孟飛

整數(shù)由小到大的變化是跳躍式的。從1跳到2，跨過了許多分?jǐn)?shù)。有理數(shù)從1變到2，中間似乎沒有跳躍，因為1與2之間的有理數(shù)是密密麻麻的，找不到一段空白。其實有理數(shù)從l變到2并非連續(xù)地變化，因為中間跨過了許多無理數(shù)，例如■。

有理數(shù)再添上無理數(shù)，湊成全體實數(shù)。我們說，實數(shù)是可以連續(xù)變化的。說變量x從0變到1，是說x要取遍0到1之間的一切實數(shù)。

在直線上取定一個原點，一個單位長和一個方向，直線就成了數(shù)軸。數(shù)軸上的每個點代表一個實數(shù)，每個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示。實數(shù)可以連續(xù)變化，就是說點可以在數(shù)軸上連續(xù)地運動。

如何精確說明這里所說的連續(xù)性的含義呢？

設(shè)想用一把鋒利的刀猛砍數(shù)軸，把數(shù)軸砍成兩截。這一刀一定會砍在某個點上，即砍中了一個實數(shù)。如果能夠砍在一個縫隙上，數(shù)軸就不算連續(xù)的了。

設(shè)數(shù)軸是從點A處被砍斷的。這個點A在哪半截數(shù)軸上呢？答案是不在左半截上，就在右半截上。這是因為點不可分割，又不會消失，所以不會兩邊都有，也不會兩邊都沒有。

從以上的假想中領(lǐng)會到所謂數(shù)軸的連續(xù)性，就是不管把它從什么地方分成兩半截，總有半截是帶端點的，而另外半截沒有端點。

實數(shù)的連續(xù)性，也就可以照樣搬過來：“把全體實數(shù)分成甲、乙兩個非空集合，如果甲集里任一個數(shù)x比乙集里的任一個數(shù)y都小，那么，或者甲集里有最大數(shù)，或者乙集里有最小數(shù)，二者必居其一，且僅居其一。這就叫作實數(shù)的連續(xù)性。”

有理數(shù)系不滿足這個條件。如把全體負(fù)有理數(shù)和平方不超過2的非負(fù)有理數(shù)放在一起組成甲集，所有平方超過2的正有理數(shù)組成乙集，則甲集無最大數(shù)，乙集也無最小數(shù)。若從甲乙兩集之間下手砍一刀，就砍在縫里了。在實數(shù)系中，這個縫就是用無理數(shù)■填起來的。

這樣把有理數(shù)分成甲、乙兩部分，使乙中每個數(shù)比甲中每個數(shù)大，這種分法叫作有理數(shù)的一個戴德金分割，簡稱分割。有理數(shù)的每個分割確定一個實數(shù)。有縫隙的分割確定一個無理數(shù)，沒有縫隙的分割確定一個有理數(shù)。這樣建立實數(shù)系的方法是德國數(shù)學(xué)家戴德金（J.W.R. Dedekind，1831～1916年）提出來的。