許立忠，李 沖，邢繼春（燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，河北秦皇島066004）

考慮嚙合激勵時壓電諧波活齒傳動動力學(xué)研究

許立忠?，李 沖，邢繼春
（燕山大學(xué)機械工程學(xué)院，河北秦皇島066004）

摘 要：提出了一種機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)，分析了系統(tǒng)的工作機理。為了更準確地描述傳動中活齒系統(tǒng)動力學(xué)行為，在動力學(xué)模型中引入了嚙合剛度激勵，建立了嚙合剛度激勵方程，推導(dǎo)了考慮嚙合激勵時活齒系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)方程。以傳動比為30的活齒系統(tǒng)為例，求解了系統(tǒng)在嚙合激勵作用下的時域和頻域響應(yīng)；分析了參數(shù)對頻域響應(yīng)的影響。結(jié)果表明活齒半徑、波發(fā)生器偏心距和波發(fā)生器半徑對共振頻率影響較大，波發(fā)生器偏心距和波發(fā)生器半徑對振幅影響顯著。

關(guān)鍵詞：嚙合激勵；壓電諧波；活齒系統(tǒng)；動力學(xué)；強迫響應(yīng)

0　引言

壓電電機是20世紀80年代發(fā)展起來的微型電機，壓電電機具有的高能量密度、精確定位、無電磁干擾等優(yōu)點［1?2］使其在精密驅(qū)動和微納米定位領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，成為各國學(xué)者研究的熱點，同時產(chǎn)生了一批適應(yīng)各種環(huán)境的壓電驅(qū)動裝置。日本學(xué)者Hamamoto M等研制了一種模擬蜻蜓擺動飛行的微型飛行器，該飛行器通過4個重量為0.13 g的雙向旋轉(zhuǎn)行波壓電超聲電機實現(xiàn)各方向的運動，具有良好的性能［3］；韓國Jeong S等設(shè)計和制造了一種三足式的薄狀旋轉(zhuǎn)超聲電機用在小型移動設(shè)備上［4］；日本Tomoaki M研制了一臺定子體積只有1 mm3的微型超聲電機，成為世界上最小的電機之一［5］；美國學(xué)者Dragan A等從千足蟲爬行得到啟發(fā)，利用兩個U型布置壓電雙晶片，研制了一臺工作在114 Hz的新型低頻壓電電機［6］；國內(nèi)陳維山等通過利用放入環(huán)狀凹槽里的20個壓電堆和20個塊狀彈簧產(chǎn)生的行波，研制了一臺利用徑向彎曲模態(tài)的行波超聲電機［7］；趙淳生院士將團隊研發(fā)的超聲電機用于“嫦娥三號”探測器，實現(xiàn)了探測器在月球完美著陸，且具有穩(wěn)定的性能［8］。

傳統(tǒng)壓電電機是通過定轉(zhuǎn)子間的摩擦來驅(qū)動轉(zhuǎn)子輸出轉(zhuǎn)矩，在此過程中存在能量損耗大、接觸面磨損嚴重、效率低等問題。為解決此類問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了非接觸式壓電電機。Qiu W等研制了一臺利用壓電扭轉(zhuǎn)振子和巨電流變液的雙向非接觸式旋轉(zhuǎn)電機［9］；鄂世舉等提出了一種非對稱波驅(qū)動的非接觸式超聲電機，并用實驗驗證了非對稱波的存在［10］；Stepanenko D等人設(shè)計了一種由面內(nèi)彎曲振動的環(huán)狀定子和片狀轉(zhuǎn)子構(gòu)成的非接觸式超聲電機，該電機的特點是采用了超聲駐波驅(qū)動［11］。

