬是各種可能的報酬率按其概率進行加權平均得到的報酬率，它是反映集中趨勢的一種量度.期望報酬率可按下列公式計算：

其中： ——期望報酬率， ——第i種可能結果的報酬率， ——第i種可能結果的概率，n——可能結果的個數(shù)

例如：甲公司有兩個投資機會，A投資機會是一個高科技項目，該領域競爭激烈，如果經(jīng)濟發(fā)展迅速并且該項目搞得好，取得較大市場占有率，利潤會很大，否則利潤很小甚至虧本.B項目是一個老產(chǎn)品，并且是生活必須品，銷售前景可準確預測.假設未來的經(jīng)濟情況只有三種，繁榮、正常、衰退，有關概率分布和預期報酬率見下表：

下面，根據(jù)上述期望報酬概率公式分別計算A、B項目的期望報酬率：

兩個項目的期望報酬都是20%，那么應該如何確定它們的風險程度呢？ 相比之下可以發(fā)現(xiàn)A方案的報酬非常分散，而B項目的報酬比較集中，一般可以認為B方案的投資風險要比A方案小，這可用標準差來衡量.

4.2 計算標準差

標準差是各種可能的報酬率偏離期望報酬率的綜合差異，是反映離散程度的一種量度，標準差可按下列公式計算：

其中： ——期望報酬的標準差， ——期望報酬率， ——第 種可能的結果

——第 種可能的概率，n——可能結果的個數(shù)

將上述A項目和B項目的資料代入上述公式得到兩個項目的標準差：

標準差越小，說明離散程度越小，風險也就越小.根據(jù)這種測量方法，A項目的風險大于B項目.

5. 數(shù)學在教育中的應用

隨著時代的發(fā)展，各校都在致力于探索適合本校的質量管理體系，加強質量管理，以質量求生存，以質量求發(fā)展.學生的考試成績是教學質量的主要來源，對其定量和定性的分析，有助于學校掌握教學情況，建立適合本校的質量管理體系和機制，而對學生成績的評定是教學過程中的一個非常重要的環(huán)節(jié)，其中我們應如何把握試卷命題難度呢？眾所周知，正態(tài)分布是最常見、應用最廣的一種分布，按照數(shù)理統(tǒng)計的基本原理，經(jīng)統(tǒng)計分析（樣本數(shù) 30）93%的考試成績分布狀況在直觀上表現(xiàn)為“中間多，兩頭少，左右對稱”的特點，因此被測對象的學習或某種能力的指標和某種能力指標的測驗結果 可近似地用正態(tài)分布（ ， ）來描述.通過樣本對總體的某些特征（如均值或方差）推理判斷，已成為教育研究中的一種較為常見的方法.用統(tǒng)計學原理確定學生成績的平均分及正態(tài)分布曲線，并將成為對試卷分析評價的基礎.

保證考試質量是教學活動中不容忽視的重要組成部分.如何提高考試質量，不僅應在考試前對試卷質量進行分析，更應結合試后成績分析作出最終評價.用學生的考試成績可以定量對命題質量進行評價與分析.分析學生考試成績的直方圖，其分布大致可以分為5種情形：（1）單峰且對稱，單峰大體對稱.（2）單峰但峰值偏向左移.（3）單峰但峰值偏右.（4）雙峰或多峰.（5）大體上可以一個平臺型為代表等等.如果把這5種情形的直方圖外廓線描出，則大致為如圖幾種情形的曲線.

根據(jù)教育學與統(tǒng)計學的理論，一次難度適中信度的考試，學生的成績應該接近正態(tài)分布.也就是說，當學生的成績接近正態(tài)分布時，則說明此次考試基本達到了教學要求.判斷成績是否接近正態(tài)分布，最直觀且最有效的方法是將成績分布曲線與均值和方差相同的正態(tài)分布曲線加以比較.當然，學生成績呈現(xiàn)正態(tài)分布是理想化狀態(tài).考試成績完全呈正態(tài)分布有一定的困難，也不現(xiàn)實.但我們要以正態(tài)分布為標準，加以對比，找出不足.

利用教育統(tǒng)計學研究發(fā)現(xiàn)，對于難度適中、客觀有效的考試成績一般都符合正態(tài)分布.因此，我們有理由使用各種高級統(tǒng)計方法處理考試分數(shù)，以挖掘更多的教育信息.考試成績是考生水平的反映，同時考試成績分布是否正態(tài)分布反映了命題質量.根據(jù)正態(tài)分布曲線呈現(xiàn)的形態(tài)，可以進行考題相對難度分析.

平均成績的差異引起曲線的水平位置變化.平均成績越低，如低于65分說明考試試卷難度越大，而偏高在90分以上說明試卷難度太小.若學生成績分布屬（1）的情形，則表明試卷的質量是比較好的.這里又有兩種情形：在標準差不變的情況下隨著平均分數(shù)的增加曲線向右移說明考生答題逐漸輕松；相反，隨著考生平均分數(shù)的減小說明考題逐漸變難，學生成績逐漸降低.在學生和教師工作正常情況下，題目越容易曲線越向右移，在平均分不變的情況下，標準差較小，成績分布較集中.正態(tài)分布曲線呈陡峭型說明試卷區(qū)分度太小，表示中等難度試題所占比重太大，標準差較大，成績分布較平坦，試卷區(qū)分度太大，則表明中等難度試題偏少.若學生成績分布屬（2）的情形，即負偏態(tài)分布說明難度較大的試題比例偏高，表明試卷題目偏難；若顯學生成績屬（3）的情形，即正態(tài)分布說明難度較小的試題比例偏重，則表明試卷題目容易.若學生成績分布屬（4）或（5）等所示的情形，則表明試卷的命題質量不好，隨意性較強，這樣的試卷成績不能很好地測量出學生對所學知識掌握情況.

正態(tài)分布應用的結論：考題相對難度是指考題從整體上講相對考生其難易程度的合理性.用學生成績的平均分數(shù)衡量考題相對難度應是合理、可行的.對于高校結業(yè)類型的考試，經(jīng)統(tǒng)計平均分數(shù)在77分附近時，考題相對難度是合適的.經(jīng)過確定恰當?shù)钠x度等級標準，對試題難度相對學生①考題合理.②考題稍偏易或稍偏難.③考題較易或較難.④考題較易或較難.⑤考題難度不合理的5個等級指標判斷.

綜上所述，考試成績符合正態(tài)分布是說明考題命題合理的條件，也是衡量考試質量的一個客觀標準.所以根據(jù)正態(tài)分布曲線呈現(xiàn)的狀態(tài)，可以評價試卷的難易程度，為評價試卷命題質量提供數(shù)據(jù)資料，進而調整教學進度，改進教學方法.

因此，我們要運用數(shù)學方法加強對教學的管理，完善教育體系.

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