曹嘉興

1765年，大數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707～1783）建立了一個關(guān)于△ABC的外接圓半徑R與內(nèi)切圓半徑r之間關(guān)系的著名不等式：R≥2r，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號成立.由于該不等式具有簡單而不平凡的特點(diǎn)，所以至今仍然在幾何不等式領(lǐng)域里保持著高水平的地位，關(guān)于它的各種加強(qiáng)和推廣的研究一直是幾何不等式研究的熱點(diǎn)，筆者在研究三角形內(nèi)部任意一點(diǎn)到各邊的距離時(shí)得到了歐拉不等式的如下推廣.

由上述證明過程不難看出，當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形并且點(diǎn)P為△ABC的中心時(shí)等號成立.

特別地，當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時(shí)，x=y=z=r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑），則由（1）式得R2≥r，即R≥2r，因此不等式（1）是歐拉不等式的一種推廣.

定理2設(shè)P是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到三邊BC、CA、AB的距離分別為x、y、z，△ABC的外接圓半徑為R，則

R2≥xy+yz+zx3（x2+y2+z2）.（4）

為正三角形并且點(diǎn)P為△ABC的中心時(shí)等號成立.

特別地，當(dāng)點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心時(shí)，x=y=z=r（r為△ABC的內(nèi)切圓半徑），則由（4）式得R2≥3r29r2，即R≥2r，因此不等式（4）也是歐拉不等式的一種推廣.

參考文獻(xiàn)

[1]匡繼昌.常用不等式[M].濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.