非接觸式壓電電機雖然避免了定、轉(zhuǎn)子間的摩擦，但其輸出力矩較小，承載能力較低。基于上述原因，本文提出了一種利用活齒嚙合取代定、轉(zhuǎn)子間摩擦來驅(qū)動轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的機電集成壓電諧波傳動系統(tǒng)?；铨X系統(tǒng)是該傳動的重要部分，由波發(fā)生器、中心輪、活齒架和活齒組成。國內(nèi)外對活齒系統(tǒng)動力學(xué)研究較少，梁尚明等對擺動活齒傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型進行了研究［12］，金向陽等建立了航空用微小型正弦活齒系統(tǒng)動力學(xué)模型［13］。由于在運動過程中參與嚙合的活齒數(shù)會發(fā)生變化，系統(tǒng)由此產(chǎn)生振動，嚴重影響系統(tǒng)的傳遞效率，且目前的研究很少考慮到嚙合齒數(shù)變化產(chǎn)生的激勵。因此，本文將對考慮嚙合激勵的活齒系統(tǒng)進行動力學(xué)分析。

1　系統(tǒng)動力學(xué)方程

1.1工作機理及動力學(xué)模型

工作原理如圖1所示，壓電諧波傳動系統(tǒng)包括驅(qū)動部分和傳動部分。驅(qū)動部分由位置互成90°的兩套組件（壓電堆、彈性體和擺動體）構(gòu)成，其作用是產(chǎn)生連續(xù)諧波；傳動部分由波發(fā)生器、中心輪、活齒架和30個活齒組成，其作用是傳遞轉(zhuǎn)矩。工作時，給一路壓電堆通入帶偏置的正弦信號，壓電堆產(chǎn)生時變軸向變形量，該變形量推動彈性體和擺動體在波發(fā)生器邊沿產(chǎn)生時變偏移量。同時另一路壓電堆通入與第一路壓電堆相位差90°的信號，在波發(fā)生器另一方向產(chǎn)生類似的時變偏移量。兩方向時變偏移量疊加，波發(fā)生器邊沿上形成連續(xù)諧波，在諧波驅(qū)動下，與活齒架固連的輸出軸獲得連續(xù)轉(zhuǎn)動。

圖1　工作原理簡圖Fig.1　Operating principle diagram

活齒系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖2所示，活齒齒數(shù)為Z，工作時半數(shù)活齒參與嚙合，且嚙合活齒是連續(xù)排列的，建模時根據(jù)活齒所處的位置決定是否處于嚙合狀態(tài)［14］。每個活齒與中心輪間的嚙合角的不同造成了活齒的受力不同，角標s、c、r和p分別為波發(fā)生器、中心輪、活齒架和活齒，xj、yj和uj分別是各構(gòu)件的3個方向的坐標。

圖2　活齒系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.2　Dynamic model of movable tooth system

1.2嚙合激勵方程

活齒傳動中，活齒架每轉(zhuǎn)過π/870時，活齒與中心輪波齒間呈現(xiàn)n個齒和n＋1個齒交替嚙合，從而造成活齒和與之嚙合的各構(gòu)件間的嚙合剛度也隨時間周期性變化，該動剛度引起了系統(tǒng)的受迫振動?；铨X/波發(fā)生器、活齒/中心輪以及活齒/活齒架嚙合剛度變化規(guī)律如圖3所示。

圖3　活齒與各構(gòu)件剛度隨活齒架轉(zhuǎn)角變化Fig.3　Stiffness between movable tooth and elements changes with rotation angle of the rotor

活齒與各構(gòu)件嚙合時的時變嚙合剛度可表示為其平均值和隨時間變化的動剛度兩部分的疊加：

當(dāng)n個活齒參與嚙合時，活齒與波發(fā)生器、中心輪和活齒架間嚙合剛度分別為ksmin、kcmin、kpmin；當(dāng)n＋1個活齒參與嚙合時，活齒與波發(fā)生器、中心輪和活齒架間嚙合剛度分別為ksmax、kcmax、kpmax。由彈性力學(xué)可得活齒與波發(fā)生器、中心輪和活齒架接觸處的剛度表達式為

其中，Ki（ei）、Ei（ei）為活齒與各構(gòu)件接觸時與橢圓率相關(guān)的系數(shù)；Fij為活齒系統(tǒng)各構(gòu)件受力，嚙合活齒個數(shù)不同時Fij的值也不同。

