商霖，李璞，廖選平

（中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076）

導(dǎo)彈（包括火箭、衛(wèi)星和運(yùn)載器等）振動(dòng)工程是機(jī)械振動(dòng)工程領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，其以導(dǎo)彈為主要研究對(duì)象，分析、解決導(dǎo)彈工程中提出的動(dòng)力學(xué)特性和動(dòng)力學(xué)環(huán)境問題，以保證導(dǎo)彈滿足設(shè)計(jì)要求的動(dòng)力學(xué)特性和對(duì)動(dòng)力學(xué)環(huán)境的適應(yīng)性，使其飛行成功。在導(dǎo)彈技術(shù)發(fā)展過程中，提出了許多重要的振動(dòng)工程問題，如導(dǎo)彈掛機(jī)飛行過程中出現(xiàn)的振動(dòng)疲勞問題[1]，導(dǎo)彈地面發(fā)射過程中出現(xiàn)的自激振動(dòng)問題，導(dǎo)彈自主飛行過程中出現(xiàn)的聲致振動(dòng)問題[2]，以及液體導(dǎo)彈的縱向耦合振動(dòng)（簡(jiǎn)稱“POGO”）問題[3]等。這些振動(dòng)環(huán)境可能會(huì)引起彈體結(jié)構(gòu)的疲勞失效，影響彈上設(shè)備的工作性能，甚至誘發(fā)導(dǎo)彈的飛行故障。為此，導(dǎo)彈飛行試驗(yàn)前需要在實(shí)驗(yàn)室里預(yù)先檢驗(yàn)彈體結(jié)構(gòu)和彈上設(shè)備對(duì)動(dòng)力學(xué)環(huán)境的適應(yīng)性，于是提出了合理制定動(dòng)力學(xué)環(huán)境條件和真實(shí)模擬動(dòng)力學(xué)環(huán)境的問題。

在導(dǎo)彈設(shè)計(jì)中，其動(dòng)力學(xué)環(huán)境條件的制定主要來源于3個(gè)方面：國(guó)軍標(biāo)和美軍標(biāo)等[4—5]軍用標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)動(dòng)力學(xué)環(huán)境條件的規(guī)定；同類型導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)環(huán)境條件的類推；導(dǎo)彈飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)估計(jì)。不管采用哪一種設(shè)計(jì)方法，不管處于哪一個(gè)研制階段，導(dǎo)彈振動(dòng)環(huán)境條件都是基于加速度譜制定的。在某些情況下，可能需要采用位移譜或速度譜來進(jìn)行振動(dòng)試驗(yàn)，或者需要在位移譜、速度譜和加速度譜之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換分析或比較確認(rèn)。因此，研究不同譜之間的相互轉(zhuǎn)換是必要的，且具有非常重要的工程價(jià)值。

導(dǎo)彈設(shè)計(jì)中，艙內(nèi)單機(jī)設(shè)備安全間隙的設(shè)計(jì)是非常重要的。振動(dòng)環(huán)境下，導(dǎo)彈艙內(nèi)單機(jī)設(shè)備（尤其帶減振裝置的設(shè)備）會(huì)產(chǎn)生較大的振動(dòng)位移，若振動(dòng)位移大于安全間隙，則可能引發(fā)導(dǎo)彈故障。因此，振動(dòng)位移的準(zhǔn)確測(cè)量具有非常重要的意義。實(shí)驗(yàn)室條件下，通常采用非接觸式測(cè)量方法獲取結(jié)構(gòu)的振動(dòng)位移，如利用渦流傳感器、光纖傳感器、激光多普勒測(cè)振儀等[6—8]。外場(chǎng)條件下，直接測(cè)量運(yùn)動(dòng)物體的振動(dòng)位移基本上是不可能的，因此主要通過對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)加速度信號(hào)進(jìn)行二次積分得到振動(dòng)位移[9]。

文中提出了一種OMEGA算法，可以用于研究位移譜、速度譜和加速度譜之間的轉(zhuǎn)換。同時(shí)，采用這一算法，還研究了將測(cè)量所得加速度信號(hào)轉(zhuǎn)換為設(shè)計(jì)分析所用振動(dòng)位移的方法。

1 OMEGA算法

一個(gè)真實(shí)的物理信號(hào)可以完全由它的傅里葉變換來表示。傅里葉變換是可逆的，它既不增加也不減少信號(hào)的物理信息，它僅僅是以一種容易理解的形式來表示信號(hào)。假設(shè)是一個(gè)加速度時(shí)間信號(hào)，的傅里葉變換，那么根據(jù)傅里葉反變換，可以寫為：

