☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 葛張勇

高考試題數(shù)學(xué)思想方法的考查分析與教學(xué)反思

☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 葛張勇

縱觀近幾年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題，都在體現(xiàn)“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”的命題指導(dǎo)思想.試題呈現(xiàn)起點(diǎn)低、難度適中、知識(shí)覆蓋全面的特點(diǎn)，均能較好地區(qū)分不同層次的考生.試題較好地考查了考生對(duì)基本概念、公式的掌握程度，突出理性思維，體現(xiàn)創(chuàng)新意識(shí).試題蘊(yùn)含各種數(shù)學(xué)思想方法，常常涉及的數(shù)學(xué)思想方法有：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想.本文將結(jié)合近年來(lái)的高考試題對(duì)這四種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行分析.

一、考題分析

1.函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是用變化的觀點(diǎn)研究具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)的形式把各種數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，并利用函數(shù)性質(zhì)加以研究，從而使問(wèn)題獲得解決.

方程思想就是通過(guò)引入未知數(shù)，根據(jù)變量之間的關(guān)系列出方程或方程組求解，或者根據(jù)題中提供的解析式（函數(shù)式），把它看成一個(gè)方程，通過(guò)解方程或轉(zhuǎn)化為對(duì)方程研究的方法解決問(wèn)題.函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn).新公布的2015年《江蘇高考考試說(shuō)明》將“函數(shù)與方程思想”由原來(lái)的A級(jí)考點(diǎn)上升為B級(jí)考點(diǎn)，就不難理解了.

例1 （2014年遼寧高考理16）對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a、b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，的最小值為_________.

解析：（判別式法）令2a+b=t，則b=t-2a，代入到4a2-2ab+4b2-c=0中，得4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18ta+4t2-c=0.因?yàn)殛P(guān)于a的二次方程有實(shí)根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，|2a+b|取最大值時(shí)，

點(diǎn)評(píng)：本題為多變量函數(shù)最值問(wèn)題，解題入口寬、思路廣、難度較大、綜合性強(qiáng)，由于題中是二次式，所以構(gòu)造二次方程利用判別式法解決.

2.數(shù)形結(jié)合思想

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”數(shù)是用文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言對(duì)對(duì)象關(guān)系的抽象描述，而形則是用圖形語(yǔ)言對(duì)對(duì)象關(guān)系的直觀描述.數(shù)學(xué)總是用數(shù)的抽象性說(shuō)明形的形象，同時(shí)又用形的直觀說(shuō)明數(shù)的抽象的事實(shí).數(shù)形結(jié)合，不僅是一種解題方法，更是一種思想和思維方式，它融合了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)學(xué)生這方面的訓(xùn)練，提高解題能力和速度.

例2 （2014年天津高考理14）已知函數(shù)f（x）=|x2+ 3x|，x∈R.若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________.

解析：方法一：在同一坐標(biāo)系中畫f（x）=|x2+3x|和g（x）=a|x-1|的圖像（如圖1），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）的圖像恰有4個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y=a（x-1）與y=x2+3x（或y=-a（x-1）與y=-x2-3x）相切時(shí)，f（x）與g（x）的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn).把y=a（x-1）代入y=x2+3x中，得x2+3x=a（x-1），即x2+（3-a）x+a=0，由Δ=0，得（3-a）2-4a=0，解得a=1或a=9.又當(dāng)a=0時(shí)，f（x）與g（x）的圖像僅有2個(gè)交點(diǎn)，所以0＜a＜1或a＞9.

圖1

點(diǎn)評(píng)：本題是考查數(shù)形結(jié)合的一道典型題，主要考查函數(shù)的圖像、性質(zhì)，方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)，平時(shí)教學(xué)中應(yīng)予以重視.

3.分類討論思想

分類討論即“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的思維策略，學(xué)習(xí)和掌握分類討論的思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生更全面、更有邏輯地分析和解決問(wèn)題的能力.涉及分類討論的問(wèn)題一般融合較多的知識(shí)，能力要求高，考查學(xué)生的理解深度和能力水平.從多年高考試題來(lái)看，均涉及分類討論思想方法的考查，既有靈活多變的客觀性試題，又有綜合要求較高的主觀性試題.

圖2

（2）若x0滿足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，則稱x0為f（x）的二階周期點(diǎn)，證明函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn)x1，x2；

（3）對(duì)于（2）中的x1，x2，設(shè)A（x1，f（f（x1）），B（x2，f（f（x2）），C（a2，0），記△ABC的面積為S（a），求S（a）在區(qū)間上的最大值和最小值.

