李 泰，侯小燕，林鶴云

（1.東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南京210096；2.江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003）

基于Hammerstein-Wiener模型的廣義預(yù)測控制

李 泰1，2，侯小燕2，林鶴云1

（1.東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南京210096；2.江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003）

提出了一種新型的基于Hammerstein-Wiener模型的廣義預(yù)測控制策略。采用基于最小二乘支持向量機的Hammerstein-Wiener模型描述非線性系統(tǒng)動態(tài)特性，作為被控對象預(yù)測模型。同時，針對現(xiàn)有遺傳算法和混沌粒子群優(yōu)化算法收斂速度慢和精度低等缺點，給出一種擬牛頓信賴域混沌粒子群混合優(yōu)化算法，作為預(yù)測控制的滾動優(yōu)化策略，函數(shù)測試和非線性對象的廣義預(yù)測控制的滾動優(yōu)化表明該算法的優(yōu)越性。最后，對設(shè)計的預(yù)測控制器進行實例仿真，結(jié)果表明它能滿足系統(tǒng)實時穩(wěn)定運行的需求，取得了良好的控制效果。

廣義預(yù)測控制；Hammerstein-Wiener模型；擬牛頓信賴域；混沌粒子群

0 引 言

廣義預(yù)測控制（generalized predictive control，GPC）［1］是隨著自適應(yīng)技術(shù)發(fā)展起來的一種預(yù)測控制方法，它控制效果好，魯棒性強，適用于具有時滯或開環(huán)不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)，因此在工業(yè)控制中得到大量應(yīng)用。然而，廣義預(yù)測控制通常需要進行Diophantine方程求解、矩陣求逆、最小二乘遞推等復(fù)雜計算，求解高階復(fù)雜非線性系統(tǒng)控制問題時計算量較大。廣義預(yù)測模型常采用CARIMA模型、狀態(tài)空間模型等參數(shù)模型，但是針對復(fù)雜非線性系統(tǒng)，預(yù)測模型仍沒有統(tǒng)一有效的建模方法。滾動優(yōu)化采用對控制量和偏差加權(quán)的性能指標(biāo)，常用最小二乘遞推尋優(yōu)，需要進行大量數(shù)據(jù)和復(fù)雜的矩陣計算，且尋優(yōu)性能常在快速性和穩(wěn)定性之間折中，其優(yōu)化性能有待進一步提高。

文獻［2］采用ARMAX模型作為廣義預(yù)測控制的預(yù)測模型，設(shè)計了預(yù)測控制器，但是模型參數(shù)未知或存在動態(tài)不確定性時，該方法不能實現(xiàn)參數(shù)的一致估計和性能指標(biāo)的極小化；文獻［3］利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性系統(tǒng)進行逼近和控制，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對大范圍非線性系統(tǒng)的逼近存在逼近精度和網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性的矛盾。T-S模型在非線性對象的建模和控制中也得到廣泛應(yīng)用，文獻［4－5］采用T-S模糊模型對被控對象建模，實現(xiàn)了模型實時更新，提高了被控系統(tǒng)的逼近精度，但其結(jié)構(gòu)辨識與參數(shù)辨識的混合導(dǎo)致計算量大。Hammerstein-Wiener模型［6－9］作為一種經(jīng)典的分塊結(jié)構(gòu)非線性模型，包括了兩個非線性模塊，能更好地描述非線性系統(tǒng)，且結(jié)構(gòu)簡單，計算量少，為非線性預(yù)測模型提供了良好的模型結(jié)構(gòu)。

文獻［10］將遺傳算法作為廣義預(yù)測控制中的滾動優(yōu)化來處理帶約束的優(yōu)化問題，但遺傳算法在函數(shù)尋優(yōu)時容易陷入局部極值，產(chǎn)生早熟且進化代數(shù)較多。粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）算法［11－13］也被引入到預(yù)測控制的滾動優(yōu)化中，解決了被控對象存在約束時尋優(yōu)困難和計算復(fù)雜的問題，但PSO易產(chǎn)生早熟收斂；混沌粒子群優(yōu)化算法［14－15］結(jié)合混沌和粒子群算法的優(yōu)點，保持了全局尋優(yōu)的快速性且避免陷入局部極值，但算法后期收斂精度和收斂速度仍未得到改善。文獻［16］將擬牛頓法與信賴域法相結(jié)合，在信賴域求解子問題不理想時，采用擬牛法可以避免信賴域半徑的盲目縮小和重新求解子問題，加快了尋優(yōu)速度。