根據(jù)物理定義，加速度是速度隨時(shí)間的改變量，即：

將式（2）代入式（4），則有：

對(duì)比式（1）和式（5），可以發(fā)現(xiàn)：

或者寫為：

式中：ω為圓頻率，ω=2πf。

同理，可以得到：

加速度譜、速度譜和位移譜之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系涉及了希臘字符ω的簡(jiǎn)單乘和除操作，因此稱為OMEGA算法。

2 功率譜密度轉(zhuǎn)換

功率譜密度是一種概率統(tǒng)計(jì)方法，是對(duì)隨機(jī)變量均方值的度量。物理定義中，功率譜密度是指單位頻帶內(nèi)的信號(hào)功率，即信號(hào)功率在各頻點(diǎn)的分布，對(duì)功率譜在頻域上的積分可以得到信號(hào)的功率。功率譜密度可以是力功率譜、壓力功率譜、變形功率譜等載荷強(qiáng)度參數(shù)的形式，也可以是位移功率譜密度、速度功率譜密度、加速度功率譜密度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)的形式。文中僅對(duì)位移、速度和加速度等運(yùn)動(dòng)參數(shù)形式的功率譜密度之間的轉(zhuǎn)換方法進(jìn)行研究。力、壓力、變形等載荷強(qiáng)度參數(shù)形式的功率譜密度之間涉及到結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和剛度特性等，在此不予討論。

2.1 轉(zhuǎn)換公式

根據(jù)式（7）和式（8），可以得到位移功率譜Gxx（f）、速度功率譜和加速度功率譜三者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即

式中：Gxx（f）的單位為mm2/Hz的單位為的單位為g2/Hz；g=9806.65 mm/s2。

2.2 隨機(jī)振動(dòng)均方根值的計(jì)算

隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)條件一般給出功率譜密度與頻率的關(guān)系曲線，即PSD圖形。PSD圖形一般在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中描述，在該坐標(biāo)系中標(biāo)準(zhǔn)的試驗(yàn)條件是由正斜率譜、平直譜和負(fù)斜率譜組合構(gòu)成的梯形譜，如圖1所示。隨機(jī)振動(dòng)均方根值等于PSD圖形下所包含面積的開方，其他不同的組合可以類推。

圖1 功率譜密度曲線Fig.1 Power spectrum density curve

正斜率譜下面包含的面積為：

平直譜下面包含的面積為：

負(fù)斜率譜下面包含的面積為：

于是，梯形譜的總均方根計(jì)算公式為：

若PSD圖形為非梯形譜，且不規(guī)則，可編程分段積分，以此計(jì)算總均方根。

PSD圖形中，功率譜密度與頻率之間滿足：

根據(jù)式（10），可得：

將上式代入式（17），可得：

對(duì)比式（20）與式（18），可以發(fā)現(xiàn)：

由此，用加速度功率譜密度除以圓頻率的平方得到速度功率譜密度，其PSD圖形的斜率減小6 dB/oct。同理，用速度功率譜密度除以圓頻率的平方得到位移功率譜密度，其PSD圖形的斜率減小6 dB/oct。于是，用加速度功率譜密度除以圓頻率的四次方得到位移功率譜密度，其PSD圖形的斜率減小12 dB/oct。

2.3 算例

GJB 150A給出的高速公路上卡車的運(yùn)輸振動(dòng)加速度環(huán)境見表1[4，10]。根據(jù)表1振動(dòng)加速度功率譜密度得到高速公路上卡車的運(yùn)輸振動(dòng)位移功率譜密度曲線如圖2所示。

表1 高速公路上卡車運(yùn)輸振動(dòng)加速度環(huán)境Table 1 Truck transportation vibration acceleration environment on highways

圖2 高速公路上卡車運(yùn)輸振動(dòng)位移功率譜密度曲線Fig.2 Power spectrum density curve of truck transportation vibration displacement on highways

采用某型號(hào)振動(dòng)控制儀對(duì)表1振動(dòng)加速度功率譜進(jìn)行計(jì)算，得到的均方根值和峰-峰位移見表2。表2數(shù)據(jù)表明：不同譜線數(shù)下，加速度功率譜的均方根值變化較小，且隨著譜線數(shù)的增加，其值趨于一致；不同譜線數(shù)下，峰-峰位移值相差較大，不過隨著譜線數(shù)的增加，其值逐漸趨于穩(wěn)定。這是由于譜線數(shù)增加以后，功率譜密度曲線的頻率分辨率減小，降低了頻率增量，提高了計(jì)算精度。因此，通常要設(shè)置最低頻率為頻率分辨率的整數(shù)倍，且要求最低頻率大于頻率分辨率的2倍以上。

利用Matlab語言編制程序?qū)ξ灰乒β首V進(jìn)行計(jì)算，得到垂向、橫向和縱向的峰-峰位移分別是3.32，0.46，2.14 mm。與表2計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，采用該方法得到的數(shù)據(jù)精度相對(duì)較高。由此表明，該研究方法能很好地應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)與理論計(jì)算。

