翟 光，蘇 飛，張景瑞，張 堯

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081）

考慮面內(nèi)外擺角對(duì)電動(dòng)繩系離軌過程的參數(shù)影響分析

翟 光，蘇 飛，張景瑞，張 堯

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京100081）

利用電動(dòng)繩系實(shí)現(xiàn)空間碎片自主離軌有廣闊的應(yīng)用前景。受洛倫茲力矩和重力梯度力矩作用，繩系姿態(tài)將在當(dāng)?shù)卮咕€附近振蕩。首先采用拉格朗日法建立電動(dòng)繩系面內(nèi)外姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型；隨后結(jié)合國際地磁場模型，給出洛倫茲力和洛倫茲力矩的計(jì)算方法；最后結(jié)合姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型和高斯攝動(dòng)方程，建立了電動(dòng)繩系離軌數(shù)值仿真模型，在考慮無擺角、僅有面內(nèi)擺角、有面內(nèi)外擺角的條件下，對(duì)電動(dòng)繩系離軌過程進(jìn)行仿真對(duì)比。仿真結(jié)果說明，電動(dòng)繩系姿態(tài)振蕩對(duì)離軌有明顯影響，只有考慮繩系姿態(tài)，才能精確預(yù)測(cè)軌道參數(shù)的變化。

電動(dòng)繩系；姿態(tài)振蕩；離軌控制；軌道參數(shù)；動(dòng)力學(xué)建模

0 引 言

空間碎片對(duì)在軌航天器的安全產(chǎn)生嚴(yán)重威脅。利用電動(dòng)繩系使廢棄衛(wèi)星離軌的概念由美國NASA約翰遜太空中心的Joseph P.L首先提出，隨后許多國家對(duì)電動(dòng)繩系技術(shù)進(jìn)行了試驗(yàn)和驗(yàn)證［1－4］。電動(dòng)繩系系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制問題一直是該領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)研究重點(diǎn)。文獻(xiàn)［5－6］研究了電動(dòng)繩系軌道機(jī)動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性問題，在結(jié)構(gòu)優(yōu)化的基礎(chǔ)上提出了解耦控制策略；文獻(xiàn)［7－8］基于珠點(diǎn)模型建立了電動(dòng)繩系系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型；文獻(xiàn)［9］在繩系系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中引入彈性形變，研究了繩系形變對(duì)系統(tǒng)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響；針對(duì)電動(dòng)繩系機(jī)動(dòng)過程振動(dòng)抑制和時(shí)間優(yōu)化問題，文獻(xiàn)［10－13］提出通過調(diào)節(jié)繩系電流大小和方向?qū)崿F(xiàn)電動(dòng)繩系位置保持，同時(shí)抑制繩系的振動(dòng)和完成電動(dòng)繩系最優(yōu)軌道轉(zhuǎn)移；文獻(xiàn)［14－15］提出兩種反饋控制方法來抑制展開階段與構(gòu)型保持階段的振動(dòng)，并采用有限元方法分析了系統(tǒng)的橫向振動(dòng)規(guī)律；當(dāng)前電動(dòng)繩系非線性動(dòng)力學(xué)特性及系統(tǒng)離軌速率也是較多學(xué)者關(guān)注的問題，文獻(xiàn)［16－19］基于高斯攝動(dòng)方程建立了電動(dòng)繩系納星系統(tǒng)的軌道攝動(dòng)模型，通過解耦方式分析了繩系姿態(tài)穩(wěn)定性，并采用分段最優(yōu)控制策略，縮短了系統(tǒng)的離軌時(shí)間；文獻(xiàn)［20］建立了電動(dòng)繩系離軌時(shí)間的理論計(jì)算模型，并結(jié)合第十一代國際地磁場模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

