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        “上下呼應(yīng),溝通你我”
        ——例談綜合題的小問設(shè)計(jì)

        2015-05-13 07:09:28江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中徐相柱
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年6期
        關(guān)鍵詞:綜合題直角數(shù)軸

        ☉江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中 徐相柱

        “上下呼應(yīng),溝通你我”
        ——例談綜合題的小問設(shè)計(jì)

        ☉江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中 徐相柱

        中考綜合題的解題研究、命題研究一直都是很多同行關(guān)注的熱點(diǎn),特別是全卷的最后一題,命題組在設(shè)計(jì)時(shí)更是匠心獨(dú)運(yùn),苦心經(jīng)營,從而帶來很多命題考查功能之外的試題立意、教學(xué)指向.當(dāng)然也有個(gè)別考題出現(xiàn)了一些美中不足的現(xiàn)象,這在文1、2中得到商榷和改進(jìn),這種本著命題研討的精神而開展的教研活動是十分難得的,值得我們學(xué)習(xí).下面也列舉兩個(gè)題例,根據(jù)個(gè)人喜好也做些賞析或改編,就教于大家,期待批評.

        一、題例及改編

        題例1(2015年1月江蘇省某市某校七年級上學(xué)期復(fù)習(xí)卷)數(shù)軸上,點(diǎn)A表示-3,點(diǎn)B表示5,點(diǎn)P表示數(shù)p.當(dāng)AP=10BP時(shí),求p的值.

        思路分析:成功求解這道題有兩個(gè)難點(diǎn),一是分類討論,即點(diǎn)P在線段AB上或AB的延長線上;二是根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離列出方程.

        命題商榷:考慮到這道習(xí)題的難點(diǎn)分解,可以將問題做如下的分步設(shè)問,使得不同的學(xué)生在這道習(xí)題上都能取得相應(yīng)的得分,從而追求更好的信度、效度與區(qū)分度.

        命題改編:數(shù)軸上,點(diǎn)A表示-3,點(diǎn)B表示5.

        (1)從A點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)在數(shù)軸上向右移動4個(gè)單位到達(dá)C點(diǎn),則點(diǎn)C表示的數(shù)是_____,BC=_____.

        (2)線段AB上有一點(diǎn)P,PA=k·PB,點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)是p.

        ①當(dāng)k=1時(shí),p=_____;

        ②當(dāng)k=3時(shí),p=_____;

        ③p=_____(用含k的式子表示).

        (3)數(shù)軸上有一點(diǎn)N,當(dāng)AN=10BN時(shí),求點(diǎn)N所對應(yīng)的數(shù)n.

        解法提示:(1)1,4.

        (2)①當(dāng)k=1時(shí),點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn),于是對應(yīng)著上一個(gè)問題,即此時(shí)點(diǎn)P位于(1)中的點(diǎn)C處.

        ②當(dāng)k=3時(shí),點(diǎn)P為線段AB的四等分點(diǎn)之一,容易求出此時(shí)BP=2,于是p=3.

        ③從絕對值幾何意義、線段角度可以列出方程,p+ 3=k(5-p),解得p=

        (3)與(2)相比,從“線段”到“數(shù)軸”,點(diǎn)N也就是上一問中的P,“10”就是上一問中的“k”,還是從兩點(diǎn)之間的距離來構(gòu)造方程處理較好些,而且需要分兩種情況討論.

        第一種情況,點(diǎn)N在線段AB上,10(5-n)=n+3,解得n=

        第二種情況,點(diǎn)N在線段AB的延長線上,10(n-5)= n+3,解得n=

        題例2(2014年廣東省廣州市,第24題,14分)已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A(-1,0)、B(4,0),拋物線y= ax2+bx-2(a≠0)過點(diǎn)A、B,頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P(m,n)(n<0)為拋物線上一點(diǎn).

        (1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

        (2)當(dāng)∠APB為鈍角時(shí),求m的取值范圍.

        思路簡述:簡要給出第三問的思路,結(jié)合第二問的求解,強(qiáng)化條件“若m>當(dāng)∠APB為直角時(shí)”得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-2).構(gòu)造圖1分析.

