李 倫

（華東政法大學(xué)商學(xué)院，上海 201620）

一、引言

統(tǒng)計(jì)套利策略是國(guó)外市場(chǎng)上較為成熟的策略，廣泛運(yùn)用于股票、期貨以及外匯的交易之中。期貨中的跨期套利策略就是統(tǒng)計(jì)套利策略在期貨方面應(yīng)用的代表。統(tǒng)計(jì)套利策略20世紀(jì)80年代最早由Morgan Stanley的Nunzio Tartaglia研發(fā)并投入使用，取得了巨大的成功，當(dāng)時(shí)主要應(yīng)用于股票領(lǐng)域。統(tǒng)計(jì)套利策略的實(shí)施過(guò)程首先需要找到兩種走勢(shì)相近的資產(chǎn)構(gòu)建價(jià)差組合并要求其價(jià)差是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，具有均值回復(fù)的屬性，在價(jià)差偏離均值一定距離時(shí)對(duì)價(jià)差進(jìn)行交易并預(yù)期價(jià)差將會(huì)回到均值附近從而獲利。不同到期日的股指期貨合約都以滬深300指數(shù)為標(biāo)的，具有實(shí)施統(tǒng)計(jì)套利策略的先天優(yōu)勢(shì)。近年來(lái)，隨著我國(guó)股指期貨市場(chǎng)的逐漸活躍以及網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的改善，統(tǒng)計(jì)套利策略的競(jìng)爭(zhēng)也進(jìn)入了分鐘級(jí)別，成為高頻交易商的最?lèi)?ài)。

關(guān)于統(tǒng)計(jì)套利實(shí)施方法的研究主要包括以下三個(gè)方面：①距離方法：Gatev et al.(2006)應(yīng)用該方法對(duì)1962～2002年間的股票市場(chǎng)日數(shù)據(jù)進(jìn)行了檢驗(yàn)，結(jié)果表明年化收益率達(dá)到了11%。距離方法的好處在于簡(jiǎn)單易用并且不需要任何估計(jì)，但其不足之處在于無(wú)法保證價(jià)差序列的平穩(wěn)性，忽視了價(jià)差過(guò)程的動(dòng)態(tài)性。②協(xié)整方法：Vidyamurthy(2004)對(duì)于協(xié)整方法做了較為詳細(xì)的論述；仇中群，程希駿(2008)應(yīng)用協(xié)整方法分析股指期貨1分鐘高頻仿真交易數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)協(xié)整方法在股指期貨的跨期套利中具有一定的盈利空間。③隨機(jī)價(jià)差方法：Elliot et al.(2005)從價(jià)差服從vasicek過(guò)程為前提，推導(dǎo)得出交易信號(hào)的確立機(jī)制。

本文主要對(duì)仇中群，程希駿(2008)基于協(xié)整方法的跨期套利策略做出改進(jìn)，構(gòu)建一個(gè)基于Z-score的更加具有可行性的交易策略。

二、跨期套利的協(xié)整方法

仇中群，程希駿 (2008)判斷協(xié)整關(guān)系的方法屬于Engle-Granger兩步法，其方法可表述如下：

假設(shè)有兩時(shí)間序列Yt和Zt。

①估計(jì)Yt=α1+β1Zt+e1t或者Zt=α2+β2Yt+e2t。

②對(duì)e1t或者e2t進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。

如果e1t或者e2t為不含單位根的平穩(wěn)序列，則Yt和Zt存在協(xié)整關(guān)系。

仇中群，程希駿(2008)在進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)使用了IF0806和IF0807兩張合約在08-05-19到08-05-21內(nèi)共816分鐘的一分鐘對(duì)數(shù)價(jià)格。對(duì)第101～700分鐘的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)之后得到lnF2=0.8490250108lnF1+1.331246397+resid1。假設(shè)前600分鐘的協(xié)整關(guān)系在第701～800分鐘仍然延續(xù)，取resid2=lnF2-0.8490250108lnF1-1.331246397，可認(rèn)為resid2和resid1具有相同分布，且都是均值為0的白噪聲。令resid3=resid2/var(resid1)作為交易信號(hào)衡量?jī)r(jià)差偏離協(xié)整關(guān)系的程度。

交易策略可以表述為當(dāng)resid3的絕對(duì)值超過(guò)1再回落到1時(shí)開(kāi)倉(cāng)；開(kāi)倉(cāng)后當(dāng)resid3回落到0時(shí)平倉(cāng)；開(kāi)倉(cāng)后當(dāng)resid3的絕對(duì)值超過(guò)2時(shí)止損出場(chǎng)，避免價(jià)差偏離協(xié)整關(guān)系過(guò)遠(yuǎn)而導(dǎo)致賬戶(hù)爆倉(cāng)。為了與后面基于Z-score的交易策略保持一致，將該策略改為當(dāng)resid3的絕對(duì)值超過(guò)1時(shí)開(kāi)倉(cāng)；開(kāi)倉(cāng)后當(dāng)resid3回落到0時(shí)平倉(cāng)。

三、協(xié)整方法的交易表現(xiàn)

本文選取了2012年全年當(dāng)月連續(xù)和下月連續(xù)數(shù)據(jù)，共59670分鐘(數(shù)據(jù)來(lái)源：RESSET數(shù)據(jù)庫(kù))?？紤]到樣本時(shí)間跨度較長(zhǎng)，期間協(xié)整關(guān)系可能會(huì)出現(xiàn)變化，因此采取動(dòng)態(tài)估計(jì)的方法，將樣本分為多個(gè)周期，每個(gè)周期內(nèi)包含估計(jì)期和交易期。估計(jì)期內(nèi)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)，得出相應(yīng)參數(shù)后在交易期內(nèi)假設(shè)協(xié)整關(guān)系保持不變，并根據(jù)上一部分提到的方法進(jìn)行交易。交易期結(jié)束之后再次對(duì)協(xié)整關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)，如此重復(fù)。