在目前已有文獻(xiàn)中，多數(shù)學(xué)者不考慮繩系姿態(tài)對(duì)系統(tǒng)離軌速率的影響，直接假設(shè)電動(dòng)繩系穩(wěn)定在當(dāng)?shù)卮咕€方向，以此開展相關(guān)建模與分析研究。事實(shí)上在不施加控制時(shí)，電動(dòng)繩系在洛倫茲力和重力梯度力作用下與當(dāng)?shù)卮咕€方向有面內(nèi)外夾角且動(dòng)態(tài)變化，因此很多離軌過程的運(yùn)動(dòng)特性分析具有一定局限性。本文基于上述研究，建立了電動(dòng)繩系軌道攝動(dòng)模型和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，分析了電動(dòng)繩系姿態(tài)運(yùn)動(dòng)特性，在考慮面內(nèi)外姿態(tài)條件下得到更為精確的離軌模型，通過研究軌道參數(shù)的變化，說明了考慮面內(nèi)外姿態(tài)的必要性。

1 電動(dòng)繩系姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

電動(dòng)繩系系統(tǒng)如圖1所示，為簡化問題，做如下假設(shè)：繩系末端質(zhì)量均為質(zhì)點(diǎn)，且與繩系連接點(diǎn)位于末端質(zhì)量的質(zhì)心，系統(tǒng)質(zhì)心與軌道坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，地球重力場為理想中心力場；同時(shí)忽略其他軌道攝動(dòng)因素對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。

建模參考坐標(biāo)系如圖1所示，OXYZ為地心慣性坐標(biāo)系；OoXoYoZo為軌道坐標(biāo)系，其原點(diǎn)位于系統(tǒng)質(zhì)心，Zo軸為地心指向系統(tǒng)質(zhì)心方向，Xo軸指向系統(tǒng)速度方向，Yo軸由右手螺旋法則確定；ObXbYbZb為本體系，原點(diǎn)Ob固連于系統(tǒng)的質(zhì)心，Zb軸為系統(tǒng)質(zhì)心指向大質(zhì)量塊質(zhì)心方向，Xb軸方向由下式確定：Yb軸則由右手螺旋法則確定。本文主要研究繩系與軌道面位置關(guān)系，所以圖1中未標(biāo)出Yo和Yb軸。

面內(nèi)外擺角α、β定義如圖1所示，面內(nèi)擺角α為繩系在軌道面投影與Zo軸的夾角，面外擺角β則為此投影與繩系的夾角。

圖1 電動(dòng)繩系系統(tǒng)示意圖

1.1 系統(tǒng)的動(dòng)能

本部分采用拉格朗日定理推導(dǎo)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。如圖2所示，任取電動(dòng)繩系微元dm，由質(zhì)心定義，系統(tǒng)滿足：

式（2）對(duì)于y、z亦成立。式中M和m表示末端大小兩質(zhì)量塊質(zhì)量；ρ為電動(dòng)繩系的線密度；l＊、l為電動(dòng)繩系總長度和展開長度；x1和x2分別為大質(zhì)量塊和小質(zhì)量塊在軌道坐標(biāo)系內(nèi)的x坐標(biāo)。

圖2 電動(dòng)繩系系統(tǒng)本體坐標(biāo)系與軌道坐標(biāo)系

假設(shè)L為末端質(zhì)量指向衛(wèi)星的矢量（即為繩系矢量），同理由質(zhì)心定義可得系統(tǒng)質(zhì)心到末端小質(zhì)量塊和大質(zhì)量塊的矢量L1、L2（其標(biāo)量l1、l2表示質(zhì)心到末端質(zhì)量的繩長）分別為

電動(dòng)繩系釋放過程中，整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能由3部分組成，系統(tǒng)質(zhì)心沿軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)能T1；系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)能T2；繩系長度變化產(chǎn)生的動(dòng)能T3。系統(tǒng)質(zhì)心繞軌道運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能T1表示為