表2 高速公路上卡車運(yùn)輸振動(dòng)加速度均方根值和峰-峰位移Table 2 Root mean square value of truck transportation vibration acceleration and peak-peak displacement on highways

3 加速度到位移的轉(zhuǎn)換

3.1 轉(zhuǎn)換公式

當(dāng)用數(shù)字法計(jì)算傅里葉變換時(shí)，要將式（22）變換為如下有限離散形式：

或

DFT采用的是離散傅里葉變換快速算法（FFT）。加速度時(shí)間信號(hào)經(jīng)離散傅里葉變換后得到的是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的復(fù)數(shù)序列（頻譜），見式（25）。中各諧波分量的幅值、圓頻率和初相角可由式（26）求出。

工程上，振動(dòng)信號(hào)一般可利用譜分析技術(shù)處理為多個(gè)諧波振動(dòng)的疊加。由此加速度信號(hào)可以用式（27）表示，其位移可用式（28）表示。兩者幅值和相位之間的關(guān)系可根據(jù)式（8）表示為式（29）。

通過上述轉(zhuǎn)換可以得到振動(dòng)位移的時(shí)間歷程。式（27）—（29）表明，在頻域處理中，時(shí)域積分法中存在的趨勢(shì)項(xiàng)問題只需簡(jiǎn)單地將無用頻率的諧波分量振動(dòng)幅值置零，即可很好地解決。

3.2 實(shí)例

導(dǎo)彈艙內(nèi)某單機(jī)設(shè)備采用腰部、外減振安裝方式。在導(dǎo)彈飛行振動(dòng)環(huán)境下，其振動(dòng)位移較大，可能與艙壁或其他設(shè)備發(fā)生碰撞，影響導(dǎo)彈的安全飛行。為了設(shè)計(jì)合理的安全間隙，進(jìn)行了振動(dòng)試驗(yàn)。首先采用頻率為20 Hz、幅值為1g的定頻振動(dòng)，利用振動(dòng)控制儀控制振動(dòng)臺(tái)按正弦條件激振導(dǎo)彈艙段。同時(shí)采用加速度傳感器[11]和激光位移傳感器分別測(cè)取單機(jī)設(shè)備安裝支腳位置的振動(dòng)信號(hào)，校核傳感器的測(cè)量精度。隨后采用真實(shí)的飛行振動(dòng)環(huán)境，利用振動(dòng)控制儀控制振動(dòng)臺(tái)按隨機(jī)條件激振導(dǎo)彈艙段。同時(shí)采用加速度傳感器和激光位移傳感器分別測(cè)取單機(jī)設(shè)備安裝支腳位置的振動(dòng)信號(hào)，設(shè)計(jì)出合理的安全間隙。

在正弦條件激勵(lì)下，將單機(jī)設(shè)備安裝支腳位置的激光位移傳感器測(cè)得的位移信號(hào)，和加速度傳感器測(cè)得的加速度信號(hào)轉(zhuǎn)換成的位移信號(hào)如圖3所示?？梢钥闯?，激光位移傳感器測(cè)得位移信號(hào)與加速度傳感器測(cè)得加速度信號(hào)的積分所得的位移在相位上完全重合，幅值略有差異。這主要是由于傳感器的測(cè)量誤差引起的，可通過調(diào)整傳感器的測(cè)試量程或測(cè)試精度來解決。

在飛行振動(dòng)環(huán)境下，將單機(jī)設(shè)備安裝支腳位置的激光位移傳感器測(cè)得的位移信號(hào)，和將加速度傳感器測(cè)得的加速度信號(hào)轉(zhuǎn)換成的位移信號(hào)如圖4所示?？梢钥闯觯す馕灰苽鞲衅鳒y(cè)得的位移信號(hào)與加速度傳感器測(cè)得加速度信號(hào)的積分所得的位移在幅值上相當(dāng)，時(shí)域曲線形態(tài)接近。這表明采用文中方法將加速度信號(hào)轉(zhuǎn)換成位移信號(hào)是可行的，誤差在工程設(shè)計(jì)可接受的范圍內(nèi)。

