李瓊等

針對(duì)嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略，使用空間直角坐標(biāo)法、方程組法等方法，分析構(gòu)建三維坐標(biāo)橢圓方程模型與方程組模型，Matlab軟件編程計(jì)算，確定嫦娥三號(hào)著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置和相應(yīng)速度的大小與方向，嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略，并對(duì)著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的靈敏度分析。

中國國家航天局嫦娥工程包括“繞”、“落”、“回”三個(gè)階段，嫦娥三號(hào)是第二階段的登月探測器，包括著陸器和月球車，它攜帶中國的第一艘月球車，并實(shí)現(xiàn)中國首次月面軟著陸。由于月球上沒有大氣，嫦娥三號(hào)無法依靠降落傘著陸，只能靠變推力發(fā)動(dòng)機(jī)，才能完成中途修正、近月制動(dòng)、動(dòng)力下降、懸停段等軟著陸任務(wù)。本文旨在建立嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略優(yōu)化模型并進(jìn)行靈敏度分析（詳見2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題[1]）。

1 嫦娥三號(hào)著陸軌道和狀態(tài)的確定

研究思路。

從嫦娥三號(hào)運(yùn)行軌道來看，嫦娥三號(hào)從遠(yuǎn)月點(diǎn)開始制動(dòng)使其沿月球做橢圓運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)行到近月點(diǎn)時(shí)制動(dòng)著陸，最后落在虹灣區(qū)。選定嫦娥三號(hào)在19.51°W正上空所對(duì)應(yīng)的著陸準(zhǔn)備軌道做橢圓運(yùn)動(dòng)且近月點(diǎn)在月球極軸的延伸線上，以其極軸為x軸，橢圓中心為原點(diǎn)且月球中心為橢圓焦點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。

數(shù)據(jù)處理

結(jié)果分析

嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)的位置為B（19.51°W，90°N），速度大小為1700m/s，速度方向在近月點(diǎn)與橢圓相切，即方向與x軸垂直，與y軸平行。在遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置為D（19.51°W，90°S），相對(duì)速度大小為1583.5m/s，速度方向與x軸垂直且與y軸反向平行。

2各階段最優(yōu)控制策略的制定

研究思路

依據(jù)問題一中的空間直角坐標(biāo)系與求得的橢圓方程關(guān)系式的分析和進(jìn)一步理解，確定各階段的運(yùn)行軌道[4]和最優(yōu)控制策略[5]。

數(shù)據(jù)處理

著陸準(zhǔn)備軌道階段。嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道階段的著陸軌道為橢圓方程 的一部分。最優(yōu)控制策略：沿月球自轉(zhuǎn)方向保持1.7公里/秒的相對(duì)速度。

嫦娥三號(hào)著陸包括：著陸準(zhǔn)備軌道階段；主減速階段；快速調(diào)整階段；粗避障段；精避障段和緩速下降階段。根據(jù)前兩階段的分析基礎(chǔ)，知可用同樣的模型和原理求得后幾階段行駛分別用的時(shí)間為：167.56s，1.37s，1.46s，0.6172s。且知快速調(diào)整階段全程使用最大推力7500N，此階段保持的時(shí)間為167.56s；在粗避障階段嫦娥三號(hào)的著陸軌道近似為一條豎直向下的直線，最優(yōu)控制策略為主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力保持1559.2N，水平方向做少許移動(dòng)；精避障階段嫦娥三號(hào)著陸軌道近似為一條豎直向下的直線，最優(yōu)控制策略為主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力保持1596.9N，水平方向做少許移動(dòng)；在緩速下降階段嫦娥三號(hào)的著陸軌道為一條豎直的直線，最優(yōu)控制策略是保持主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力不變，使嫦娥三號(hào)在緩速下降過程中相對(duì)月球表面做勻減速運(yùn)動(dòng)。

結(jié)果分析

成功地對(duì)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，并且運(yùn)用一定的物理和數(shù)學(xué)知識(shí)確定了嫦娥三號(hào)各階段的著陸過程，同時(shí)運(yùn)用了Excel、Matlab等軟件對(duì)問題做出精確的求解。根據(jù)所求結(jié)果知嫦娥三號(hào)著陸時(shí)間和實(shí)際著陸時(shí)間相差不大、在一定的誤差范圍內(nèi)，驗(yàn)證了所建模型的可行性；并確定嫦娥三號(hào)著陸軌道過程中6階段的具體方案和最優(yōu)控制策略，達(dá)到了解決該問題的目的。

3靈敏度分析

研究思路和數(shù)據(jù)處理

在主減速和快速調(diào)整階段，可以利用單因素敏感性分析求解推力對(duì)最優(yōu)解的敏感程度。利用Excel，分析推力 變化對(duì)主減速階段最優(yōu)解的影響程度，見表1：

結(jié)果分析

由上述圖表可知，推力 對(duì)主減速階段和快速調(diào)整階段最優(yōu)解的影響程度隨著變化幅度的增大而增大，從而可知，推力 在主減速和快速調(diào)整階段敏感度較高。

以上各模型在建模過程中應(yīng)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法和軟件求解，具有一定的可行性。可以對(duì)嫦娥三號(hào)著陸軌道做出具體方案。首先，根據(jù)所給數(shù)據(jù)和著陸結(jié)果確定其初始位置和狀態(tài)；然后，對(duì)于嫦娥三號(hào)著陸階段過程，通過對(duì)每一階段的分開處理、運(yùn)用不同的方法建立模型對(duì)其進(jìn)行分開求解分析，同時(shí)運(yùn)用軟件進(jìn)行計(jì)算，使結(jié)果更加準(zhǔn)確。最后運(yùn)用相關(guān)軟件分析對(duì)問題求解結(jié)果的可行性和敏感程度，在保證所建模型準(zhǔn)確的同時(shí)使結(jié)果更精確。

（作者單位：安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院）