式中，f表示真近點(diǎn)角。同理可得T2和T3的表達(dá)式，這里直接給出表達(dá)式：

1.2 系統(tǒng)的勢(shì)能

電動(dòng)繩系系統(tǒng)任意質(zhì)量微元dm在重力場中的勢(shì)能可描述為

式中，μ為地心引力常數(shù)；r為微元到地心距離。

下面分兩部分計(jì)算系統(tǒng)的勢(shì)能，其中末端質(zhì)量的勢(shì)能為

根據(jù)兩質(zhì)點(diǎn)在軌道坐標(biāo)系中的位置關(guān)系，對(duì)式（8）分母部分進(jìn)行泰勒展開，并忽略高階項(xiàng)O（1／r3），則有

式中，i＝1，2。將上式代入到式（8）中，由此可以得到末端質(zhì)量的勢(shì)能函數(shù)

采用同樣的方法可以得到電動(dòng)繩系的勢(shì)能函數(shù)：

考慮繩系在釋放過程中發(fā)生的彈性變形，引入電動(dòng)繩系的應(yīng)變系數(shù)ξ，C為電動(dòng)繩系的彈性模量，A為橫截面積，則系統(tǒng)的彈性應(yīng)變勢(shì)能可以表示為

根據(jù)式（9）～式（11），系統(tǒng)總勢(shì)能函數(shù)可由V＝V1＋V2＋V3計(jì)算得到。

1.3 系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)

根據(jù)拉格朗日定理，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為

將系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)和勢(shì)能函數(shù)代入上式可得系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)具有以下的形式：

由于模型考慮了連接電動(dòng)繩系的質(zhì)量，因此系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)和動(dòng)力學(xué)方程變得十分復(fù)雜。在實(shí)際的工程當(dāng)中，由于電動(dòng)繩系質(zhì)量遠(yuǎn)小于系統(tǒng)其他部分質(zhì)量，所以忽略拉格朗日方程中繩系動(dòng)能和勢(shì)能；此外，忽略繩系的形變，此時(shí)拉格朗日函數(shù)中的彈性勢(shì)能項(xiàng)可略去不計(jì)。

根據(jù)拉格朗日定理，按式（12）對(duì)拉格朗日函數(shù)中的廣義坐標(biāo)求導(dǎo)

式中，qj和Qj分別表示廣義坐標(biāo)和廣義外力，則可導(dǎo)出系統(tǒng)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

定義歸一化廣義外力

式中，τ（t）和γ（t）分別表示面內(nèi)擺角和面外擺角方向的外力矩，其為洛倫茲力矩和重力梯度力矩合成。為了提高仿真精度，并便于判斷電動(dòng)繩系系統(tǒng)面內(nèi)外振動(dòng)的穩(wěn)定性，采用無量綱分析，引入無量綱變量：

此時(shí)方程（14）轉(zhuǎn)換為

姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程（14）是在連接電動(dòng)繩系剛性假設(shè)的情況下推導(dǎo)建立的，而系統(tǒng)的剛性假設(shè)只有在連接電動(dòng)繩系處于張緊狀態(tài)的時(shí)候才能夠成立，若電動(dòng)繩系處于松弛狀態(tài)時(shí)，末端質(zhì)量之間的動(dòng)力學(xué)耦合關(guān)系不再成立，即方程（14）能夠描述系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的前提條件是連接電動(dòng)繩系處于張緊狀態(tài)。

2 攝動(dòng)力和攝動(dòng)力矩

2.1 地磁場模型

國際參考地磁場是描述地球主磁場空間結(jié)構(gòu)和時(shí)間變化的通用模型。在近地表自由源地區(qū)，磁場強(qiáng)度B是一個(gè)標(biāo)量勢(shì)W的梯度，即

并且該標(biāo)量勢(shì)W滿足Laplace方程：Δ

在球坐標(biāo)系中，Laplace方程的通解為

式中，re為地球參考球赤道半徑；r、λ、φ分別為衛(wèi)星的地心距、經(jīng)度和地心緯度；、為磁場球諧函數(shù)的系數(shù)（高斯系數(shù)）；（sinφ）為n次m階Schmidt準(zhǔn)歸一化締合勒讓德函數(shù)。

