王 勇，陳英華

（廣東醫(yī)學(xué)院 信息工程學(xué)院，廣東 東莞523808）

0 引言

分析力學(xué)的研究總是伴隨著人們對系統(tǒng)位形空間幾何結(jié)構(gòu)認識的不斷發(fā)展和深化。從歷史上看，“當力學(xué)系統(tǒng)加上約束時，由直角坐標過渡到廣義坐標是特別方便的，而且也是十分必要的”［1］。事實上，從描述質(zhì)點運動的牛頓力學(xué)過渡到描述完整約束系統(tǒng)的Lagrange力學(xué)的過程，也就是力學(xué)系統(tǒng)的位形空間從由坐標描述的、平直的歐幾里得空間過渡到由廣義坐標描述的、有曲率的Riemann空間的過程。而在非完整力學(xué)系統(tǒng)的研究中，則進一步引入了準坐標的概念。準坐標既可以通過非完整系統(tǒng)所受的非完整約束來定義［2－4］，也可以通過在完整力學(xué)系統(tǒng)的位形空間上復(fù)合一個同維數(shù)的非完整映射來定義［5－6］，因此，和廣義坐標所描述的、有曲率的Riemann位形空間相比，由準坐標所描述的位形空間顯然具有更加廣泛的適用性。目前的研究已證明：由準坐標所描述的、受到一階線性齊次非完整約束的系統(tǒng)的位形空間是既有曲率又有撓率的Riemann－Cartan空間。

筆者在之前的研究中提出了用一階線性映射建立兩個空間幾何性質(zhì)之間聯(lián)系的方法，利用這一方法可以從力學(xué)系統(tǒng)一個已知的位形空間出發(fā)去構(gòu)造新的、更加貼近系統(tǒng)物理實質(zhì)的位形空間，從而在新的位形空間中使物理問題的研究得以簡化。在隨后的工作中，又將這一方法應(yīng)用到非完整力學(xué)和剛體力學(xué)等領(lǐng)域的研究中，取得了一些有意義的成果［3－6］。在對這些問題的研究中，我們關(guān)注的是一階線性映射的非完整性對系統(tǒng)位形空間撓率的影響，指出映射的非完整性正是位形空間撓率的來源，非完整映射把力學(xué)系統(tǒng)的一個普通的無撓率的位形空間映射為一個有撓率的Riemann－Cartan位形空間。在此過程中，一階線性齊次非完整約束系統(tǒng)所受約束的非完整性被描述為空間撓率，從而實現(xiàn)了力學(xué)系統(tǒng)非完整性的幾何化。

本文將在此基礎(chǔ)上進一步研究一階線性映射對系統(tǒng)位形空間曲率的影響。一般來說，如果一階線性映射隱含約束，則約束會對系統(tǒng)位形空間的曲率產(chǎn)生影響，這一點無論從物理或幾何直觀上都很容易理解（例如，三維歐幾里得空間中運動的一個質(zhì)點受到一個完整約束時，位形空間一般就約化為三維歐幾里得空間中的一個二維曲面）。本文將指出，映射的非完整性同樣可能影響位形空間的曲率。為了清楚說明這一點，將討論無約束的一階線性映射對空間曲率的影響。顯然，對隱含約束的一階線性映射來說，本文的研究思路也一樣適用，且能得到類似的研究結(jié)論。

本文采用愛因斯坦求和約定，指標取值范圍都為1，2，…，n。

1 無約束線性映射對位形空間曲率的影響

考慮一個由n維Riemann位形空間［Y］（記該空間的廣義坐標為yi，度規(guī)為gij，聯(lián)絡(luò)為）所描述的完整約束系統(tǒng)，設(shè)為空間［Y］的切空間上的一個無約束的線性映射，即：

