孔凡哲 曾金炳

不等式是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是一元一次方程、二元一次方程組等內(nèi)容的進(jìn)一步發(fā)展.

不等式與方程、函數(shù)作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，三者構(gòu)成初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的最重要內(nèi)容.

一、不等是大千世界中普遍存在的關(guān)系

對(duì)于某一變化過(guò)程中的兩個(gè)量a、b而言，隨著運(yùn)動(dòng)變化，a與b之間的關(guān)系有時(shí)相等，有時(shí)不等，這種數(shù)量關(guān)系就成了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象之一.

1.不等是普遍的關(guān)系，而相等卻是暫時(shí)的、瞬間的關(guān)系.

對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的兩個(gè)量a、b而言，其彼此相等往往是暫時(shí)的，而不等卻是普遍存在的.

例1 甲、乙兩位老師相約乘坐城際高鐵到省城參加教研活動(dòng).乙住處距省城64km，甲住處位于乙住處與省城之間，兩個(gè)住處相距12km.兩人乘坐高鐵（勻速行駛）同時(shí)同向出發(fā)，其距乙出發(fā)點(diǎn)距離與時(shí)間關(guān)系如圖1所示.那么，兩人8min后能同時(shí)到達(dá)省城嗎？其各自所乘坐高鐵的速度分別為多少？

2.尋找差異是衡量不等關(guān)系的重要工具，求差法、求比法是判斷不等關(guān)系的重要方法.

對(duì)于不等關(guān)系a>b，通常采取求差法進(jìn)行分析研究，當(dāng)a、b均為正數(shù)時(shí)，也可以采取求比法進(jìn)行分析研究.

二、準(zhǔn)確把握不等式所蘊(yùn)涵的基本思想

學(xué)習(xí)不等式，除了理解、掌握不等式的基本概念和基本性質(zhì)，還要注意體會(huì)把握不等式的重要思想方法.

1.模型思想.

與相等關(guān)系相比，不等關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中更為普遍的關(guān)系，不等式是刻畫(huà)不等關(guān)系的重要模型.這種模型經(jīng)常與方程、函數(shù)聯(lián)系在一起，三者都是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中量與量之間變化規(guī)律的重要模型.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往需要合理選擇這三種重要的數(shù)學(xué)模型.

例2某工廠(chǎng)現(xiàn)有甲種原料360kg，乙種原料290 kg，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件，已知生產(chǎn)1件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9kg，乙種原料3kg；生產(chǎn)1件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4kg，乙種原料10kg.如果設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則按要求分別需要甲、乙兩種原料各多少？

按要求安排生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，可以有哪幾種方案？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì).

解析：在這里，最重要的信息就是“計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件”，這里包含著兩個(gè)關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系：生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品所使用的甲種原料的數(shù)量不超過(guò)360 kg，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品所使用的乙種原料的數(shù)量不超過(guò)290 kg.

如果設(shè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品x件，那么，生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50-x）件，于是，按要求需要甲種原料[9x+4（50-x）]kg，乙種原料[3x+10（50-x）]kg.從而，上面的兩個(gè)關(guān)系可以等價(jià)地表示為：生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品所使用的甲種原料的千克數(shù)9x+4（50-x）不超過(guò)360.生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品所使用的乙種原料的千克數(shù)3x+10（50-x）不超過(guò)290.

由上述過(guò)程知，建模包含了這樣的過(guò)程：

首先，用自然語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題；其次，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的量，用自然語(yǔ)言描述多個(gè)量之間的不等關(guān)系；再次，用只含一個(gè)未知數(shù)的式子描述這些量之間的不等關(guān)系；最后，用不等式（組）表示不等關(guān)系.

2.辯證思想.

相等關(guān)系與不等關(guān)系是一對(duì)矛盾關(guān)系，但是，在引入松弛量的前提下，“a>b”與“存在一個(gè)正數(shù)c，滿(mǎn)足a=b+c”卻是等價(jià)的，這就是一種辯證思想.這意味著，即使是相互矛盾的一對(duì)關(guān)系，在一定條件下也可以相互轉(zhuǎn)化，

值得一提的是，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這種思想，可以輕松解決相當(dāng)多的問(wèn)題，教材中本章的大部分問(wèn)題，幾乎都可以利用這種思想加以解決.不等式的所有性質(zhì)幾乎都可以采取引入松弛量的方法加以證明.

3.數(shù)形結(jié)合思想.

數(shù)軸是描述不等式（組）的解集的最佳方式之一.其主要的依據(jù)在于，每一個(gè)實(shí)數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù).右邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)總比左邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)大.

從而，所有大于a的數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，都排在數(shù)軸上數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的右側(cè).

按照這種思想，解不等式（組）就變得自然、簡(jiǎn)單.

事實(shí)上，我們?cè)诮獠坏仁剑ńM）時(shí)，運(yùn)用數(shù)軸表示不等式（組）的解集，就是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn).

可見(jiàn)，在解決與不等式（組）有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們要注意數(shù)形結(jié)合，尤其要注意聯(lián)系數(shù)軸或者方程、等式等內(nèi)容，注意不等式與等式之間的轉(zhuǎn)換.同時(shí)，要深刻體會(huì)不等關(guān)系的廣泛存在性，注意使用恰當(dāng)?shù)牟坏仁絹?lái)刻畫(huà)這種不等關(guān)系.

還記得解方程的核心方法是“化歸”嗎？解不等式其實(shí)也是如此，事實(shí)上，無(wú)論是一元一次不等式的解題過(guò)程，還是一元一次不等式組的解題過(guò)程，都是憑借不等式的相關(guān)性質(zhì)，化繁為簡(jiǎn)、合并消元，最終化歸為x>a等的形式.