地磁場在地心地固坐標(biāo)系中可以表示為

式中，eLx、eLy、eLz為東－北－天坐標(biāo)系三軸單位矢量，此時(shí)每個(gè)軸上的磁場強(qiáng)度為

本文研究考慮繩系姿態(tài)和不考慮姿態(tài)的電動(dòng)繩系離軌特性，建模時(shí)應(yīng)限制磁場模型精度帶來的誤差，所以取N＝10階地磁場模型，此模型基本考慮了地球主磁場。

2.2 僅有面內(nèi)擺角的攝動(dòng)力和力矩

假設(shè)繩系的平衡位置落后于當(dāng)?shù)卮怪蔽恢玫慕嵌葹棣?，由軌道系x軸、y軸、z軸單位向量eox、eoy、eoz表示繩系長度矢量為

當(dāng)電動(dòng)繩系穿過地磁場并切割磁感線，會(huì)產(chǎn)生變化的電場E。此時(shí)，繩系上的電壓、電流表示為

式中，R為繩系電阻，電動(dòng)繩系系統(tǒng)相對(duì)地磁場的速度矢量vr與地球的自轉(zhuǎn)關(guān)系為

式中，v、ωe分別為電動(dòng)繩系系統(tǒng)在軌道系中的速度矢量和地球的自旋角速度矢量，電流在地磁場中的運(yùn)動(dòng)感應(yīng)產(chǎn)生作用于繩系的洛倫茲力為

所以作用在繩系上的電動(dòng)力力矩為

繩系質(zhì)量mt、末端質(zhì)量M和m也可以產(chǎn)生梯度力及力矩，假設(shè)繩系的橫截面積大小一致。則由繩系質(zhì)量和末端質(zhì)量和衛(wèi)星質(zhì)量產(chǎn)生的梯度力FGt、FGm、FGM分別為

由重力梯度產(chǎn)生的梯度力矩為

2.3 有面內(nèi)外擺角的攝動(dòng)力和力矩

電動(dòng)繩系的面內(nèi)擺角和面外擺角分別為α和β，則繩系長度矢量在軌道系中可以表示為

電動(dòng)繩系與當(dāng)?shù)卮怪狈较虻膴A角為

此時(shí)繩系上的電壓和電流及在地磁場中的運(yùn)動(dòng)感應(yīng)產(chǎn)生的洛倫茲力如式（21）和式（23）。

用虛功原理求解式（15）中的攝動(dòng)力矩τ（t）、γ（t），把位移微分dL的虛位移用面內(nèi)外虛擺角δα、δβ［16］表示為

由式（29）得洛倫茲力矩表示為

其中，dF（L）＝B×ILdL，所以洛倫茲力矩為

由于M?m，直接假設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心位于大質(zhì)量塊質(zhì)心處，得洛倫茲力矩為

式（32）中

式中，Bx、By、Bz分別為地磁場在軌道系三軸上的分量，代入式（15）即可得到廣義力矩。此時(shí)重力梯度力矩可按下式計(jì)算：

同理可假設(shè)電動(dòng)繩系系統(tǒng)重心位于大質(zhì)量塊處，得到簡化的重力梯度力矩。

2.4 軌道運(yùn)動(dòng)方程

電動(dòng)繩系系統(tǒng)在洛倫茲力作用下，軌道發(fā)生改變。這里以軌道要素為狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的軌道攝動(dòng)，建立電動(dòng)繩系離軌系統(tǒng)高斯軌道攝動(dòng)方程：

式中，a是軌道半長軸；h是軌道角動(dòng)量；e是軌道偏心率；u＝ω＋f；p是軌道半通徑；i是軌道傾角；Ω是軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)；ω是近地點(diǎn)幅角；fr、fv、fh分別為航天器位置矢量方向、運(yùn)動(dòng)方向和垂直軌道面方向的攝動(dòng)加速度。

