陳熙春 (廣西省寧夏六盤山高級(jí)中學(xué) 750002)

近年來(lái)的高考試題中,涌現(xiàn)了許多數(shù)學(xué)經(jīng)典名題,其背景新穎、立意高遠(yuǎn)、設(shè)問(wèn)巧妙，猶如一顆顆閃耀的明珠,璀璨奪目,形成了一道亮麗的風(fēng)景線.2021年高考全國(guó)乙卷理科數(shù)學(xué)第21題的命題背景正是阿基米德三角形及其性質(zhì).

拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形通常稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形以其深刻的背景、豐厚的內(nèi)涵產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.歷經(jīng)千年，阿基米德三角形仍然受到高考命題者的青睞．熟練掌握阿基米德三角形的基本性質(zhì),可以快速地解決相關(guān)問(wèn)題,有利于幫助學(xué)生總結(jié)規(guī)律、拓展思維、提高能力.

1 真題呈現(xiàn)

例(2021年全國(guó)乙卷理科第21題)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上的點(diǎn)的距離的最小值為4．

(1)求p；

(2)若點(diǎn)P在圓M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

分析 (1)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于p的等式，即可解出p的值.

(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)．利用導(dǎo)數(shù)求出直線PA與PB的方程，進(jìn)一步可求得直線AB的方程,將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,求出|AB|以及點(diǎn)P到直線AB的距離,利用三角形的面積公式,結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得△PAB面積的最大值.

(2)思維角度1：利用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題.

思維角度2：割補(bǔ)法.利用化歸思想,利用中線對(duì)面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化,把△PAB的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)小三角形的面積之和．

思維角度3：“算兩次”思想.

解法3 從不同角度分別計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo)．

2 阿基米德三角形探究

阿基米德三角形的性質(zhì),以拋物線x2=2py(p>0)為例．如圖1，拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，以A，B為切點(diǎn)的切線PA，PB相交于點(diǎn)P,我們稱弦AB為阿基米德三角形PAB的底邊．

圖1

(2)底邊AB所在的直線方程為(x1+x2)x-2py-x1x2=0．

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則底邊AB所在的直線方程為x0x-p(y-y0)=0．

從而可得：阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對(duì)稱軸．

證法2 (同構(gòu)法)易得直線PA的方程為x1x-py1-py=0，直線PB的方程為x2x-py2-py=0，又直線PA,PB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),故x1x0-py1-py0=0，x2x0-py2-py0=0,則AB所在直線的方程為x0x-p(y-y0)=0.

圖2

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊(即弦AB)過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)C(xC,yC)，則另一頂點(diǎn)P的軌跡為一條直線,其方程為xCx-p(y+yC)=0.

特殊地,當(dāng)定點(diǎn)C在y軸上時(shí)，由性質(zhì)2可得如下推論.

推論若阿基米德三角形的底邊(即弦AB)過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)C(0,m)(m>0)，那么

(1)另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為y=-m；

(4)AP⊥BP；(5)PF⊥AB；

(6)△PAB面積的最小值為p2.

下面只證明結(jié)論(6)．

性質(zhì)3在阿基米德三角形中，∠PFA=∠PFB.

圖3

同理可證|PB′|= |PF|,∠PB′B=∠PFB.所以|PA′|=|PB′|= |PF|.即∠PA′B′=∠PB′A′.

所以∠PA′A=∠PA′B′+90°=∠PB′A′+90°=∠PB′B,即∠PFA=∠PFB.

3 往年高考試題鏈接

(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；

例2(2005·江西卷理第22題)設(shè)拋物線C:y=x2的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x-y- 2=0上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點(diǎn).

(1)求△APB的重心G的軌跡方程；

(2)證明:∠PFA=∠PFB.

分析 第一問(wèn)是典型的利用“相關(guān)點(diǎn)法”求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的問(wèn)題,先利用性質(zhì)1求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)P與點(diǎn)G坐標(biāo)之間的關(guān)系就可得出重心G的軌跡方程.第二問(wèn)本質(zhì)為阿基米德三角形性質(zhì)3，可參考性質(zhì)3的幾何證法,具體解法略.

(2)設(shè)△ABM的面積為S，寫(xiě)出S=f(λ)的表達(dá)式，并求S的最小值.

例4(2008·山東卷理第22題)如圖4，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．

圖4

(1)求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

分析 第一問(wèn)考查了阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對(duì)稱軸這一性質(zhì).第二問(wèn)考查了性質(zhì)1中的底邊AB所在的直線方程.第三問(wèn)考查了阿基米德三角形中的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

例5(2007·江蘇卷理第19題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)y軸正方向上一點(diǎn)C(0,c)任作一直線，與拋物線y=x2相交于A，B兩點(diǎn)，一條垂直于x軸的直線分別與線段AB和直線l:y=-c交于P,Q．

(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，求證：QA為此拋物線的切線．

(3)試問(wèn)(2)的逆命題是否成立？說(shuō)明理由．

分析 第二、三問(wèn)考查了拋物線的切線問(wèn)題及阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對(duì)稱軸這一性質(zhì)．

(1)求曲線C的方程．

(2)動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2

分析 第二問(wèn)考查了阿基米德三角形的面積問(wèn)題,也可以用性質(zhì)1的推論2來(lái)解決.

高考試題凝聚了眾多命題專家的集體智慧,對(duì)中學(xué)教學(xué)起著“引導(dǎo)教學(xué)一面旗”的作用.對(duì)于如何高效地進(jìn)行高考備考,高考試題具有極高的研究?jī)r(jià)值,可以達(dá)到博觀而約取、厚積而薄發(fā)的目的.由阿基米德三角形改編生成的高考題還出現(xiàn)在2013年廣東卷、江蘇卷、遼寧卷,2006年重慶卷、湖北卷等.由此可見(jiàn),歷經(jīng)千年的經(jīng)典名題——阿基米德三角形,蘊(yùn)涵著博大精深的數(shù)學(xué)思想方法,依舊煥發(fā)出勃勃生機(jī),猶如星光璀璨的明珠,點(diǎn)綴著美麗的數(shù)學(xué)天空,閃耀著數(shù)學(xué)家智慧的光芒.真可謂“名題恒久遠(yuǎn),經(jīng)典永流傳”.