☉浙江省寧波市鄞州區(qū)教育局教研室 任偉芳

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)鄞江中學(xué) 謝 秦

情境驅(qū)動(dòng)下的“不等關(guān)系與不等式”教學(xué)案例

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)教育局教研室 任偉芳

☉浙江省寧波市鄞州區(qū)鄞江中學(xué) 謝 秦

不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，建立不等觀念、處理不等關(guān)系與處理等量關(guān)系是同樣重要的.前不久，在浙江省寧波市教研室組織的教研交流課的教學(xué)過程中，內(nèi)容取材于人教A版普通高中必修5第三章第一節(jié)不等關(guān)系與不等式的第一課時(shí)，筆者的“情境驅(qū)動(dòng)，學(xué)以致用，激發(fā)興趣，凸顯本質(zhì)，彰顯人文”的教學(xué)設(shè)計(jì)受到參會老師的一致好評.本節(jié)課主要是將生活中的不等關(guān)系刻畫為數(shù)學(xué)中的不等式，巧妙創(chuàng)設(shè)一個(gè)公益慈善情境，將常見的不等式融入其中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活緊密的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.筆者想通過自己的教學(xué)設(shè)計(jì)拋磚引玉，愿與同行交流.

一、教學(xué)過程

1.以生活中常見的不等關(guān)系引出不等式

師：我們今天的課題是“不等關(guān)系與不等式”.與等量關(guān)系一樣，不等關(guān)系也大量存在于我們的現(xiàn)實(shí)世界和生活中.例如，下面兩幅圖隱含著怎樣的不等關(guān)系呢？

圖1

圖2

生1：星期二的溫度是在6℃到17℃之間變化.最高速度不能超過10千米/小時(shí).

師：非常好.三角形兩邊之和與第三條邊的關(guān)系呢？

生2：大于.

師：同學(xué)們還能不能舉出生活和數(shù)學(xué)中遇到的不等關(guān)系？

全班同學(xué)興致高漲，互相討論，紛紛發(fā)言，列舉出不少生活和數(shù)學(xué)中的不等關(guān)系.

師：看來同學(xué)們都是生活中的有心人啊！對于生活中的不等關(guān)系，應(yīng)該如何用數(shù)學(xué)式子來刻畫呢？這就是我們今天學(xué)習(xí)的用不等式來刻畫不等關(guān)系.

（PPT展示）用不等號（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.

“不等號”由英國數(shù)學(xué)家哈里奧特于1631年開始使用，但當(dāng)時(shí)并沒有被數(shù)學(xué)界所接受，直到100多年后，才逐漸成為標(biāo)準(zhǔn)的符號.

師：對于上述三個(gè)不等關(guān)系，同學(xué)們能不能用不等式來進(jìn)行刻畫呢？

生3：設(shè)星期三的溫度為x℃，則6＜x＜17.設(shè)速度為v千米/小時(shí)，則v≤10.設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，則a+b＞c.

設(shè)計(jì)意圖：日常生活中的圖片展示，更具有視覺沖擊力，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系.接著讓學(xué)生列舉生活中的不等關(guān)系，可以加深對不等關(guān)系的認(rèn)識.通過介紹不等式的概念和歷史，一方面滲透數(shù)學(xué)文化，另一方面讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的簡潔美.

2.用數(shù)學(xué)眼光看獻(xiàn)愛心故事

（1）故事背景.

師：下面讓我們來感受生活中的不等關(guān)系與數(shù)學(xué)中的不等式.我們從一個(gè)小故事講起.

請同學(xué)們看三張圖片：圖3中稚嫩的臉洋溢著對生活的期望，圖4中埋頭苦讀的身影讓我們深深感動(dòng)，然而腳下一雙破爛的球鞋讓我們心酸不已（見圖5）.看到這些，同學(xué)們有何感想？

圖3

圖4

圖5

生4：山區(qū)兒童的生活實(shí)在太艱辛了，我好想幫幫他們??！

師：這位同學(xué)的想法應(yīng)該代表了我們?nèi)嗤瑢W(xué)的心聲，我們不妨來為他們每個(gè)人買雙鞋子和籌點(diǎn)生活費(fèi)吧！

設(shè)計(jì)意圖：看似與課題無關(guān)的內(nèi)容其實(shí)是本節(jié)課始終圍繞的主線.一方面可以弘揚(yáng)社會的正能量；另一方面也可以體現(xiàn)出學(xué)生主人翁的精神.以故事作為引線，自然而不突兀，采用問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，層層推進(jìn)，學(xué)生參與度高，易于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

（2）情境模擬——籌集善款分析數(shù)據(jù).