3 考慮繩系姿態(tài)的離軌仿真驗(yàn)證

根據(jù)上述理論建模與分析的結(jié)果，建立電動(dòng)繩系離軌過程的數(shù)值仿真模型，整個(gè)仿真模型綜合考慮了系統(tǒng)的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)、軌道攝動(dòng)、地磁場模型3個(gè)部分，研究了電動(dòng)繩系姿態(tài)的變化對(duì)系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)的影響，驗(yàn)證電動(dòng)繩系的離軌效果。需要說明的是，本仿真模型當(dāng)中暫未考慮地球形狀攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)等因素。電動(dòng)繩系的參數(shù)和繩系軌道初始參數(shù)如表1和表2所示。

表1 繩系仿真參數(shù)

表2 初始軌道參數(shù)

圖3是考慮繩系姿態(tài)時(shí)系統(tǒng)離軌過程地磁場隨時(shí)間的變化，由于軌道半長軸不斷減小，系統(tǒng)位置不斷降低，地磁場幅值也不斷增大。從圖3可以看出其幅值有增大的趨勢(shì)，這與地磁場的實(shí)際情況相符。

圖3 EDT所處地磁場矢量變化

為了說明在分析電動(dòng)繩系離軌過程時(shí)，考慮繩系面內(nèi)外姿態(tài)振蕩的必要性，本部分分別在考慮和不考慮繩系系統(tǒng)姿態(tài)變化的情況下進(jìn)行了仿真及對(duì)比分析，其中繩系姿態(tài)變化分為兩種情況進(jìn)行仿真，一種是僅考慮面內(nèi)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，另一種是綜合考慮面內(nèi)外的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)。圖4是40h內(nèi)電動(dòng)繩系軌道半長軸變化情況，因?yàn)槭墙鼒A軌道，所以可以用半長軸變化來評(píng)價(jià)離軌效果。仿真結(jié)果說明，在不考慮繩系姿態(tài)的情況下，其半長軸減小得最快，同時(shí)考慮面內(nèi)和面外姿態(tài)變化時(shí)半長軸減小也要比只考慮面內(nèi)姿態(tài)變化時(shí)快。若分析長期（2～5個(gè)月）降軌，不考慮面內(nèi)擺角時(shí)分析結(jié)果誤差將更大。所以為了保證離軌模型的準(zhǔn)確性，分析電動(dòng)繩系姿態(tài)運(yùn)動(dòng)是必要的。

圖4 EDT 40h內(nèi)軌道半長軸變化

圖5和圖6分別是電動(dòng)繩系面內(nèi)角擺角變化曲線和面內(nèi)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的相平面圖，由圖5可看到面內(nèi)擺角在－0.2rad附近不規(guī)則的振蕩，由圖6進(jìn)一步可知面內(nèi)擺角是逐漸收斂的，因此面內(nèi)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)具有穩(wěn)定性；圖7和圖8分別是電動(dòng)繩系面外擺角變化曲線和面外姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的相平面圖，從圖可得面外角雖然在0rad附近不規(guī)則振蕩，面外姿態(tài)相軌跡不收斂，但其振蕩的幅值是有界的，同時(shí)面外姿態(tài)會(huì)使繩系產(chǎn)生沿軌道半徑方向的力，近地點(diǎn)幅角也會(huì)隨之變化，如圖9所示。從圖10和圖11可知，由于面外角的存在，使洛倫茲力沿軌道面垂線方向的力減小，這使得軌道傾角的變化相對(duì)緩慢。