則活齒與各構(gòu)件間平均嚙合剛度為

隨時間周期性變化的嚙合動剛度為奇函數(shù)，可以展成傅里葉級數(shù)為

式中，Δkni（t）為傅里葉級數(shù)系數(shù)；ωp為活齒架角速度，嚙合激勵頻率。

活齒/波發(fā)生器、活齒/中心輪及活齒/活齒架隨時間周期性變化嚙合剛度對應(yīng)的傅里葉系數(shù)為

則活齒與各構(gòu)件間隨時間周期變化的嚙合動剛度為

剛度矩陣表達式為

系統(tǒng)中，每個構(gòu)件對應(yīng)x、y和u向3個方程，3個中心構(gòu)件和30個活齒則對應(yīng)3Z＋9個方程，故下文中矩陣的維數(shù)是3Z＋9?；铨X系統(tǒng)的靜變形為

則當(dāng)量激振力為

其中，Bs、Bc、Bp和B0為（3Z＋9）×1列向量。

1.3考慮嚙合激勵動力學(xué)響應(yīng)

考慮嚙合激勵時，活齒系統(tǒng)存在由輸入轉(zhuǎn)矩引起外部激振力Fe和嚙合剛度變化引起的內(nèi)部激振力Q。故系統(tǒng)所受的總激振力F為

F＝Fe＋Q，（12）故活齒系統(tǒng)在復(fù)合激勵下的振動方程為

系統(tǒng)模態(tài)振型矩陣和主質(zhì)量矩陣為

正則振型矩陣為

系統(tǒng)的正則質(zhì)量矩陣、正則剛度矩陣、正則阻尼矩陣以及正則激振力矩陣為

ATN［Δksi（t）Bs＋Δkci（t）Bc＋Δkpi（t）Bp＋B0］，其中，F(xiàn)e＝［0 0 Tssinωst/r 0 0 0…0 0 0］T，Ts為施加在波發(fā)生器上的力矩，ωs為外部激勵頻率。

則系統(tǒng)振動方程（13）正則變換后的方程為

，γi為第i階正則振型的相對阻尼系數(shù)。初始位移和初始速度都為0，系統(tǒng)在考慮嚙合激勵下的第i階正則坐標的響應(yīng)為

其中，

上式響應(yīng)方程中，瞬態(tài)很快隨時間衰減掉，在活齒系統(tǒng)受迫振動中穩(wěn)態(tài)響應(yīng)較大，則活齒系統(tǒng)在考慮嚙合激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

則原坐標系下時域響應(yīng)為

對式（14）進行拉普拉斯變換，得傳遞函數(shù)為

2　算例分析

2.1動力學(xué)響應(yīng)

根據(jù)活齒傳動理論計算，取系統(tǒng)活齒數(shù)Z為30，中心輪波齒數(shù)ZK為29，于是獲得傳動比i＝Z/（Z－ZK）＝30。活齒系統(tǒng)基本參數(shù)如表1所示，表2是活齒與各構(gòu)件間的嚙合剛度值。圖4是取激勵頻率接近一階共振頻率（2 093 rad/s）時系統(tǒng)各構(gòu)件在嚙合激勵作用下的穩(wěn)態(tài)時域響應(yīng)圖，xj、yj、uj分別是各構(gòu)件3個方向的振動；由于只考慮活齒的平面運動，故文中只選取了任意一個嚙合活齒的x和y向進行分析；圖5是活齒系統(tǒng)頻域響應(yīng)圖，由于系統(tǒng)固有頻率范圍較大，低階共振響應(yīng)和高階共振響應(yīng)值差別較大，故將各構(gòu)件頻響曲線分為低頻和高頻描述。由圖4和圖5得出：

1）活齒各構(gòu)件在考慮嚙合激勵時時域響應(yīng)曲線總體呈現(xiàn)為正弦曲線，但是響應(yīng)曲線中出現(xiàn)了不同程度的鋸齒波，尤其是活齒響應(yīng)比較明顯，這是因為雖然ωs和ωp的頻率相同，但激振力周期是2π/ωs，活齒嚙合齒數(shù)變化周期是π/（435 nωp），故時域響應(yīng)曲線是帶有鋸齒波的正弦曲線。活齒響應(yīng)曲線波動比較大，這是由于活齒受到的嚙合齒數(shù)變化影響較大。