本文將Hammerstein-Wiener模型、擬牛頓信賴域（quasi-Newton trust region，QN-TR）混沌粒子群優(yōu)化（chaotic particle swarm optimization，CPSO）算法和廣義預(yù)測控制的思想相結(jié)合，提出一種新型的基于Hammerstein-Wiener模型的廣義預(yù)測控制策略。為了提高CPSO算法效率，將擬牛頓信賴域和混沌粒子群相結(jié)合，可以避免陷入局部極值，并且加快局部極值的收斂速度。將擬牛頓信賴域混沌粒子群優(yōu)化算法作為預(yù)測控制的滾動優(yōu)化策略，可避免復(fù)雜的矩陣計算且提高滾動優(yōu)化的性能。仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

1 廣義預(yù)測控制的基本思想

設(shè)非線性被控對象的數(shù)學(xué)模型用如下具有隨機階躍擾動非平穩(wěn)噪聲的離散差分方程描述為

式中，y，u，ε為系統(tǒng)輸出、輸入和均值為零、方差為δ2的白噪聲；Δ為差分因子，，其中ai，bi，ci為系統(tǒng)參數(shù)。

將式（1）兩邊同時乘以差分因子Δ得：

引入Diophantine方程：

將式（3）代入式（1）并化簡得

式中，yp（（k＋j）／k）＝B（z－1）Rj（z－1）Δu（k＋j－1）＋Sj（z－1）y（k）為預(yù)測輸出；εp（k＋j）＝Rj（z－1）ε（k＋j）為預(yù)測誤差。

廣義預(yù)測控制問題可以表達(dá)為在模型約束和控制約束下求出使性能指標(biāo)達(dá)到最小的一組最優(yōu)控制量序列。采用如下二次型性能指標(biāo)：

式中，P為預(yù)測長度；M為控制長度（M≤P）；λj為控制加權(quán)系數(shù)；yr（k＋j）為參考軌跡。

2 Hammerstein-Wiener預(yù)測模型辨識

在非線性系統(tǒng)動態(tài)建模和控制中，Hammerstein-Wiener模型作為一類塊結(jié)構(gòu)非線性動態(tài)模型受到了高度重視。該模型同時結(jié)合了線性動態(tài)模型和靜態(tài)非線性函數(shù)模型，結(jié)構(gòu)簡單，容易辨識，能較好地反映過程特征，已被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)建模［9］。

單輸入單輸出非線性Hammerstein-Wiener模型結(jié)構(gòu)如圖1所示，它包括靜態(tài)輸入非線性模塊f，動態(tài)線性模塊G和靜態(tài)輸出非線性模塊h。

圖1 Hammerstein-Wiener模型

本文采用基于最小二乘支持向量機（least squares support vector machine，LS-SVM）的Hammerstein-Wiener模型對非線性系統(tǒng)進行建模，通過模型辨識得到非線性系統(tǒng)的預(yù)測模型［17］。

對于單輸入單輸出系統(tǒng)，基于SVM的Hammerstein-Wiener模型辨識步驟如下：

步驟1 采集足夠的輸入輸出數(shù)據(jù)樣本。

步驟2 根據(jù)Hammerstein-Wiener各個模塊模型結(jié)構(gòu)，得到Hammerstein-Wiener非線性模型的輸出數(shù)學(xué)表達(dá)式

步驟3 采用SWM表示Hammerstein-Wiener模型表達(dá)式中的非線性函數(shù)。

步驟4 定義相應(yīng)的優(yōu)化問題和約束條件，利用最小二乘對上述非線性函數(shù)參數(shù)進行尋優(yōu)，得到待定參數(shù)d1、d0，再進行奇異值分解得到回歸參數(shù)ai、bj，從而得到非線性部分f（x）和g（y）。

步驟5 選擇高斯徑向基函數(shù)（radial basis function，RBF）為核函數(shù)，得到Hammerstein-Wiener模型的最終表達(dá)式

系統(tǒng)靜態(tài)非線性模塊的輸出即是整個模型的輸出，對系統(tǒng)未來時刻輸出進行多步預(yù)測，得到多步預(yù)測輸出，將其反饋到輸入端，從而對非線性系統(tǒng)進行提前預(yù)測控制。