師：接下來我們要做的事情就是籌集善款了，我們當(dāng)然要自力更生了，不妨讓我們自主創(chuàng)業(yè)吧.假如我們班同學(xué)想自主創(chuàng)業(yè)，籌集善款，為山區(qū)兒童送去愛心，現(xiàn)在可以向政府貸款2萬-10萬，貸款不需要利息，但有期限，貸款期限為5年.請問這里有沒有隱含的不等關(guān)系？如果有，用不等式如何來刻畫呢？

生5：有！可以貸款2萬-10萬.若貸款金額為w萬，則2≤w≤10.

師：啟動(dòng)資金少，電子商務(wù)的強(qiáng)大力量為我們指明了方向，我們可以開個(gè)淘寶店，但是具體賣什么呢？還得進(jìn)行市場調(diào)查，請看下面的幾組數(shù)據(jù).

（a）名稱 每天銷售數(shù)量第一位 女裝 35434第二位 化妝品 18277第三位 珠寶首飾 18182第四位 日用家電 11795第五位 電腦網(wǎng)絡(luò) 11057

（b）支付寶每天在女裝上的支付交易平均達(dá)到了10000筆以上.

（c）淘寶網(wǎng)上的注冊用戶超過百分之七十為女性.

（d）其中價(jià)格區(qū)間在30-100之間的衣服占總銷量的50%以上.

這些調(diào)查中有沒有蘊(yùn)含著不等關(guān)系？可以用不等式來刻畫嗎？

生6：有！可以用不等式來刻畫.

師：分析以上調(diào)查數(shù)據(jù)，你能得出怎樣的結(jié)論？

生7：我們可以在淘寶網(wǎng)上開平價(jià)女裝店.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生繼續(xù)感受我們?nèi)粘Ｉ钪写罅看嬖诘牟坏汝P(guān)系，以淘寶網(wǎng)為媒介，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與學(xué)習(xí)的熱情.對調(diào)查數(shù)據(jù)的分析，可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和處理數(shù)據(jù)的能力.

（3）情境模擬——進(jìn)貨試賣.

師：假設(shè)我們班同學(xué)申請到了5萬元的政府貸款，通過上網(wǎng)注冊，成功申請了淘寶網(wǎng)上開平價(jià)女裝店的一個(gè)賬戶.現(xiàn)在就要進(jìn)貨了，根據(jù)店家的要求，衣服20元一件，褲子30元一條，衣服的數(shù)量必須不小于褲子的數(shù)量，為了降低風(fēng)險(xiǎn)，現(xiàn)在暫時(shí)進(jìn)這兩種貨物（兩種貨物都要進(jìn)），那么進(jìn)貨的件數(shù)應(yīng)滿足怎樣的不等式？能不能請一個(gè)同學(xué)來為我們展示一下？

生8：假設(shè)衣服進(jìn)貨為x件，褲子進(jìn)貨為y件，則應(yīng)滿

師：非常好！我們發(fā)現(xiàn)對這個(gè)實(shí)際問題的處理可轉(zhuǎn)化為對數(shù)學(xué)不等式組的解決.經(jīng)過緊鑼密鼓的準(zhǔn)備，店總算開張了，我們打算先進(jìn)行試賣.成本價(jià)20元一件的衣服，經(jīng)過市場調(diào)查，如果每件衣服售價(jià)定為30元，可賣出1000件，若每件衣服售價(jià)每提高一元，銷售量就會減少10件，應(yīng)怎樣定價(jià)，才能使總收入不少于40000元？這個(gè)實(shí)際問題隱含著怎樣的不等關(guān)系？用數(shù)學(xué)中的不等式如何刻畫呢？

生9：設(shè)每件衣服售價(jià)提高x元，則應(yīng)滿足（30+x）·（1000-10x）≥40000.