②當(dāng)a2＜x≤a時(shí)，由（a-x）=x，解得x=∈（a2，a）， 因，故x=是f（x）的二階周期點(diǎn)；③當(dāng)a＜x＜a2-a+1時(shí)，由（x-a）=x，解得x=∈（a，a2-a+1），因故x=不是f（x）的二階周期點(diǎn)；

④當(dāng)a2-a+1≤x≤1時(shí)，（1-x）=x，解得x=因，故x=是f（x）的二階周期點(diǎn).

因此，函數(shù)f（x）有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，x1=

4.轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想就是將要解決的問(wèn)題通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化或化歸為一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，或歸結(jié)為人們所熟知的具有既定方法或程序的問(wèn)題，最終求得問(wèn)題答案的方法.轉(zhuǎn)化與化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法，它滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的各個(gè)領(lǐng)域和解題環(huán)節(jié)的各個(gè)方面，隨著新課程理念的不斷深入，近幾年的高考加強(qiáng)了對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想的考查.

例4 （2014年上海高考理21）如圖3，某公司要在A、B兩地的連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長(zhǎng)為35米，CB長(zhǎng)為80米，設(shè)A、B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為α和β.

（1）設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向，若要求α≥2β，問(wèn)：CD的長(zhǎng)至多為多少（結(jié)果精確到0.01米）？

（2）施工完成后CD與鉛垂方向有偏差，現(xiàn)在實(shí)測(cè)得α=38.12°，β=18.45°，求CD的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.01米）.

圖3

（2）由題意得，∠ADB=180°-38.12°-18.45°=123.43°.因?yàn)?，所以AD≈43.61米.因?yàn)镃D2=352+AD2-2·35·AD·cos38.12°，所以CD≈26.93米.

點(diǎn)評(píng)：（1）本題體現(xiàn)了實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，把條件α≥2β轉(zhuǎn)化為tanα≥tan2β，即tanα≥，而tanα、tanβ可用CD的長(zhǎng)表示出來(lái)，從而得到關(guān)于CD的不等式，解之可得所求結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件，要求CD的長(zhǎng)，可在△ACD或△BCD中解得，由此要求可得AD或BD的長(zhǎng)，然后利用余弦定理，求得CD，而AD或BD兩邊在△ABD中，可用正弦定理求得.

二、教學(xué)啟示與建議

1.在數(shù)學(xué)知識(shí)形成中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過(guò)程，每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都經(jīng)歷著由感性到理性的抽象過(guò)程，每一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律，都經(jīng)歷著由特殊到一般的歸納過(guò)程.教師應(yīng)該重視這些知識(shí)發(fā)生過(guò)程的設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生以探索者的姿態(tài)體驗(yàn)概念的形成過(guò)程.學(xué)生只有像數(shù)學(xué)家一樣自主探究、親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，才會(huì)加深對(duì)其中數(shù)學(xué)思想方法的理解和領(lǐng)悟.

2.在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中揭示數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程就是數(shù)學(xué)命題的不斷變換和數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過(guò)程，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的指導(dǎo)性成果，數(shù)學(xué)問(wèn)題的推廣、引申和解決過(guò)程，也是數(shù)學(xué)思想方法的深化過(guò)程.因此，在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，要突出數(shù)學(xué)思想方法對(duì)問(wèn)題的引領(lǐng)和指導(dǎo)作用，讓學(xué)生感悟隱含在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的思想方法，逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維的習(xí)慣，以達(dá)到解題時(shí)能夠融會(huì)貫通.

3.在知識(shí)總結(jié)歸納中概括數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，并以內(nèi)隱的方式融于數(shù)學(xué)知識(shí)體系.教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生把這種數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為自己的能力，就要注意把隱含在問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想加以歸納、提煉、總結(jié)，這樣，不僅可以使學(xué)生從思想方法的高度把握知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，而且也能使學(xué)生逐步體驗(yàn)到數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)，進(jìn)一步提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

4.在學(xué)生反思感悟中提煉數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的獲得要求教師進(jìn)行有意識(shí)的滲透和訓(xùn)練，但更多的是要靠學(xué)生自身的反思和領(lǐng)悟.這一點(diǎn)至關(guān)重要.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)檢查自己的思維活動(dòng)，反思自己的解題過(guò)程，看看是怎樣發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的，運(yùn)用了哪些基本的思想和方法，遇到思維困惑是怎樣解決的，記住了哪些教訓(xùn)，有何感想和收獲，對(duì)今后解題有哪些啟發(fā)等，從而幫助學(xué)生真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)與解題過(guò)程中隱藏的數(shù)學(xué)思想方法，真正促進(jìn)學(xué)生思維能力的提升.

1.戴佳珉.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)高考考情解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

2.吳華.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.F