3 基于混合優(yōu)化算法的預(yù)測控制滾動優(yōu)化

3.1 擬牛頓信賴域CPSO混合優(yōu)化算法

信賴域法是一種求解非線性約束優(yōu)化問題的算法，它可以同時確定搜索方向和步長，簡化搜索過程。將擬牛頓法引入到信賴域中［16］，采用BFGS擬牛頓公式修正信賴域模型子問題中的Bk，同時，在每個迭代步，優(yōu)先使用信賴域方法，當(dāng)試探步不成功時，采用擬牛頓步繼續(xù)迭代，避免重新求解子問題及信賴域的盲目縮小，加快尋優(yōu)速度而且算法具有二次終止性。

該算法基本思想是迭代求解信賴域模型子問題：

式中，f（xk）為f（x）在xk處的函數(shù)值；s為嘗試迭代步；Bk為近似于Hessian矩陣Δ2f（xk）的對稱矩陣；gk＝Δf（xk）為f（x）在xk處的梯度；Δk為信賴域半徑。

CPSO是一種基于種群的隨機優(yōu)化技術(shù)，對待優(yōu)化目標(biāo)能實現(xiàn)快速全局搜索。將CPSO作為全局搜索器［14，18］，用擬牛頓信賴域［16］加快局部搜索，能提高收斂速度，取得較好的尋優(yōu)效果。

基于擬牛頓信賴域的混沌粒子群混合優(yōu)化算法步驟如下：

步驟1 確定群體規(guī)模M、最大函數(shù)評價次數(shù)Mm、確定算法權(quán)重w，粒子速度范圍［－vmax，vmax］初始化粒子群隨機初始位置和速度。

步驟2 將每個粒子的個體極值Pi設(shè)置為當(dāng)前位置，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)（n是訓(xùn)練樣本數(shù)，分別為實際值和預(yù)測值）計算每個粒子的適應(yīng)度值，取適應(yīng)度值最好的粒子的個體極值為CPSO最初的全局極值Pg，函數(shù)評價次數(shù)k＝M。

步驟3 若k≥Mm，則Pbest＝min｛Pg，Pl｝，轉(zhuǎn)步驟10，否則繼續(xù)。

步驟4 用PSO速度和位置更新公式

對粒子速度和位置進行更新。

步驟5 根據(jù)各個粒子的適應(yīng)度值更新Pi和Pg，并記錄全局最優(yōu)粒子下標(biāo)gbest，更新k。

步驟7 以全局最優(yōu)粒子位置xgbest為初始點，運行擬牛頓信賴域算法，更新xlbest，Pl和k。

步驟8 若k≥Mm，則Pbest＝min｛Pg，Pl｝，轉(zhuǎn)步驟10，否則繼續(xù)。

步驟9 對當(dāng)前粒子群Pg進行混沌擾動。首先將Pg映射為定義域［0 1］之間的混沌變量r，若r＜Pm（Pm為混沌變換概率），則用Logistic［19］映射式Z′k＝μZk（1－Zk）（其中μ＝4，0＜Zk＜1）進行迭代，得到n個混沌變量，這些變量通過逆映射獲得n個粒子，對粒子適應(yīng)度值進行計算和排序，從而獲到最優(yōu)解P′g，令Pg＝P′g，更新k，轉(zhuǎn)步驟3。

步驟10 輸出粒子群最優(yōu)值，算法結(jié)束。

其中，擬牛頓信賴域算法達(dá)到收斂即停止迭代，不需要滿足最大函數(shù)評價次數(shù)的終止條件。

3.2 尋優(yōu)性能比較

為了驗證擬牛頓信賴域CPSO混合優(yōu)化算法的優(yōu)越性，本文將其與遺傳算法（genetic algorithm，GA）、CPSO算法分別對4個給定初始點的無約束優(yōu)化問題測試函數(shù)［20］進行尋優(yōu)，并對各自的函數(shù)最優(yōu)值、仿真時間和收斂精度進行比較。

表1 3種算法尋優(yōu)性能比較

對每個函數(shù)進行尋優(yōu)，參數(shù)設(shè)置如下：信賴域半徑Δ0＝‖g（x0）‖，最小信賴域半徑Δmin＝0.2，μ＝0.75，正定矩陣B0＝I，精確度ε＝10－5，c1＝0.25，c2＝2，δ＝0.1。粒子群規(guī)模M＝30，加速常數(shù)c′1＝c′2＝2，慣性權(quán)重w取文獻［19］中的線性慣性權(quán)重，wmax＝0.9，wmin＝0.4，vmax＝（xmax－xmin）／2，vmax＝（xmax－xmin）／2，vmin＝－vmax，ε＝0.01，收斂閾值ε′＝10－3，最大函數(shù)評價次數(shù)3 000，混沌概率pm＝0.2，混沌搜索區(qū)間［－0.5pg，2.5pg］。CPSO算法的參數(shù)取值同上，GA算法取種群規(guī)模30，交叉概率0.8，變異概率0.002。