圖5 EDT面內(nèi)姿態(tài)角變化

圖6 EDT面內(nèi)姿態(tài)相平面

圖7 EDT面外姿態(tài)角變化

圖8 EDT面外姿態(tài)相平面

圖9 EDT 48h內(nèi)近地點(diǎn)幅角變化

圖10 EDT 24h內(nèi)軌道傾角變化

圖11 EDT 48h點(diǎn)線方向洛倫茲力變化

圖12是不同條件下電動(dòng)繩系離軌過程產(chǎn)生電流的對(duì)比，由于面內(nèi)角和面外角都在穩(wěn)定在附近振蕩，但其上電流幅值變化不大，繩系由此產(chǎn)生的洛倫茲力雖有變化，但仍能實(shí)現(xiàn)離軌，由圖13可知在綜合考慮面內(nèi)外姿態(tài)變化的情況下，洛倫茲力在航天器運(yùn)動(dòng)方向的分量最大。

圖12 EDT 24h電流變化

圖13 EDT 24h洛倫茲力變化

4 結(jié) 論

本文在考慮重力梯度力矩和安培力矩作用條件下，綜合分析了電動(dòng)繩系面內(nèi)外姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的特性，在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步建立了洛倫茲力作用下的軌道攝動(dòng)模型，并在考慮電動(dòng)繩系系統(tǒng)姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的條件下，對(duì)系統(tǒng)的離軌過程進(jìn)行了對(duì)比分析。理論建模及數(shù)值仿真結(jié)果說明，電動(dòng)繩系系統(tǒng)在軌期間同時(shí)存在著面內(nèi)外姿態(tài)振蕩，相對(duì)于無姿態(tài)振蕩的情況，其產(chǎn)生的洛倫茲力大小和方向都會(huì)發(fā)生變化，進(jìn)而對(duì)電動(dòng)繩系系統(tǒng)的離軌速度產(chǎn)生明顯的影響。此外，電動(dòng)繩系的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致洛倫茲力在軌道平面法向洛倫茲力分量的減小，進(jìn)而導(dǎo)致離軌過程中軌道傾角變化速度也發(fā)生變化。綜合上述，電動(dòng)繩系的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)離軌過程當(dāng)中的軌道參數(shù)變化存在重要影響。因此，為了提高對(duì)電動(dòng)繩系系統(tǒng)離軌過程的預(yù)測(cè)精度，考慮電動(dòng)繩系系統(tǒng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)是合理且必要的。

［1］Klinkrad H，Beltrami P，Hauptmann S.The ESA space debris mitigation handbook 2002［J］.Advances in Space Research，2004，34（5）：1251－1259.

［2］National research council.NASA space technology roadmaps and priorities：restoring NASA’s Technological edge and paving the way for a new Era in space［R］.Washington D C：National Academies Press，2012：129－130.

［3］Ishige Y，Kawamoto S，Kibe S.Study on electrodynamic tether system for space debris removal［J］.Acta Astronautic，2004，55（11）：917－929.

［4］Covello F.Application of electrical propulsion for an active debris removal system：a system engineering approach.［J］.Advances in Space Research，2012，50（7）：918－931.

［5］Mankala K K，Agrawal S K.Equilibrium-to-equilibrium maneuvers of flexible electrodynamic tether in equatorial orbit［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2006，43（3）：651－658.

［6］Zhang J，Wang F，Li H Y，et al.Reserch on dynamics and control of electrodynamic tether under aerodynamic drag［J］.Journal of Astronautics，2014，35（3）：291－297.（張健，王峰，李化義，等.氣動(dòng)阻力作用下電動(dòng)力繩系動(dòng)力學(xué)與控制研究［J］.宇航學(xué)報(bào)，2014，35（3）：291－297.）

［7］No T S，Jr C J E.Dynamics and control of a tethered flight vehicle［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1995，18（1）：66－72.

［8］Banerjee A K.Dynamics of tethered payloads with deployment rate control［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1990，13（4）：759－762.

［9］Liu L D，Bainum P M.Effect of tether flexibility on the tethered shuttle subsatellite stability and control［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1989，12（6）：866－873.

