任國彪，馮美祿

(1.鄭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，鄭州 450052;2.河南省教育技術(shù)裝備管理中心，鄭州 450001)

1 引言

平面彈性問題是工程上經(jīng)常遇到的問題，用有限元方法解決平面彈性問題具有計算精度高、方法規(guī)則簡單的特點。但相對于一般的二階問題和四階問題標量求解不同，平面問題要求的是一個向量解，另外在解和Locking上也有不同的限制。因此，平面彈性問題求解時比較復雜，作者根據(jù)求解該問題時遇到的情況以及相關(guān)的一些思路做出闡述。

有限元法發(fā)展到今天，已成為工程數(shù)值分析的有力工具。特別是在固體力學和結(jié)構(gòu)分析領(lǐng)域內(nèi)，有限元法取得了巨大的進展，利用它已成功地解決了一大批有重大意義的問題，很多通用程序和專用程序投入了實際應(yīng)用。同時，有限元法又是仍在快速發(fā)展的一個學科領(lǐng)域，它的理論，特別是應(yīng)用方面的文獻經(jīng)常且大量地出現(xiàn)在各種刊物和文集當中。三十多年來，有限元法的應(yīng)用已由彈性力學平面問題擴展到空間問題、板殼問題;由靜力平衡問題擴展到穩(wěn)定問題、動力問題和波動問題。分析的對象從彈性材料擴展到塑性、粘彈性、粘塑性和復合材料等;從固體力學擴展到流體力學、傳熱學等連續(xù)介質(zhì)力學領(lǐng)域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴展到優(yōu)化設(shè)計并和計算機輔助設(shè)計技術(shù)相結(jié)合?？梢灶A計，隨著現(xiàn)代力學、計算數(shù)學和計算機科學技術(shù)等學科的發(fā)展，有限元法作為一個具有鞏固理論基礎(chǔ)和廣泛應(yīng)用效力的數(shù)值分析工具，必將在國民經(jīng)濟建設(shè)和科學技術(shù)發(fā)展中發(fā)揮更大的作用，其自身亦將得到進一步的發(fā)展和完善。

有限元法是現(xiàn)代工程設(shè)計和科學計算的重要數(shù)值方法之一。利用計算機有限元軟件對工程問題進行數(shù)值計算和分析已成為有限元法中一個必不可少的環(huán)節(jié)。

2 平面彈性問題的模型

2.1 下面考慮純位移的平面彈性問題:

2.2 離散方程

設(shè)平面彈性有限元(K，PK，∑K)，單元自由度數(shù)為en，總體自由度數(shù)為MP，有限元空間為Vh，由有限元導出的插值函數(shù)為:

2.3 求標準基函數(shù)

對于自由度較少的單元，可以直接求解其標準基函數(shù)，對于自由度比較復雜的單元，如采用邊積分值、外法向?qū)?shù)值、單元積分值，標準基函數(shù)比較復雜，手工很難求出。其實，在有限元計算中，標準基函數(shù)不必顯式給出，下面給出一種求基函數(shù)的方法。

設(shè)有限元的形函數(shù)空間為PK=span{φi;1≤i≤n}，兩個分量的自由度分別為Di、Ei，將自由度表示為形函數(shù)的組合:

3 有限元算法與編程

3.1 單元編號和單元節(jié)點編號

單元編號和單元節(jié)點編號的原則是方便未知量求解，以及求解向量的使用。

單元節(jié)點編號的方法:

因為平面彈性問題是一個向量問題，因此在單元編號上和普通有限元方法單元節(jié)點編號是不同的。一般來說，按逆時針編號(順時針也可以)，按自由度組先第一分量、后第二分量編號，一個接一個自由度組連續(xù)編號。

(gij)en×en，1 ≤ i≤ ES，1 ≤ j≤ en。

下面是以CR元例，說明單元編號和單元節(jié)點編號，CR元的共有3組6個自由度，分別是三邊ei的中點，如圖1所示。

圖1 單元和單元節(jié)點編號

3.2 單剛矩陣的形成:

3.3 荷載向量的形成:

3.4 合成總剛矩陣:

設(shè)第m個單元的單剛矩陣AKj=(kij)en×en，它的總體單元節(jié)點編號是 m1，m2，L，men，那么它在總剛中的位置是:

3.5 合成總體載荷向量:

3.6 支撐條件

在形成總體剛度矩陣時還需要加入支撐條件，這里僅以固支條件為例給予說明。傳統(tǒng)的方法是將總剛矩陣A的主對角線元素aij置為很大的一個數(shù)，如10308，這種滿足支撐條件的方法會使得A的條件數(shù)變大，不利于迭代求解。事實上，只須將主對角線元素aii置為1，第i行、第i列其它元素置為0，對應(yīng)的荷載列陣第i行的元素也置為0。這種支撐條件的優(yōu)點是可以使A的條件數(shù)大大變小，因而有利于迭代法求解。

方程組求解，方法很多，有分解法、迭代法、共軛梯法等。

4 誤差估計

5 算例

算例1:考慮下面純位移的齊次平面彈性問題:

單元采用正則均勻剖分，在μ，λ不同取值下的0模、0模誤差和1半模誤差的計算結(jié)果分別見表一、表二和表三。

表一 解的0模(μ=λ=1)

表二 計算精度(0模誤差)表(μ=λ=1)

表三 計算精度(1模誤差)表(μ=λ=100000)

表四 解的0模μ=λ=1)

表五 計算精度(0模誤差)表(μ=1，λ=100000)

表六 計算精度(1模誤差)表(μ=1，λ=100000)

從表四、表五、表六的數(shù)值結(jié)果我們可以看出:有限元方法在求解平面彈性問題的有效性。

［1］李開泰，黃艾香，黃慶懷.有限元法及其應(yīng)用［M］.北京:科學出版社，2006.

［2］劉爾烈，崔恩第，徐振鐸.有限單元法及程序設(shè)計［M］.天津:天津大學出版社，2002.

［3］王勖成，邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值方法［M］.北京:清華大學出版社，1997.