☉安徽省宣城中學(xué) 葉 強(qiáng)

圓的視角下對(duì)圓錐曲線定義的解讀

☉安徽省宣城中學(xué) 葉 強(qiáng)

圓是我們最熟悉的平面幾何圖形之一，它與橢圓、雙曲線、拋物線同屬于解析幾何，它們之間必然存在著千絲萬縷的聯(lián)系.圓錐曲線的定義是高考重要考查形式之一，本文以2013年全國(guó)新課標(biāo)卷中圓錐曲線問題為例，站在圓的視角下對(duì)圓錐曲線的定義進(jìn)行再次解讀，請(qǐng)同行指導(dǎo).y

圖1

題目 （2013年新課標(biāo)1）已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2= 9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）略.

解析：（1）由已知得圓M的圓心為（-1，0），半徑r1=1；圓N的圓心為（1，0），半徑r2=3.

設(shè)圓P的圓心為P（x，y），半徑為R.

如圖1所示，因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4.

由橢圓的定義可知：曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為=1（x≠-2）.

評(píng)析：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，意在考查考生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問題的能力和運(yùn)算求解能力.

一、改變相切的方式——由橢圓到雙曲線

變式1：與圓C1：（x-3）2+y2=1及C2：（x+3）2+y2=9都外切的動(dòng)圓M的軌跡方程為_________.

解析：由已知得圓C1的圓心為（3，0），半徑為1；圓C2的圓心為（-3，0），半徑為3.

設(shè)圓M的圓心為（x，y），半徑為R.如圖2所示，因?yàn)閳AM與圓C1、C2外切，所以|MC2|=R+3，|MC1|=R+1，所以|MC2|-|MC1|=2.

圖2

由雙曲線的定義可知：曲線M是以C2、C1為左、右焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的右支，其方程為=1（x≥1）.

評(píng)析：本題將題目條件中動(dòng)圓與兩定圓一內(nèi)切、一外切，改為與兩定圓均外切，從而引出了雙曲線的定義.

二、變換兩定圓的關(guān)系——由一解到多解

變式2：已知圓C1：（x-2）2+y2=16及C2：x2+y2=r2（0＜r＜2），動(dòng)圓M與兩圓都相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡是兩個(gè)橢圓，這兩個(gè)橢圓的離心率分別為e1、e2（e1＞e2），則e1+2e2的最小值為（ ）.

解析：由已知得圓C1的圓心為（2，0），半徑為4；圓C2的圓心為（0，0），半徑為r.設(shè)圓M的圓心為（x，y），半徑為R.（1）當(dāng)動(dòng)圓M與兩定圓均內(nèi)切時(shí)，如圖3所示.

此時(shí)有|MC2|=R-r，|MC1|=4-R，所以|MC2|+|MC1|=4-r.

圖3

由橢圓的定義可知：曲線M是以C2、C1為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4-r的橢圓，其離心率為e1=

（2）當(dāng)動(dòng)圓M與兩定圓一內(nèi)切、一外切時(shí)，如圖4所示.

此時(shí)有|MC2|=R+r，|MC1|=4-R，所以|MC2|+|MC1|=4+r.

由橢圓的定義可知：曲線M是以C2、C1為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4+r的橢圓，其離心率為e2=

圖4

由（1）和（2）得e1+2e2=

令24-2r=t，因?yàn)?＜r＜2，所以t＞0，則r=12-

e1+2e2=，當(dāng)且僅當(dāng)即t=，即24-2r=16，即r=12-8時(shí)，等號(hào)成立.答案為A.

評(píng)析：本題與題目的不同之處在于兩定圓的位置關(guān)系發(fā)生了變動(dòng)，動(dòng)圓與兩圓均相切，但并沒有明確說明是內(nèi)切還是外切，故應(yīng)分不同情況討論.

三、變定圓為定直線——引出拋物線

變式3：已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)F（0，1），且與直線y=-1相切，若直線3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，則圓C的面積（ ）.

A.有最大值為π B.有最小值為π

C.有最大值為4π D.有最小值為4π

解析：由拋物線的定義知點(diǎn)C的軌跡方程為x2=4y，設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為因?yàn)閳AC過點(diǎn)F，所以半徑r=|CF|=直線3x-4y+20=0與圓C有公共點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線3x-4y+20=0的距離d=解得x≥或x≤-2.圓C的半徑+1，故圓的最小面積為4π，答案為D.

評(píng)析：本題將題目條件中的兩個(gè)定圓之一改為定直線，進(jìn)而得出拋物線的軌跡方程.

四、由位置的變動(dòng)——圓錐曲線由分到合

變式4：點(diǎn)P到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)P到圖形C的距離，那么平面內(nèi)到定圓C的距離與到定點(diǎn)A的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（ ）.

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線的一支 D.直線

解析：設(shè)圓C的半徑為r.

當(dāng)定點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部，且恰好為圓心時(shí)，如圖5所示，則P點(diǎn)的軌跡為圓，故選項(xiàng)A正確；

當(dāng)定點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部，但不與圓心重合時(shí)，如圖6所示，因?yàn)閨PA|=|PD|，所以|PC|+|PA|=r為定值，則P點(diǎn)的軌跡可能為橢圓，故選項(xiàng)B正確；

當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，如圖7所示，已知|PD|=|PA|，所以|PC|-|PA|=r，根據(jù)雙曲線的定義，P的軌跡可能為雙曲線的一支，故選項(xiàng)C正確.

故答案為D.

圖5

圖6

圖7

評(píng)析：本題因定點(diǎn)與定圓位置關(guān)系的不確定，使題目與圓、橢圓、雙曲線的定義均建立了聯(lián)系，考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.

五、由圓的伸縮——實(shí)現(xiàn)圓與橢圓的互換

圖8

解析：若是判斷直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，問題會(huì)變得簡(jiǎn)單很多，容易很多.因此，我們一個(gè)直觀的想法是能否先將橢圓C“變?yōu)椤眻A，直線l也做相應(yīng)的變化，轉(zhuǎn)化為判斷直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)呢？特別是上述問題給我們的啟發(fā)是：圓按一定方向壓縮就是橢圓，那么橢圓按一定方向拉伸應(yīng)該就是圓了，因此有下面的解法.

評(píng)析：對(duì)于本題，若從判斷直線與橢圓的位置關(guān)系入手判斷，則計(jì)算會(huì)比較麻煩，且難度比較大，此處，我們巧妙地把橢圓“拉伸”為圓，利用圓的特殊性很簡(jiǎn)單地解決問題.

綜上所述，在平時(shí)的解題中，若能抓住圓與橢圓兩者圖形的特殊關(guān)系、抓住問題的本質(zhì)，可以把看似很復(fù)雜的問題巧妙地解答，達(dá)到事半功倍的效果.