杜水淼

【摘 要】非線性系統(tǒng)辨識(shí)是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的一項(xiàng)重要研究內(nèi)容。在復(fù)雜的廣域頻率系統(tǒng)中，針對(duì)全部未知參數(shù)的可追蹤性會(huì)隨著系統(tǒng)自由度的增加而急劇衰減。為了解決此類問題，通常根據(jù)所研究系統(tǒng)的幾何參數(shù)和動(dòng)力學(xué)特性建立近似結(jié)構(gòu)模型，然后應(yīng)用模態(tài)校正法對(duì)近似模型的參數(shù)進(jìn)行整定。對(duì)此，提出了一種基于靈敏度分析的模態(tài)擬合算法，綜合了系統(tǒng)留數(shù)靈敏度分析和模態(tài)擬合靈敏度分析的優(yōu)勢(shì)，能夠有效地處理具有強(qiáng)烈非線性參數(shù)影響的模態(tài)擬合問題。在某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)護(hù)板模型參數(shù)辨識(shí)問題中進(jìn)行了仿真應(yīng)用，結(jié)果顯示在中低頻范圍內(nèi)該方法具有良好的應(yīng)用效果。

【關(guān)鍵詞】 參數(shù)辨識(shí) 靈敏度 模態(tài)擬合 非線性

0引言

模態(tài)校正方法的核心在于校正參數(shù)的正確選取和模態(tài)的有效擬合[1]。Maia[2]等提出了一種基于頻響模型靈敏度分析的動(dòng)態(tài)剛度矩陣參數(shù)校正方法； kozak[3]等提出了模態(tài)欠擬合最小化校正法，該方法利用頻響函數(shù)來代替模態(tài)數(shù)據(jù)，通過優(yōu)化模態(tài)欠擬合指數(shù)來實(shí)現(xiàn)參數(shù)的整定；在針對(duì)病態(tài)的、具有強(qiáng)烈噪音信號(hào)的系統(tǒng)參數(shù)校正，Ahmadian[4]等提出了一種正交化優(yōu)化方法來實(shí)現(xiàn)參數(shù)的合理選取和模態(tài)的有效擬合。

1 靈敏度分析

大型復(fù)雜系統(tǒng)通常具有大量的未知參數(shù)，但并非所有的未知參數(shù)都需要整定。針對(duì)待整定參數(shù)的選取應(yīng)該遵循兩個(gè)基本的標(biāo)準(zhǔn)： 一是該參數(shù)具有可見性，即真實(shí)模型對(duì)該參數(shù)是”敏感”的；二是該參數(shù)與其他參數(shù)對(duì)真實(shí)模型的影響具有可區(qū)分性。對(duì)模型進(jìn)行靈敏度分析可以有效地實(shí)現(xiàn)以上目標(biāo)。常見的靈敏度分析方法有傳遞函數(shù)靈敏度分析，積分形式的靈敏度分析，直接近似靈敏度分析和伴隨狀態(tài)靈敏度分析方法等。通過模態(tài)分解，系統(tǒng)對(duì)參數(shù)的靈敏度可以表示為：

（1）

其中，p為待整定參數(shù)，φ和ω為各階實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)及其頻率，b和c分別為系統(tǒng)輸入矩陣和觀測(cè)矩陣。需要注意的是，隨著系統(tǒng)自由度的增多，對(duì)所有模態(tài)進(jìn)行一一計(jì)算是不可行的，需要在指定頻域內(nèi)進(jìn)行模態(tài)截取并在誤差允許的范圍內(nèi)進(jìn)行靜態(tài)修正。

2 基于靈敏度分析的模態(tài)擬合方法

模態(tài)校正辨識(shí)法的主要思路是比較實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停ㄒ暈檎鎸?shí)模型）與FEM模型之間的誤差，通過待整定參數(shù)的調(diào)節(jié)來使誤差最小化，從而達(dá)到參數(shù)辨識(shí)的目的。由于FEM模型的求解會(huì)產(chǎn)生無法預(yù)知的非物理模態(tài)或局部模態(tài)，因此并非FEM模型與實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷乃心B(tài)都是可比較的。針對(duì)這一問題的解決辦法是在指定頻域內(nèi)進(jìn)行模態(tài)擬合。現(xiàn)有的模態(tài)擬合標(biāo)準(zhǔn)除了常用的模態(tài)確定準(zhǔn)則（MAC）以外，還有在此基礎(chǔ)上演化出來的坐標(biāo)確定準(zhǔn)則（COMAC）和模態(tài)確定性貢獻(xiàn)準(zhǔn)則（MACCO）?；陟`敏度分析的模態(tài)擬合方法綜合了靈敏度分析與模態(tài)欠擬合指標(biāo)法，能夠有效地實(shí)現(xiàn)具有非線性參數(shù)影響下的模態(tài)擬合。其核心思想是在每一個(gè)載荷步，對(duì)模態(tài)欠擬合函數(shù)依據(jù)未知參數(shù)進(jìn)行線性化處理，迭代求解直至收斂。經(jīng)過線性化后約束方程可表示為[3]：

