☉湖北省武漢市第十九中學 楊輝軍

☉湖北省武漢市第三中學 張儒玲

整合課本資源，彰顯學科魅力
——話說橢圓的八個來歷及應用

☉湖北省武漢市第十九中學 楊輝軍

☉湖北省武漢市第三中學 張儒玲

數(shù)學課本是教學內(nèi)容的主要載體，更是課標精神的重要體現(xiàn)，每一個例題和習題都經(jīng)過了反復推敲、精挑細選.可見，課本是重要的教學資源，有很高的教學和研究價值.

葉圣陶先生曾說：“教材只能作為教課的依據(jù)，要教得好，使學生受到實益，還要靠教師的善于運用”.教師在實際教學中，合理使用資源，充分加以利用，靜態(tài)的課本就變得鮮活起來，處處充滿了數(shù)學獨特的魅力.

在《選修1-1》、《選修2-1》、《選修4-4》（普通高中課程標準實驗教科書，數(shù)學，人民教育出版社A版）第二章“圓錐曲線與方程”的教學中，筆者注意到很多例題和習題都涉及同一個結(jié)果——所求問題的結(jié)論是橢圓，將這些課本資源進行重組、整合，以全新的面貌出現(xiàn)在學生面前，在覺得眼前一亮之余，更豐富了橢圓定義的內(nèi)涵與外延，加深了對課本的認識.筆者姑且稱之為橢圓的八個來歷.

一、第一來歷

概念：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

出處：課本《選修1-1》第32頁，

《選修2-1》第38頁.

符號：|MF1|+|MF2|=2a（2a＞|F1F2|）.

圖1

例題：已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是（-2，0）、（2，0），并且經(jīng)過點求它的標準方程.

出處：課本《選修1-1》第34頁例1，《選修2-1》第40頁例1.

出處：課本《選修1-1》第42頁習題2.1A組第1題，《選修2-1》第49頁習題2.2A組第1題.

解答：設點F1（0，-3）、F2（0，3），則|MF1|+|MF2|=10.

由橢圓的定義知點M的軌跡是橢圓，焦點在y軸上，且a=5，c=3，b2=16.

二、第二來歷

結(jié)論：平面內(nèi)到一個定點F的距離和到一條定直線l的距離之比是一個常數(shù)e的點的軌跡是圓錐曲線，其中點F是它的焦點，直線l是它的準線，比值e是它的離心率.當0＜e＜1時，軌跡是橢圓.

出處：課本《選修2-1》第76頁.

推導：如圖2，建立直角坐標系，MH⊥l于H.

圖2

令b2=a2-c2，則點M的軌跡方程為

練習：點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：的距離的比是常數(shù)，求點M的軌跡.

出處：課本《選修1-1》第41頁例6，《選修2-1》第47頁例6.

所以點M的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓.

解答：易知點F為橢圓的左焦點.

如圖3，過A、B分別作左準線l的垂線，垂足分別是A1、B1.

圖3

同理，|BB1|=

過B作BC⊥AA1于點C，則|AC|=|AA1|-|BB1|=（|AF|-|BF|）.又e=，則|AC|=（|AF|-|BF|）.

歸納：設|AF|=r1，|BF|=r2，直線AB的傾斜角為θ，則有

例題：過橢圓的焦點F作直線與橢圓交于A、B兩點，以AB為直徑畫圓，則該圓與相應準線l的位置關系如何？

出處：課本《選修2-1》第81頁復習參考題B組第7題.

解答：如圖4，取AB的中點C，過A、B、C分別作l的垂線，垂足分別是A1、B1、C1.

圖4

所以以AB為直徑的圓與相應的準線相離.

練習：點M與定點F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2，求M點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

出處：課本《選修1-1》第43頁習題2.1B組第2題，《選修2-1》第50頁習題2.2B組第3題.

三、第三來歷

結(jié)論：平面內(nèi)到兩個定點A（-a，0）、B（a，0）的連線的斜率之積是常數(shù)m（m＜0且m≠-1）的點的軌跡是橢圓.

推導：設M（x，y），且kAM·kBM=m.

練習：如圖5，設點A、B的坐標分別為（-5，0）、（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程.

出處：課本《選修1-1》第35頁例3，《選修2-1》第41頁例3.

圖5

簡答：kAM=

四、第四來歷

結(jié)論：在圓x2+y2=r2上任取一點P，過點P作x軸的垂線PD，垂足為D，動點M滿足（λ≠0）（M不與P、D重合），當點P在圓上運動時，點M的軌跡是橢圓.

例題：在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？

出處：課本《選修1-1》第34頁例2，《選修2-1》第41頁例2.

解答：設點M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x0，y0），則x=x0，y=

圖6

因為點P（x0，y0）在圓x2+y2=4上，所以

把x0=x、y0=2y代入方程得x2+4y2=4，即y2=1，所以點M的軌跡是一個橢圓.