師：這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為了……

生10：我們學(xué)過的一元二次不等式.設(shè)計(jì)意圖：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行處理，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系的認(rèn)識，讓學(xué)生樹立應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

圖6

（4）情境模擬——生意來了.

師：某一天你收到一條淘寶微信（如圖6）.有兩種優(yōu)惠可以選擇.優(yōu)惠一：每件九折；優(yōu)惠二：100件及以內(nèi)的按原價(jià)，超過100件的部分打七五折.假設(shè)每件衣服的售價(jià)為30元，如果你是店主，你會給他們哪種優(yōu)惠？同桌兩位同學(xué)可以相互討論.

生11：其實(shí)這是比較兩個(gè)數(shù)的大小問題.設(shè)購買衣服的件數(shù)為x（100＜x＜200）.優(yōu)惠一：27x；優(yōu)惠二：3000+ 22.5（x-100）.若變量x滿足27x＞3000+22.5（x-100），選擇優(yōu)惠一，反之選擇優(yōu)惠二.

師：太棒了！這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了要解決這個(gè)實(shí)際問題，就是把它轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)數(shù)的大小的數(shù)學(xué)模型.請問：作為摳門的店主，你還可以給出怎樣的優(yōu)惠？

生12：每件打九五折.

生13：150件及以內(nèi)的按原價(jià)，以外的打八折.

師：看來沒有最摳門，只有更摳門啊！作為店主你希望收益越多越好，但你若是買家，會怎樣選擇呢？

生14：選擇錢少一點(diǎn)的.

師：這應(yīng)該是所有買家共同的心聲了.同一個(gè)問題，站在不同的角度就會有不同的看法.同學(xué)們以后一定要學(xué)會從多角度去看待問題，這樣才會有較客觀的判斷.

設(shè)計(jì)意圖：通過時(shí)下流行的通訊軟件一下子吸引了學(xué)生的眼球，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.給出的材料要求學(xué)生經(jīng)過分析問題來得到，培養(yǎng)學(xué)生處理問題和善于轉(zhuǎn)化的能力.經(jīng)過對賣家與買家的換位思考，培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考問題的習(xí)慣.

（5）情境模擬——喜獲豐收.

師：假設(shè)我們班經(jīng)過艱辛的創(chuàng)業(yè)籌集到了善款，并購買了鞋子，現(xiàn)在就剩下最后一步，就是把鞋子快遞給他們.快遞用費(fèi)規(guī)定如下.申通快遞省內(nèi)：首重6元（一公斤以內(nèi)），續(xù)重每公斤需要3元，依次類推，此時(shí)運(yùn)費(fèi)與斤數(shù)的關(guān)系如何呢？小組討論.

師：這是我們學(xué)過的……

生16：分段函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：快遞費(fèi)與生活密切相關(guān)，以此培養(yǎng)學(xué)生分析問題、處理問題的能力.

3.不等關(guān)系蘊(yùn)含著深刻的人生哲理

師：請同學(xué)們談一談我們今天學(xué)習(xí)了哪些知識.

生17：主要學(xué)習(xí)了生活中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)中的不等式.另外，學(xué)習(xí)了與人溝通的方法，學(xué)習(xí)了生活中要從多角度去看問題的思維方式.

師：這位同學(xué)分析得非常到位和全面.不僅從知識層面來概括學(xué)到的知識，還能從情感價(jià)值觀和思考問題方式層面做總結(jié).說到等式，我們自然會想到天平兩端放相等重物時(shí)天平平衡.同學(xué)們想想我們小時(shí)候玩的一邊壓下去，另一邊會翹起來的……

生18：蹺蹺板.

PPT展示圖（如圖7）.

師：正因?yàn)橛辛诉@些不等關(guān)系，才使我們的世界變得生動(dòng)而豐富多彩，蹺蹺板中的不等關(guān)系讓我們孩時(shí)享受到無限的玩耍樂趣，這種不等關(guān)系讓我們覺得溫馨，然而這種不等關(guān)系會隨著時(shí)間的流逝發(fā)生改變.隨著我們的成長，父母的老去，當(dāng)這種不等關(guān)系改變發(fā)生時(shí)，同學(xué)們一定要抓緊機(jī)會去孝敬為你的成長付出自己一生辛勞的父母，去善待周邊每一個(gè)人.