假設(shè)初始資金為100萬(wàn)元，每次只交易一手價(jià)差組合，無(wú)交易成本。選取樣本前60%的數(shù)據(jù)，即35800分鐘數(shù)據(jù)作為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，以最大夏普比率為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)檢驗(yàn)期M與交易期N兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化， 得到 M=1020，N=40，sharp ratio=1.65。 以 M=1020，N=40對(duì)全年數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，最后得到年化收益率20.6%，夏普比率1.53。

盡管基于協(xié)整方法的統(tǒng)計(jì)套利策略在沒(méi)有交易成本的情況下取得了20.6%的收益率與1.53的夏普比率，但是這一策略在實(shí)踐中很難執(zhí)行。以仇中群，程希駿(2008)得到的回歸方程為例：resid2=lnF2-0.8490250108lnF1-1.331246397，假設(shè)我們需要賣(mài)空該價(jià)差組合，則我們需要賣(mài)出1手IF0807，買(mǎi)入0.8490250108手IF0806，非整數(shù)倍數(shù)的合約數(shù)量我們無(wú)法進(jìn)行交易。為了實(shí)現(xiàn)1/0.85的對(duì)沖比率，我們必須賣(mài)出20手IF0807，買(mǎi)入17手IF0806。在分鐘級(jí)別的統(tǒng)計(jì)套利策略中買(mǎi)賣(mài)如此大量的合約將會(huì)導(dǎo)致交易成本吞噬掉我們大部分的利潤(rùn)。

四、基于Z-score的交易策略

為了使交易策略在實(shí)踐中可行，我們需要構(gòu)建一個(gè)整數(shù)的對(duì)沖比率。協(xié)整模型的思想是找到一個(gè)對(duì)沖比率β，使得Yt=α+βZt+et中的殘差et成為一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，即通過(guò)調(diào)整β使殘差平穩(wěn)，然后根據(jù)殘差得到交易信號(hào)。統(tǒng)計(jì)套利策略的要點(diǎn)在于交易信號(hào)的平穩(wěn)性而不是殘差的平穩(wěn)性，我們可以設(shè)定β不變得到一個(gè)不平穩(wěn)的殘差序列，然后對(duì)殘差序列進(jìn)行調(diào)整得出我們需要的平穩(wěn)交易信號(hào)?；谶@種想法，我們不妨先將對(duì)沖比率設(shè)定為1，然后對(duì)其殘差序列進(jìn)行調(diào)整，使其成為一個(gè)平穩(wěn)序列，最后據(jù)此得出可以用來(lái)交易的信號(hào)。

這里仍然使用2012年度當(dāng)月連續(xù)與下月連續(xù)的1分鐘數(shù)據(jù)。為了構(gòu)建一個(gè)適合交易的平穩(wěn)交易信號(hào)序列，我們采用Z-score對(duì)價(jià)差序列進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整后的信號(hào)序列為其中St為價(jià)差序列。Mean(St)為樣本均值，Std(St)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。選取20為時(shí)間窗口，并向前滾動(dòng)，計(jì)算價(jià)差序列的Z-score。

據(jù)此我們構(gòu)建交易策略如下：當(dāng)|Zt|>1時(shí)開(kāi)倉(cāng)，當(dāng)Zt回到0時(shí)平倉(cāng)。得到年化收益率25.7%，夏普比率10.5，相比基于協(xié)整模型的交易策略，收益率提升25%，夏普比率則提高了586%。我們選取不同的閥值與時(shí)間窗口長(zhǎng)度對(duì)交易策略的收益率和夏普比率進(jìn)行分析。發(fā)現(xiàn)閥值對(duì)于策略的收益率和夏普比率有著最重要的影響，而時(shí)間窗口的長(zhǎng)度則對(duì)交易策略的表現(xiàn)影響不是很顯著，閥值的選擇是整個(gè)策略成功與否的關(guān)鍵。閥值直接關(guān)系到策略產(chǎn)生交易信號(hào)的多少，從這一點(diǎn)也可以看出交易次數(shù)對(duì)套利策略的重要影響。不論從收益率還是夏普比率方面考慮，閥值為1，時(shí)間窗口長(zhǎng)度為20時(shí)策略的表現(xiàn)都是最佳的。同時(shí)策略的收益率與夏普比例直接保持了良好的比例關(guān)系，說(shuō)明風(fēng)險(xiǎn)在一定程度上維持不變，跨期套利策略很好得控制了風(fēng)險(xiǎn)。

五、結(jié)論

從上面的結(jié)果來(lái)看，基于協(xié)整方法的股指期貨跨期套利策略擁有非常不錯(cuò)的表現(xiàn)。但是非整數(shù)的對(duì)沖比例導(dǎo)致它在股指期貨跨期套利的實(shí)際應(yīng)用中面臨著障礙，這也導(dǎo)致了基于協(xié)整方法的統(tǒng)計(jì)套利模型主要應(yīng)用于外匯市場(chǎng)之中?；赯-score的跨期套利策略通過(guò)將不平穩(wěn)的殘差平穩(wěn)化得到交易信號(hào)的方法回避了這一障礙。

與基于協(xié)整方法的跨期套利策略相比，基于Z-score的跨期套利策略的交易信號(hào)更加平穩(wěn)，更加符合統(tǒng)計(jì)套利策略盈利的原理。兩種策略的盈利水平差別不是很大，但是夏普比率后者則顯著強(qiáng)于前者。不論從實(shí)際可操作性還是策略表現(xiàn)來(lái)看，基于Z-score的跨期套利策略均優(yōu)于基于協(xié)整方法的跨期套利策略。

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