出處：課本《選修1-1》第43頁習題2.1B組第1題，課本《選修2-1》第50頁習題2.2B組第1題.

圖7

五、第五來歷

例題：如圖8，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

圖8

出處：課本《選修1-1》第42頁習題2.1A組第7題，《選修2-1》第49頁習題2.2A組第7題.

解答：因為點Q在線段AP的垂直平分線l上，所以|QA|= |QP|，則|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r.

又r＞|OA|，則點Q的軌跡是以O、A為焦點的橢圓.

練習：已知A B是圓（F為圓心）上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于點P，則動點P的軌跡方程是_________.

解答：因為點P在線段AB的垂直平分線上，所以|PA|=|PB|，則|PA|+ |PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2.又2＞|AF|=1，則點P的軌跡是以A、F為焦點的橢圓.

圖9

六、第六來歷

例題：如圖10，矩形ABCD中，|AB|=8，|BC|=6.E、F、G、H分別是矩形四條邊的中點，R、S、T是線段OF（O是矩形的中心）的四等分點，R′、S′、T′是線段CF的四等分點.請證明直線ER與GR′、ES與GS′、ET與GT′的交點L、M、N都在橢圓上.

圖10

出處：課本《選修1-1》第43頁習題2.1B組第3題，《選修2-1》第50頁習題2.2B組第4題.

解答：如圖11，建立直角坐標系.

由E（0，-3）、R（1，0），得直線ER的方程為3x-y-3=0 ①.

圖11

由G（0，3）、，得直線GR′的方程為3x+16y-48=0 ②.

圖12

將①式與②式相乘，得y2-1=-，即點M的軌跡方程為

七、第七來歷

結(jié)論：如圖13，以原點O為圓心，a、b（a＞b＞0）為半徑分別作兩個同心圓.設A為大圓上的任一點，連接OA，與小圓交于點B.過點A、B分別作x軸、y軸的垂線，兩垂線交于點M.則點M的軌跡的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）.

圖13

出處：課本《選修4-4》第27頁.

推導：設以Ox為始邊，OA為終邊的角為φ，點M的坐標是（x，y）.那么點A的橫坐標為x，點B的縱坐標為y.由于點A、B均在角φ的終邊上，由三角函數(shù)的定義有x=|OA| cosφ=acosφ，y=|OB|sinφ=bsinφ.

當半徑OA繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，就得到了點M的軌跡，它的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)）.

出處：課本《選修4-4》第29頁.

解答：設M（5cosφ，4sinφ）是橢圓上任一點，則z= 5cosφ-8sinφ=，其中cosθ=

當φ+θ=2kπ（k∈Z）時，zmax=，此時x=5cosφ= 5cos（2kπ-θ）=5cosθ=，y=4sinφ=4sin（2kπ-θ）=，即

當φ+θ=π+2kπ（k∈Z）時，zmin=-，此時

解答：設A（0，-1）、B（2cosφ，sinφ），d=|AB|.

d2=4cos2φ+（sinφ-1）2=-3sin2φ-2sinφ+5=-3

八、第八來歷

探究：橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械，它的構(gòu)造如圖14所示.在一個十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導槽，在直尺上有兩個固定滑塊A、B，它們可分別在縱槽和橫槽中滑動，在直尺上的點M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動一周就畫出一個橢圓.你能說明它的構(gòu)造原理嗎？

圖14

圖15

出處：課本《選修4-4》第28頁探究.

結(jié)論：如圖15，點A、B分別在y軸、x軸上移動，點M在直線AB上，且|AM|=a，|BM|=b（a＞b），則點M的軌跡方程為

推導：如圖15，設∠xBM=φ，則點M的坐標為（acosφ， bsinφ），即點M的軌跡的參數(shù)方程是（φ為參數(shù)），從而得點M的軌跡方程為

圖16

練習：如圖16，A、B分別在x軸、y軸上移動，點P在線段AB上，|AB|=5，|AP|∶|BP|=3∶2則點P的軌跡方程為_________.

解答：設P（x，y）、A（a，0）、B（0，b）.

由|AB|=5，得a2+b2=25，則

在經(jīng)濟學中，資源整合是指將有限的資源進行最合理的利用.可見，教學資源的整合，尤其是課本資源的整合是很有價值和必要的.這種整合不僅立足于知識的傳遞，而且進一步豐富了學習者的經(jīng)歷，增加了他們獲取知識的途徑，拓寬了所學知識的內(nèi)涵和外延.如果教師帶著新思想、新視野、新做法，做到藝術(shù)性地駕馭課堂和課本，實現(xiàn)教學資源整合，對教者與學者來說，都受益匪淺，能真正做到教學相長.

本文僅涉及數(shù)學教材內(nèi)的資源整合.在實際教學中，學生感受到了數(shù)學教材的魅力，意識到了課本資源的重要性，眼界大開，思路更活.而對教師來說，在此過程中提高了歸納、整合和研究的能力.教與學兩個方面都有收獲.