☉江蘇省梅村高級中學 華喜紅

讓解后反思成為高三數(shù)學復習的助推器

☉江蘇省梅村高級中學 華喜紅

在近幾年的高三數(shù)學復習教學中一直有這樣的困惑：一個數(shù)學題目自認為講清楚了，但下次遇到同類型的問題學生還是束手無策；也有些題目，知識點學生是明白的，老師也認為沒問題，但一做還是錯.常聽見學生這樣埋怨：我數(shù)學題做得不是不多，數(shù)學成績卻遲遲得不到提高！這就引起筆者的反思，特別是課堂上的題目講評值得反思，必須講得透徹.數(shù)學題目是知識由產(chǎn)生到應用的關(guān)鍵一步，然而很多時候只是簡單講解，解后并沒有引導學生進行反思，因而學生的學習也就停留在題目表層，做題只會簡單地模仿，那么出現(xiàn)上述情況也就不奇怪了.解后反思是一個知識小結(jié)、方法提煉的過程；是一個吸取教訓、能力逐步提高的過程.從這個角度上講，例題教學的解后反思應該成為例題教學的一個重要內(nèi)容.本文擬從以下三個方面作些探究.

一、在解題的方法規(guī)律上反思

善于作解題后的反思、方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘題目的深度和廣度，擴大題目的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發(fā)展是大有裨益的.

案例1：在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2+y2=16，點P（1，2），M、N為圓O上不同的兩點，且滿足若則的最小值為_________.

分析：這題屬于難度比較大的題目，如何引導學生思考本題非常關(guān)鍵.

思路1：遇到圓中與弦有關(guān)的問題，一般聯(lián)想去利用垂徑定理、勾股定理解決，這種方法或規(guī)律在解后反思時必須呈現(xiàn)給學生.

略解：如圖1，設O到MM′、NN′的距離分別為d1、d2，弦長分別為l1、l2.

圖1

思路2：遇到解析幾何中的雙動點或單動點最值問題，一般聯(lián)想利用幾何意義去處理，如截距、斜率、距離等，這樣的方法指導同樣在解后反思中必須呈現(xiàn)給學生.

如圖2，設MN的中點為T，易知|MN|= 2|PT|，由于P是定點，可以求T點的軌跡，再利用P、T兩點之間的距離求解.

略解：設點T（x，y），|NT|2+|OT|2=|ON|2= 16，|NT|=|PT|，即|ON|2=|OT|2+|PT|2，則16=x2+y2+（x-1）2+（y-2）2，得出軌跡方程為.以下過程略.

圖2

通過問題的層層剖析，學生對圓的認識又深了一層，對多元問題的處理也能掌握一定的方法和技巧；通過例題解法多變的教學，有利于幫助學生形成思維定勢，而又打破一定的思維定勢，有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性.

二、在學生易錯處反思

學生的知識背景、思維方式往往與教師不同，而其表達方式可能又不準確，或思維不太嚴密，這就難免有“錯”.高三講評教學若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

案例2：（最近筆者所在學校進行的高三月考試卷第4個填空題）在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率.批完試卷筆者驚呆了，全班47人有25人做錯了，診斷其原因，學生確實是利用幾何概型來處理，但是沒搞清楚等可能的角度.本題是在∠ACB內(nèi)部任意作一條射線，是等可能的，所以應該把∠ACB作為區(qū)域D.若變?yōu)樵谛边匒B上任取一點M呢？由于M落在AB上任何一點是等可能的，那么此時線段AB是區(qū)域D.

【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=，第二次等號成立的條件是ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的.因此，8不是最小值.

以上兩個案例都充分說明學生對課本知識點沒有充分理解和把握，也就出現(xiàn)了學生會用，但不知道在什么情況下用.因此在復習時一定要抓住學生出錯這一契機，并就此展開討論、反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視.這樣的反思可以放在平時的小題或“三基”訓練中，引導學生結(jié)合考綱進行反思總結(jié)：（1）數(shù)學考綱中的哪些知識點學生容易出錯？（2）出現(xiàn)這些錯誤的原因有哪些？針對各種“病因”，讓學生親手開出有效的“方子”，這樣易錯題也就會成為不錯題.

三、在情感體驗處反思

解決每一個問題的過程并非僅僅只是一個知識運用或技能訓練的過程，而是一個伴隨著聯(lián)想、類比、假設、推理甚至靈感突現(xiàn)的綜合過程，學生有可能品嘗到失敗的苦澀，也很可能收獲“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的喜悅；他可能是獨立思考所得，也有可能是通過合作解決.因此教師應該引導學生進行解后反思，這樣有利于培養(yǎng)學生積極的情感體驗和學習動機；有利于激勵學生的學習興趣，變被動學習為自主探究學習.

案例4：在一次解析幾何復習課上，筆者設置了這樣一道題目.

（1）證明P、Q兩點的橫坐標的平方和為定值.

（2）將過A、P、Q的動圓記為圓C，求證：動圓C必過異于點A的定點.

（2分鐘后提問）學生A：將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得x2+2mx+2（m2-1）=0 ①，然后利用韋達定理解決.

（5分鐘后提問）三位同學無法解決第二問.

（7分鐘后提問）學生B：既然圓C過定點，那就與題目中的參數(shù)m無關(guān)，我想把圓的方程用m表示出來，

教師：很好，這樣的設想不錯，但是能不能進行下去呢？

學生B：因為圓的方程有標準方程和一般方程，我覺得過三點的圓用一般式比較簡單.

（同學C受啟發(fā)了，舉手示意）

學生C：設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將它與直線方程聯(lián)立，消元得x2+（m2+Em+F） =0 ②.由于①與②是同解方程，則對應系數(shù)相等，可求出D、E、F（用m表示），下面解略.

整個問題由于學生之間的合作輕松解決了.解后一起和學生反思，反思本題的突破口在于什么.其實最關(guān)鍵的是要能發(fā)現(xiàn)P、Q既是直線與圓的交點，也是直線和橢圓的交點.緊接著筆者又一次讓學生反思題目為什么要設置第一問，難道僅僅讓你算一下結(jié)果？

（3分鐘后）學生D：可用第一問的結(jié)論去做第二問，將P（x1，y1）、Q（x2，y2） 分別代入圓的方程，得兩方程相加，化簡得5-2Dm+Em+ 2F=0.又圓過點A（2，0），可以得到4+2D+F=0.（回答到此，同學們議論開了）

教師：由上面兩個條件是求不出D、E、F的，必須再找到一個方程，筆者引導學生從解方程組的方法考慮，如兩式相加、相減、相乘甚至相除.這樣類比的教學反思使同學們異口同聲地回答：相減.因此問題又一次輕而易舉的解決了.因此在解后反思環(huán)節(jié)中，還可以讓學生去多注意各小題之間的聯(lián)系，揣摩一下老師出卷的意圖，很多時候上面的問題為下面的問題埋下伏筆，這也是解決問題的一種捷徑.

數(shù)學教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數(shù)學活動的核心和動力.總之，在解后的反思中方法、規(guī)律得到了及時的小結(jié)歸納；解后的反思使我們撥開迷蒙，看清“廬山真面目”而逐漸成熟起來；在反思中學會了獨立思考，在反思中學會了傾聽，學會了交流、合作，學會了分享，體驗到了學習的樂趣，交流的快樂！

1.熊川斌.反思性教學［M］.上海：華東師范大學出版社，1999.

2.蔡穎，計惠芳.反思，教師專業(yè)成長的階梯［J］.數(shù)學通訊，2014（11）.A