（2）

該方程在每個(gè)自由度上展開可得線性方程：

（3）

其中s為擬合指數(shù)靈敏度矩陣。需要注意的是，盡管擬合指數(shù)的靈敏度函數(shù)具有解析形式，但是在實(shí)際應(yīng)用中通常利用微擾法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

3 在非線性系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)中的應(yīng)用

本文研究以上方法在某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)護(hù)板參數(shù)辨識(shí)中的應(yīng)用。該發(fā)動(dòng)機(jī)護(hù)板實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀删哂?0%隨機(jī)噪音的FEM模型代替，待整定參數(shù)的FEM模型具有16844個(gè)自由度，74898個(gè)元素和29652個(gè)節(jié)點(diǎn)，材料為鋁合金AG11。

對(duì)降階模型進(jìn)行參數(shù)靈敏度分析，可以選擇待整定參數(shù)并確定其近似值（見圖 1），進(jìn)而建立系統(tǒng)的近似模型。靈敏度分析結(jié)果顯示本應(yīng)用中待定參數(shù)可選為連接剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。本例中的靈敏度分析通過模態(tài)分解法實(shí)現(xiàn)，降階模型由一系列不依賴于待整定參數(shù)的模態(tài)基構(gòu)成，仿真結(jié)果顯示，使用多模態(tài)基構(gòu)建的降階模型進(jìn)行靈敏度分析結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖 1參數(shù)靈敏度分析

依據(jù)模型對(duì)各個(gè)參數(shù)的靈敏度，確定參數(shù)校正的載荷步長。在每一個(gè)載荷步內(nèi)，計(jì)算系統(tǒng)在各個(gè)模態(tài)的MAC值并依據(jù)式（2）和式（3）進(jìn)行迭代求解直至達(dá)到預(yù)定的收斂條件，此時(shí)的模型即為得到校正的模型（見圖 2）。

圖 2校正前后的系統(tǒng)模態(tài)比較

結(jié)果顯示，在中低頻范圍內(nèi)，系統(tǒng)校正效果非常好。在超高頻范圍內(nèi)，該方法尚不能完全適用，原因是高頻區(qū)間存在的大量虛假模態(tài)和局部模態(tài)干擾了模態(tài)擬合的結(jié)果，出現(xiàn)了某一個(gè)真實(shí)模態(tài)對(duì)應(yīng)多個(gè)數(shù)值模態(tài)或多個(gè)真實(shí)模態(tài)對(duì)應(yīng)某一個(gè)數(shù)值模態(tài)的情況。為了避免此類干擾的出現(xiàn)，需要在模型構(gòu)建初期進(jìn)行相關(guān)處理以消除局部模態(tài)的產(chǎn)生，該部分不是本文的研究內(nèi)容。

4 結(jié)論

針對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行靈敏度分析可以快速有效地選擇待整定參數(shù)并確定其取值范圍，針對(duì)模態(tài)擬合指數(shù)進(jìn)行靈敏度分析可以有效地處理具有強(qiáng)烈非線性參數(shù)影響的模態(tài)擬合問題。本文提出了一種基于靈敏度分析的模態(tài)擬合算法并以某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)護(hù)板的參數(shù)辨識(shí)為應(yīng)用實(shí)例，成功實(shí)現(xiàn)了FEM模型的校正和參數(shù)的整定。仿真結(jié)果顯示，該算法在中低頻范圍內(nèi)的應(yīng)用取得了良好的效果，因而在實(shí)際工程上具有一定的指導(dǎo)意義。

參考文獻(xiàn)

[1]Kerschen， G.， Worden， K.， Vakakis， A. F.， & Golinval， J. C. （2007）.Nonlinear system identification in structural dynamics： current status and future directions. In 25th International Modal Analysis Conference.

[2]Maia， N. M. M.， & e Silva， J. M. M. （Eds.）. （1997）.Theoretical and experimental modal analysis （pp. 480-488）. Taunton： Research Studies Press.

[3]Kozak， M. T.， ?ztürk， M.， & ?zgüven， H. N. （2009）. A method in model updating using Miscorrelation Index sensitivity. Mechanical Systems and Signal Processing，23（6）：1747-1758.

[4]Ahmadian， H.， Friswell， M. I.， & Mottershead， J. E. （1998）. Minimization of the discretization error in mass and stiffness formulations by an inverse method. International Journal for Numerical Methods in Engineering，41（2）：371-387.