圖7

設(shè)計(jì)意圖：通過這一環(huán)節(jié)的展示，能讓學(xué)生感受到不等關(guān)系的生動(dòng)和溫馨，體現(xiàn)了父母與孩子的舐犢情深感，同時(shí)感受傳統(tǒng)倫理的熏陶，突出了教學(xué)的教育性理念，通過蹺蹺板中隱含的深刻的人生哲理，幫助學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，這一獨(dú)具匠心的教學(xué)設(shè)計(jì)稱得上本節(jié)課的又一個(gè)亮點(diǎn).

二、課后感悟

本節(jié)課讓學(xué)生通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等式（組）對刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值，讓學(xué)生感受到生活與數(shù)學(xué)是息息相關(guān)的，用數(shù)學(xué)的眼光看問題會給我們帶來更多解決實(shí)際問題的辦法.

1.情境內(nèi)容要新穎

新課程理念中提到“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”.這里所說的“現(xiàn)實(shí)”，筆者認(rèn)為包括兩個(gè)方面的含義：其一是與社會生活現(xiàn)實(shí)（生活、生產(chǎn)實(shí)際、科技等方面）密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)；其二是學(xué)生自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識時(shí)，盡可能以一些實(shí)際例子導(dǎo)入新課.不少數(shù)學(xué)知識源于生活實(shí)際，學(xué)習(xí)時(shí)，和學(xué)生生活實(shí)際結(jié)合起來，學(xué)生會感到親切自然，樂于研究.本節(jié)課把生活中遇到的實(shí)際問題轉(zhuǎn)為不等式問題，以此通過一個(gè)社會熱點(diǎn)問題——貧困山區(qū)兒童的故事激發(fā)學(xué)生的社會責(zé)任意識，巧妙建構(gòu)情境——開網(wǎng)店，把開網(wǎng)店情境中遇到的實(shí)際問題刻畫為數(shù)學(xué)中的不等式問題，傳遞著正能量.

2.應(yīng)用能激發(fā)興趣

興趣是學(xué)習(xí)的最大內(nèi)驅(qū)動(dòng)力，興趣可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.所以教師在教學(xué)過程中要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)習(xí)興趣促進(jìn)他們?nèi)ヌ骄恐R的形成和應(yīng)用.課堂上筆者在講授知識時(shí)，巧妙創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識.教師從實(shí)際生活入手引導(dǎo)數(shù)學(xué)知識的形成，讓學(xué)生學(xué)以致用.本節(jié)課一改傳統(tǒng)的講練模式，將常見的不等式類型融入自主創(chuàng)業(yè)——開網(wǎng)店的問題中，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，引起學(xué)生的好奇心和想象力.

3.需彰顯人文關(guān)懷

本節(jié)課以為山區(qū)孩子獻(xiàn)愛心為主線貫穿著課堂教學(xué)的始終，既有時(shí)代意義，又激發(fā)了學(xué)生社會的責(zé)任感.學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，板書以學(xué)生回答問題書寫為主，所有的問題都是在學(xué)生的自主探究與小組合作中解決.老師真正起到了引導(dǎo)作用，課堂氛圍熱烈，體現(xiàn)了新課程以學(xué)生為主體的理念.學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)情感是在學(xué)習(xí)過程中萌芽和發(fā)展的，他們對自己通過努力獲得成就感覺強(qiáng)烈.因此，教師要以欣賞的情感來創(chuàng)設(shè)新穎情境并幫助學(xué)生獲取成功.教師在課堂教學(xué)中，可以讓各個(gè)層次的學(xué)生回答問題，對正確的結(jié)論表示贊賞，對錯(cuò)誤的結(jié)論共同探討并加以修正和補(bǔ)充，讓他們能享受成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心和自豪感.

本節(jié)課學(xué)生不僅收獲了知識和技能，還獲得了人文的潤澤.課后詢問學(xué)生，本節(jié)課還有什么感受？學(xué)生甲表示以后在淘寶網(wǎng)上購物要注意與賣家的溝通；學(xué)生乙表示要注意消費(fèi)的陷阱；學(xué)生丙表示以后自主創(chuàng)業(yè)可以考慮電子商務(wù).看來通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生的收獲還是蠻大的，我心甚慰.A