對每個函數(shù)測試50次，測試函數(shù)維數(shù)均為2，尋優(yōu)結(jié)果取50次搜索得到最優(yōu)值的平均值，仿真時間取50次仿真的平均時間。得到最終結(jié)果如表1所示，其中：QN-TRCPSO為擬牛頓信賴域混沌粒子群混合優(yōu)化算法，CPSO為混沌粒子群優(yōu)化算法，GA為遺傳算法，f＊為標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)最優(yōu)值，f為搜索得到的函數(shù)最優(yōu)值，T為仿真時間，CR為收斂率。

3.3 基于混合優(yōu)化算法的滾動優(yōu)化預(yù)測控制

鑒于擬牛頓信賴域CPSO混合優(yōu)化算法函數(shù)尋優(yōu)的準(zhǔn)確性和快速性，本文將其應(yīng)用于廣義預(yù)測控制的滾動優(yōu)化。以Hammerstein-Wiener模型為預(yù)測模型，以擬牛頓信賴域CPSO混合優(yōu)化算法為滾動優(yōu)化策略的廣義預(yù)測控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。其預(yù)測控制步驟如下：

步驟1 設(shè)置預(yù)測控制初始參數(shù)、擬牛頓信賴域初始參數(shù)、CPSO初始參數(shù)，基于SVM的Hammerstein-Wiener模型辨識初始參數(shù)。

步驟2 通過Hammerstein-Wiener模型辨識得到系統(tǒng)多步預(yù)測輸出。

步驟3 由系統(tǒng)多步預(yù)測輸出和參考軌跡輸出計算性能指標(biāo)式（5）。

步驟4 采用擬牛頓信賴域CPSO混合優(yōu)化算法進行尋優(yōu)，輸出使性能指標(biāo)達(dá)到最小的控制量u（k）。

步驟5 轉(zhuǎn)步驟2，將得到的u（k）重新作用于系統(tǒng)，得到下一步多步預(yù)測輸出，進行下一周期的預(yù)測控制。

圖2 基于Hammerstein-Wiener模型的廣義預(yù)測控制

3.4 滾動優(yōu)化效果比較

取以下非線性系統(tǒng)為研究對象：

式中，E（k）為［－0.2，0.2］范圍內(nèi)的均勻白噪聲，來驗證擬牛頓信賴域CPSO混合優(yōu)化算法尋優(yōu)的優(yōu)越性。分別采用LS-SVM、CPSO及本文的擬牛頓信賴域混合優(yōu)化算法（QN-TR-CPSO）作為滾動優(yōu)化策略，得到仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 3種優(yōu)化算法仿真比較

其中，Yr為參考輸入，LS、CPSO和QN-TR-CPSO分別為采用最小二乘、混沌粒子群及擬牛頓信賴域混沌粒子群優(yōu)化算法作為滾動優(yōu)化策略得到的預(yù)測控制結(jié)果?？梢钥闯?，擬牛頓信賴域混沌粒子群優(yōu)化算法使輸出快速穩(wěn)定跟隨給定輸入，超調(diào)較小，調(diào)節(jié)速度最快，取得了良好的控制效果。

4 仿真實例研究

4.1 非線性系統(tǒng)Hammerstein-Wiener模型辨識

以如下非線性Hammerstein-Wiener系統(tǒng)為被控對象，驗證所給出的基于Hammerstein-Wiener模型和混合優(yōu)化算法的廣義預(yù)測控制策略的實時控制效果。

被控系統(tǒng)包括兩個靜態(tài)非線性模塊和一個動態(tài)線性模塊，其中，靜態(tài)輸入部分為一非線性死區(qū)函數(shù)：

動態(tài)線性部分的傳遞函數(shù)：

非線性輸出部分的逆：

采集200組系統(tǒng)實時輸入輸出數(shù)據(jù)，利用前面所述的最小二乘法辨識基于SVM的Hammerstein-Wiener模型線性部分遞歸參數(shù)和非線性部分參數(shù)［17］，得到系統(tǒng)的預(yù)測模型，其中各個預(yù)測參數(shù)如下：