2）時域響應(yīng)最大值在波發(fā)生器us向中，主要原因是外部激勵力施加在波發(fā)生器上，而外部激勵力對受迫振動響應(yīng)較大。頻域響應(yīng)各構(gòu)件低頻階段的振幅遠大于高頻階段的振幅，且同一構(gòu)件各階共振振幅存在隨階數(shù)的增大而減小趨勢。

3）頻響低頻段對應(yīng)振型是系統(tǒng)全振動模態(tài)，各構(gòu)件共振幅值最大值出現(xiàn)在前兩階固有頻率中，波發(fā)生器最大振幅出現(xiàn)在2 093 rad/s中，中心輪、活齒架和活齒最大振幅出現(xiàn)在60 582 rad/s中，且波發(fā)生器和活齒架最大幅值都在扭轉(zhuǎn)u向，中心輪最大振幅在x向，活齒最大振幅在y向。

4）頻響高頻段包括波發(fā)生器平移振動模態(tài)、中心輪靜止模態(tài)、活齒平移振動模態(tài)和嚙合活齒直線振動模態(tài)，共振峰值集中在1.5×106～2×106rad/s和3×106～3.5×106rad/s兩個頻率段中。

5）在波發(fā)生器平移振動模態(tài)中，波發(fā)生器在3×106～3.5×106rad/s時沿u方向的振幅為0，只在平面內(nèi)振動；在中心輪靜止模態(tài)中，中心輪在1.5×106～2×106rad/s時x、y和u向的共振振幅都接近0，此時中心輪處于靜止狀態(tài)。

6）而在活齒平移振動模態(tài)和嚙合活齒直線振動模態(tài)中，活齒在有些頻率點時x、y兩方向都有共振現(xiàn)象，在有些頻率點只存在一個方向的共振，這些現(xiàn)象與模態(tài)振型相對應(yīng)。在1.5×106～2×106rad/s只有活齒架振幅值較大，且最大值出現(xiàn)在u向；在3×106～3.5×106rad/s中x向的振幅值較大，中心構(gòu)件y向都沒有幅值，活齒y向有較小的幅值。

圖4　活齒系統(tǒng)時域響應(yīng)Fig.4　Time?domain responses of movable tooth system

圖5　活齒系統(tǒng)頻域響應(yīng)Fig.5　Frequency?domain responses of movable tooth system

2.2參數(shù)影響分析

分別選取活齒半徑r、波發(fā)生器偏心距a和波發(fā)生器半徑R，分析參數(shù)對系統(tǒng)頻域響應(yīng)的影響，如圖6～8所示。由于各構(gòu)件受同一參數(shù)影響規(guī)律相似，這里只給出對系統(tǒng)及其重要的活齒架和活齒頻域響應(yīng)受參數(shù)影響的曲線。由圖可得：

1）由式（2）得出，活齒同各構(gòu)件間嚙合剛度ki與r和各構(gòu)件受力Fij都成正比，而Fij與r成反比，同時隨著r增大，活齒與波發(fā)生器間的嚙合角減小，與中心輪間的嚙合角增大。在活齒16齒和15齒交變嚙合過程中，kimax和kimin都變化，且kimax與kimin差值隨r的增大而增大。

2）r對共振頻率ωi和振幅都有影響，隨著r的增大，ωi減小，振幅增大。由于ωi與ki同向變化，故ki隨r的增加而減小。ωi的改變是由于ki的改變所致，振幅的改變一方面是由于ωi的改變造成了模態(tài)振型發(fā)生改變，另一方面是由于活齒16齒與15齒嚙合剛度差值隨r發(fā)生變化造成的。