則式（1）中的zρ構(gòu)成了一個新的n維位形空間［Z］的切空間的基矢，計算可得位形空間［Z］的度規(guī)和聯(lián)絡(luò)分別為：

考慮到映射（1）不含約束，所以有：

其中aρi滿足：

因此位形空間［Z］的聯(lián)絡(luò)可進一步化簡為：

將式（5）帶入標量曲率的公式［7］：

其中Rij為Ricci張量，定義為：

并考慮：

經(jīng)過計算可以證明位形空間［Z］的標量曲率RZ為：

其中RY為位形空間［Y］的標量曲率。

如果映射（1）是無約束的完整映射，則容易證明位形空間［Z］仍然是一個Riemann空間，且此時因為有

由式（11）可以看出空間的標量曲率將保持不變；從物理的角度看，此時無約束的完整映射就相當于同一個位形空間中廣義坐標之間的變換。而如果映射（1）是無約束的非完整映射，則式（12）不再成立，位形空間［Z］將是一個有撓率的Riemann－Cartan空間，且由式（11）可以看出，無約束的非完整映射不僅使系統(tǒng)的位形空間出現(xiàn)撓率，而且一般來說曲率也同樣發(fā)生了變化（一個例外是：如果空間［Y］是一個聯(lián)絡(luò)為零的平直空間，則由式（11）容易看出，即使映射（1）是無約束的非完整映射，空間［Z］的曲率仍然為零，保持不變，此時空間［Z］是一個有撓率、無曲率的特殊的 Riemann－Cartan空間——Weitzenbock空間）。

2 算例

考慮一個約束在單位球面上的、具有單位質(zhì)量的質(zhì)點，其位形空間［Y］是一個三維歐幾里得空間中的單位球面，取球面坐標系中的仰角θ和方位角φ為廣義坐標y1和y2，計算可得其度規(guī)、聯(lián)絡(luò)、標量曲率和撓率分別為：

顯然，此時位形空間［Y］是一個常曲率、無撓率的Riemann空間。

如果在單位球面［Y］的切空間上引入一個無約束的線性映射：

容易驗證映射（17）是一個非完整映射。將式（13），（14），（17）帶入式（2），可得位形空間［Z］的度規(guī)和聯(lián)絡(luò)分別為：

進一步計算可得位形空間［Z］的標量曲率和撓率分別為：

這說明位形空間［Z］是一個變曲率且有撓率的Riemann－Cartan空間。顯然，無約束非完整映射（17）不僅使質(zhì)點的位形空間具有了撓率，而且也改變了位形空間的曲率。

3 結(jié)論

從物理的角度看，完整的無約束線性映射相當于約束系統(tǒng)位形空間不同廣義坐標之間的變換關(guān)系，這種變換并不改變位形空間的曲率和撓率，因此本質(zhì)上只是描述同一個位形空間的不同廣義坐標之間的變換。相對而言，非完整的無約束線性映射則要復(fù)雜得多，這種映射不僅會給位形空間帶來撓率，而且也改變了空間的曲率。由于沒有約束，顯然此時空間曲率的變化是由于映射的非完整性所造成的。這說明映射的非完整性不僅能表現(xiàn)在空間撓率的變化上，而且也能表現(xiàn)在空間曲率的變化上，這從一個側(cè)面體現(xiàn)出非完整問題的復(fù)雜性。同時也說明，和撓率一樣，位形空間曲率的變化也能反過來反映出兩個位形空間之間映射的非完整性。

［1］ 梅鳳翔．分析力學(xué)：上卷［M］．北京：北京理工大學(xué)出版社，2013：12．

［2］ Kleinert H，Shabanov S V．Space with torsion from embedding，and the special role of autoparallel trajectories［J］Phys Lett B，1998，428：315－321．

［3］ Guo Y X，Wang Y，Chee G Y，et al．Nonholonomic versus vakonomic dynamics on a Riemann－Cartan man－ifold［J］J Math Phys，2005，46（5）：062902．

［4］ 王勇，郭永新．Riemann－Cartan空間中的d’A1embert－Lagrange 原 理 ［J］．物 理 學(xué) 報，2005，54（12）：5517－5520．

［5］ 王勇，郭永新，呂群松，等．非完整映射理論與剛體定點轉(zhuǎn)動 的 幾 何 描 述 ［J］．物 理 學(xué) 報，2009，58（8）：5142－5149．

［6］ Guo Yongxin，Liu Chang，Wang Yong，et al．Nonholonomic mapping theory of autoparallel motions in riemann－cartan space［J］．Science China（Physics，Mechanics ＆ Astronomy），2010（9）：1707－1715．

［7］ 余揚振，馮承天．物理學(xué)中的幾何方法［M］．北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，1998：487．