圖4為基于SVM的Hammerstein-Wiener預(yù)測模型與系統(tǒng)實際輸出的對比。可以看出，Hammerstein-Wiener模型對復(fù)雜非線性對象有較好的辨識能力，該方法簡單且辨識精度高。作為全局的N-L-N模型，辨識參數(shù)會隨非線性動態(tài)系統(tǒng)變更而更新，能隨時反映系統(tǒng)動態(tài)過程。

圖4 實際輸出與預(yù)測模型輸出對比

4.2 基于Hammerstein-Wiener模型的廣義預(yù)測控制

將上述非線性Hammerstein-Wiener系統(tǒng)模型作為預(yù)測模型，采用擬牛頓信賴域混沌粒子群混合優(yōu)化算法作為滾動優(yōu)化策略，構(gòu)成了基于Hammerstein-Wiener模型的非線性系統(tǒng)的廣義預(yù)測控制系統(tǒng)。控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，取預(yù)測長度P＝6，控制長度M＝2，控制加權(quán)系數(shù)λj＝0.6，柔化系數(shù)α＝0.4，最大函數(shù)評價次數(shù)Mm＝3000，得到非線性系統(tǒng)實時跟蹤控制仿真曲線如圖5所示。

仿真結(jié)果表明，在系統(tǒng)輸入發(fā)生變化時，非線性系統(tǒng)能夠快速穩(wěn)定跟隨系統(tǒng)給定輸入，輸出波動小，控制精度高，取得了良好的控制效果。

圖5 非線性系統(tǒng)的廣義預(yù)測控制

5 結(jié) 論

針對非線性系統(tǒng)建模困難和廣義預(yù)測控制滾動優(yōu)化性能存在的問題，提出了一種基于Hammerstein-Wiener辨識模型和新型滾動優(yōu)化算法的廣義預(yù)測控制方法。采用基于支持向量機的非線性Hammerstein-Wiener模型作為預(yù)測模型，有效提高了預(yù)測模型對研究對象的逼近精度；同時給出了一種擬牛頓信賴域混沌粒子群混合優(yōu)化算法，并將其作為廣義預(yù)測控制的滾動優(yōu)化策略，仿真測試表明該算法的優(yōu)越性。最后，將該控制策略應(yīng)用于非線性Hammerstein-Wiener系統(tǒng)的預(yù)測控制，結(jié)果表明系統(tǒng)輸出能快速穩(wěn)定跟隨給定輸入，取得了良好的控制效果。

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Generalized predictive control based on Hammerstein-Wiener model

LI Tai1，2，HOU Xiao-yan2，LIN He-yun1
（1.School of Electrical Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China；2.School of Electronic Information，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang 212003，China）

A novel generalized predictive control（GPC）strategy based on the Hammerstein-Wiener model is proposed.The dynamic characteristics of the nonlinear system are described by the Hammerstein-Wiener model based on the support vector machine，so a prediction model of the controlled object is obtained.Furthermore，an optimization algorithm of chaotic particle swarm combined with quasi-Newton trust region（QN-TR）is proposed in order to avoid the deficiency of slow convergence speed and low accuracy of the genetic algorithm and the chaotic particle swarm optimization（CPSO）algorithm，so a rolling optimization strategy of the predictive control is obtained.Function tests and rolling optimization of the GPC to the nonlinear object reflect the superiority of the algorithm.Finally，the results of the simulation example for the generalized predictive controller show that it can meet the demand of real-time and stable operation of the system，and a good control effect is obtained.

generalized predictive control（GPC）；Hammerstein-Wiener model；quasi-Newton trust region（QN-TR）；chaotic particle swarm optimization（CPSO）

TP 319

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.24

李 泰（1982－），男，講師，博士后，主要研究方向為復(fù)雜非線性系統(tǒng)的智能控制、建模與優(yōu)化。

E-mail：teilytl＠126.com

侯小燕（1990－），女，碩士研究生，主要研究方向為混沌優(yōu)化、非線性系統(tǒng)的預(yù)測控制。

E-mail：1181501030＠qq.com

林鶴云（1965－），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為復(fù)雜電力傳動系統(tǒng)智能控制。

E-mail：185441638＠qq.com

1001－506X201508－1874－06

網(wǎng)址：www.sys－ele.com

2014－09－03；

2014－11－13；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015－01－04。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150104.1720.011.html

國家自然科學(xué)基金（51307074）；江蘇省博士后基金（1301005B）資助課題