3）隨著a的增大，ωi增大，且增幅越來越大。振幅隨a的增大而減小，且減幅越來越小。a對頻響的影響是ωi改變所致，ωi則通過ki的改變而改變。首先，ki通過a影響Fij，且隨a的增大Fij增大；其次，活齒與中心輪間的嚙合角隨a的增大而減小，與波發(fā)生器間的嚙合角隨a的增大而增大；再次，kimax與kimin差值隨a的增大而增大。在多重因素下，ki隨a的增大而增大，ωi隨ki增大，同時模態(tài)振型改變，嚙合激勵力也發(fā)生改變，綜合因素導(dǎo)致共振振幅發(fā)生變化。

4）R改變時，ωi和振幅均變化。隨著R的增加，ωi減小，振幅增加。分析原因知，隨著R的增加Fij減小，且ki隨R的增加而減小，故ωi隨R的增加而減?。辉赗變化過程中，活齒與中心輪間的嚙合角隨R的增大而增大，與波發(fā)生器間的嚙合角隨R的增大而減?。煌瑫r，kimax與kimin差值隨R的增大而增大，嚙合力同向變化，使振幅改變，振幅改變還與模態(tài)振型改變有關(guān)。

5）綜上，ωi隨r和R成負比例變化，隨a成正比例變化；振幅隨r改變較小，隨a變化幅度逐漸增加，隨R變化幅度逐漸減小。對ωi影響大的參數(shù)是r、a和R，對振幅影響大的參數(shù)是a和R。

圖6　活齒半徑r對頻域響應(yīng)影響Fig.6　Effects of r on frequency?domain responses

圖7　波發(fā)生器偏心距a對頻域響應(yīng)影響Fig.7　Effects of a on frequency?domain responses

圖8　波發(fā)生器半徑R對頻域響應(yīng)影響Fig.8　Effects of R on frequency?domain responses

3　結(jié)論

將嚙合剛度激勵引入到機電集成壓電諧波傳動活齒系統(tǒng)動力學(xué)模型中，求解了考慮嚙合激勵時各構(gòu)件穩(wěn)態(tài)時域響應(yīng)和頻域響應(yīng)，分析了參數(shù)對頻域響應(yīng)的影響。結(jié)果表明：

1）考慮嚙合激勵時時域響應(yīng)波形中含有鋸齒狀波動，且活齒受嚙合激勵的影響最為顯著；

2）各構(gòu)件共振幅值最大值出現(xiàn)在前兩階非零固有頻率中，波發(fā)生器和活齒架最大幅值都在扭轉(zhuǎn)u向，中心輪最大振幅在x向，活齒最大振幅在y向；

3）對共振頻率影響大的參數(shù)是r、a和R，對振幅影響大的參數(shù)是a和R。

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Study on dynamics of harmonic piezodrive oscillating tooth system by considering meshing incentive

XU Li?zhong LI Chong XING Ji?chun
School of Mechanical Engineering Yanshan University Qinhuangdao Hebei 066004 China

AbstractAn electromechanical integrated harmonic piezodrive system is proposed and the principle of the drive is discussed.In or?der to precisely describe the dynamic behavior of the movable tooth system precisely a meshing incentive is brought into the dynam?c model.The meshing incentive equations are established the system dynamic response equations by considering meshing incentive are derived.In order to solve the force responses the system′s transmission ratio of 30 is illustrated.In addition the time domain re?book=234,ebook=247sponses and the frequency domain responses under meshing incentive are settled and the influences of the parameters on the fre?quency domain response are analyzed.The results show that the radius of oscillating tooth has a great influence on the resonant fre?quencies the radius and eccentric distance of wave generator influence both resonant frequencies and amplitude observably.

Key wordsmeshing incentive harmonic piezodrive oscillating tooth system dynamics forced response

作者簡介：?許立忠（1962?），男，黑龍江齊齊哈爾人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為機電集成多場耦合動力學(xué)，Email：xlz＠ysu.edu.cn。

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（51275441）

收稿日期：2014?09?16

文章編號：1007?791X（2015）03?0226?09

DOI：10.3969/j.issn.1007－791X.2015.03.006

文獻標識碼：A

中圖分類號：TH113.1