［10］Corsi J，Less L.Stability and control of electrodynamic tether for De-orbiting applications［J］.Acta Astronautic，2001，48（5）：491－501.

［11］Williams P.Optimal orbit transfer with electrodynamic tether［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28（2）：369－372.

［12］Larsen M B，Blanke M.Passivity-based control of a rigid electrodynamic tether［J］.Journal of guidance，Control，and Dynamics，2011，34（1）：118－127.

［13］Steven G T，Hakan S.Orbital maneuvering with electrodynamic tethers［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26（5）：805－810.

［14］Hoyt R.Stabilization of electrodynamic tethers［C］∥Proc.of the AIP Conference，2002：570－577.

［15］Xu D F，Kong X R，Hu C W.Modeling study of transvers vibration in electro dynamic tether［J］.Journal of Astronautics，2009，30（2）：453－457.（徐大富，孔憲仁，胡長偉，電動(dòng)力纜繩的橫向振動(dòng)建模研究［J］.宇航學(xué)報(bào)，2009，30（2）：453－457.）

［16］Zhong R，Zhu Z H.Dynamics of nanosatellite deorbit by bare electrodynamic tether in low earth orbit［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2013，50（3）：691－700.

［17］Zhong R，Zhu Z H.Optimal control of nanosatellite fast deorbit using electrodynamic tether［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2014，37（4）：1182－1194.

［18］Zhong R，Zhu Z H.Long term dynamics and optimal control of nano-satellite deorbit using a short electrodynamic tether［J］.Acta Astronautic，2013，52（8）：1530－1544.

［19］Sun G H，Zhu Z H.Fractional order tension control for stable and fast tethered satellite retrieval［J］.Acta Astronautic，2014，104（1）：304－312.

［20］Bombardelli C，Zanutto D，Lorenzini E.Deorbiting performance of tethers in inclined orbit［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2013，36（5）：1550－1555.

E-mial：gzhai＠bit.edu.cn

蘇 飛（1990－），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槔K系衛(wèi)星編隊(duì)動(dòng)力學(xué)與控制。

E-mial：sufeisophy＠163.com

張景瑞（1974－），女，教授，主要研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)動(dòng)力學(xué)與控制技術(shù)。

E-mial：zhangjingrui＠bit.edu.cn

張 堯（1985－），男，講師，主要研究方向?yàn)楹教炱髡駝?dòng)抑制控制技術(shù)。

E-mial：zhangyao＠bit.edu.cn

Analysis of libration impact on the deorbit mission of space electro-dynamic tether

ZHAI Guang，SU Fei，ZHANG Jing-rui，ZHANG Yao
（School of Aerospace and Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

Using the electro-dynamic tether system for space debris deorbit has a broad application prospect.Under the torque generated by Lorentz force and gravity gradient，the electro-dynamic tether librates along the local vertical.Base on Lagrange principles，the attitude dynamic associated with in and out-of-plan libration is established at first.The international earth’s magnetic model，the Lorentz force and torque are calculated.Finally，by combining the attitude dynamics model and Gauss perturbation equation，the numerical model for electro-dynamic tether deorbit is established，and both the libration and non-libration deorbit mission are simulated，respectively.Simulation results show that the in and out-of-plan libration exist and have an obvious effect on the deorbit system.Only considering the attitude of the electro-dynamic tether system，orbital elements change can be convinced.

electro-dynamic tether system；attitude tracking；deorbit control；orbital elements；dynamics model

TP 24

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.19

翟 光（1979－），男，副教授，主要研究方向?yàn)楹教炱髦茖?dǎo)、導(dǎo)航與控制技術(shù)。

1001－506X201508－1837－07

網(wǎng)址：www.sys－ele.com

2014－07－07；

2014－10－28；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015－01－06。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150106.1218.007.html

國家自然科學(xué)基金（11102018）；國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）（2013AA7042018）資助課題