圖3 正弦信號(hào)Fig.3 Sine signal

圖4 隨機(jī)信號(hào)Fig.4 Random signal

4 結(jié)語

文中提出了OMEGA算法，并用于研究位移譜、速度譜和加速度譜之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系?；谶@一頻譜轉(zhuǎn)換的方法，給出了位移、速度和加速度功率譜密度相互轉(zhuǎn)換的公式，推導(dǎo)了標(biāo)準(zhǔn)梯形功率譜隨機(jī)振動(dòng)均方根值的計(jì)算公式和功率譜相互轉(zhuǎn)換后的斜率關(guān)系，計(jì)算出了GJB 150A中高速公路上卡車的運(yùn)輸振動(dòng)位移功率譜。同時(shí)，研究了將加速度傳感器測(cè)得加速度信號(hào)轉(zhuǎn)換為振動(dòng)位移的方法，并據(jù)此設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈艙內(nèi)單機(jī)設(shè)備的安全間隙。該方法首先將加速度傳感器測(cè)得的加速度時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成加速度頻域信號(hào)，隨后將加速度譜轉(zhuǎn)換成位移譜，并計(jì)算位移譜中每個(gè)譜線對(duì)應(yīng)的幅值、相位和圓頻率，最后將各位移分量簡(jiǎn)單疊加得到振動(dòng)位移的時(shí)間歷程。實(shí)例表明，該方法計(jì)算精度高、誤差小，能夠很好地應(yīng)用于導(dǎo)彈振動(dòng)工程設(shè)計(jì)。

[1] 張翼，楊晨，羅楊陽.隨機(jī)振動(dòng)載荷下導(dǎo)彈吊掛疲勞壽命分析[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2013，32（11）：1675—1679.ZHANG Yi，YANG Chen，LUO Yang-yang.Fatigue Life Analysis of Missile Hanging in Random Vibration Load[J].Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2013，32（11）：1675—1679.

[2]聶旭濤，熊飛嶠.運(yùn)用統(tǒng)計(jì)能量分析法預(yù)示空空導(dǎo)彈艙內(nèi)動(dòng)力學(xué)環(huán)境[J].振動(dòng)與沖擊，2007，26（4）：140—143.NIE Xu-tao，XIONG Fei-qiao.Analysis of Dynamic Environment by Means of Air-to-Air Missile Cabin Using Statistical Energy[J].Journal of Vibration and Shock，2007，26（4）：140—143.

[3] 王珺，胡鵬，顏勇.液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)泵的POGO氣蝕動(dòng)特性試驗(yàn)研究[J].火箭推進(jìn)，2012，38（4）：26—31.WANG Jun，HU Peng，YAN Yong.Experimental Investigation of POGO Cavitation Dynamic Characteristic for Liquid Rocket Engine PumpZ[J].Journal of Rocket Propulsion，2012，38（4）：26—31.

[4]GJB 150A，軍用裝備實(shí)驗(yàn)室環(huán)境試驗(yàn)方法[S].GJB 150A，Test Method for Laboratory Environment Protection Equipment[S].

[5] MIL-STD-810G，Enviromental Engineering Considerations and Laboratory Tests[S].

[6] 楊理踐，劉佳欣，高松巍，等.大位移電渦流傳感器的設(shè)計(jì)[J].儀表技術(shù)與傳感器，2009（2）：11—16.YANG Li-jian，LIU Jia-xin，GAO Song-wei，et al.Design for Large Range Electric Eddy Current Sensor[J].Instrument Technique and Sensor，2009（2）：11—16.

[7] 叢紅.反射式光纖微位移傳感器[J].傳感器技術(shù)，2003，22（9）：70—77.CONG Hong.Reflective Optical Fiber Micro-displacement Sensor[J].Journal of Transducer Technology，2003，22（9）：70—77.

[8] 向艷紅，趙壽根，楊林華.關(guān)于微小振動(dòng)的激光多普勒測(cè)量[J].強(qiáng)度與環(huán)境，2009，36（6）：50—54.XIANG Yan-hong，ZHAO Shou-gen，YANG Lin-hua.Small Vibration Measurement Based on Laser Doppler[J].Structure and Environment Engineering，2009，36（6）：50—54.

[9] 陳為真，汪秉文，胡曉婭.基于時(shí)域積分的加速度信號(hào)處理[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，38（1）：1—4.CHEN Wei-zhen，WANG Bin-wen，HU Xiao-ya.Acceleration Signal Processing by Numerical Integration[J].Journal of Huazhong University of Science and technology（Natural Science Edition），2010，38（1）：1—4.

[10]顏詩源，李新俊，吳勛，等.基于HHT方法的公路運(yùn)輸振動(dòng)信號(hào)時(shí)頻分析[J].裝備環(huán)境工程，2014，11（5）：23—26.YAN Shi-yuan，LI Xin-jun，WU Xun，et al.Frequency Analysis for Vibration Signal from Road Transportation Using HHT[J].Equipment Environment Engineering，2014，11（5）：23—26.

[11]章新瑞.加速度計(jì)在振動(dòng)試驗(yàn)中的應(yīng)用[J].裝備環(huán)境工程，2013，10（2）：89—92.ZHANG Xin-rui.Application of Accelerometers in Vibration Test[J].Equipment Environmental Engineering，2013，10（2）：89—92.