        圖1

        設(shè)存在一個(gè)圖形滿足題意,此時(shí)C、P相應(yīng)平移到C′、P′處,將點(diǎn)P′向左平移5個(gè)單位長度到P1處,作P1關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)P2,此時(shí)連接P2C′,應(yīng)該恰好經(jīng)過點(diǎn)A,才是符合要求的平移狀態(tài).

        命題商榷:求解第二問時(shí)已經(jīng)獲得直角位置,進(jìn)一步分析鈍角的狀態(tài);而第三問卻利用所謂的強(qiáng)化條件讓學(xué)生倒過去,重拾這個(gè)直角位置,這與綜合題各個(gè)小問之間“一步一步向上走”的命題取向有所偏離.此外,作為這道綜合題最難的第三問,還有兩個(gè)難點(diǎn):難點(diǎn)之一,在于如何將其中一個(gè)點(diǎn)平移后利用“將軍飲馬”模式實(shí)現(xiàn)定位作圖;難點(diǎn)之二,定位作圖出來后,能否順利解出答案也會阻攔不少學(xué)生,因?yàn)檫\(yùn)算較繁,惜時(shí)如金的考場,挑戰(zhàn)了學(xué)生的計(jì)算能力,導(dǎo)向“多思多算”的境地,值得商榷.

        變式改編:如圖2,平面直角坐標(biāo)系下,拋物線y=ax2+bx-2(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、B(4,0),頂點(diǎn)為C.

        (1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

        (2)設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為D,連接AD、BD,求證:AD⊥BD.

        圖2

        (3)點(diǎn)P為拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)∠APB為直角時(shí),將該拋物線向左或向右平移t(0<t<)個(gè)單位,點(diǎn)

        C、P平移后對應(yīng)的點(diǎn)分別記為C′、P′,是否存在t,使得首尾依次連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短?若存在,求t的值并說明拋物線平移的方向;若不存在,請說明理由.

        改編意圖:與原題相比,給出草圖、改變第二問,使得入口較原題更寬,而且第三問刪減無關(guān)旁枝的干擾(如點(diǎn)P(m,n)(n<0)為拋物線上一點(diǎn),若m>,當(dāng)∠APB為直角時(shí)),直接給出點(diǎn)P為拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn),條件是等價(jià)的.當(dāng)然,最后一問保持了原貌,讀者不妨參與優(yōu)化,筆者思考很久,但未能使運(yùn)算量減少“.少算多思”是命題的一種追求.

        二、進(jìn)一步的思考

        1.較難綜合題的設(shè)問宜漸次生長、引導(dǎo)參與

        我們知道,較難的綜合題常常所占的分值也較大,如果這樣的習(xí)題只有一個(gè)較難設(shè)問(如上文題例1),則容易造成更多的學(xué)生在考場上簡單放棄,從而造成試題在區(qū)分度、信度上的不足.這時(shí)將問題重新改編,從一個(gè)十分簡單、好懂的基礎(chǔ)條件出發(fā),漸次生成、變式拓展,引導(dǎo)更多學(xué)生參與應(yīng)答,而最后的問題又要真正起到“把關(guān)”作用,讓一道題目就能使不同的學(xué)生的解題能力得到很好的區(qū)分.

        2.不同小問之間需要加強(qiáng)關(guān)聯(lián)、溝通你我

        當(dāng)前很多中考綜合題下面的幾個(gè)小問題的設(shè)計(jì)多以并列式問題為主,如題例2這樣,三個(gè)小問之間并無遞進(jìn)式關(guān)系,但是它們的求解思路、后一問的解題念頭的來源卻又需要借助上一問的思路啟發(fā),像這種命題設(shè)計(jì)技術(shù)就是注重關(guān)聯(lián).此外,如題例1的改編那樣,第一問中的點(diǎn)C成為下一問中的點(diǎn)P,而最后一問中的N點(diǎn)溝通著上一問中的P,這種關(guān)聯(lián)前后、溝通你我的設(shè)計(jì)都需要精心構(gòu)思,待到習(xí)題講評時(shí)也需要引導(dǎo)學(xué)生思考和體會.

        1.鄔吉利.一類“偽坐標(biāo)系”考題的評析與商榷[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2014(8).

        2.朱月祥.改編考題為研討,追求簡潔重關(guān)聯(lián)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2014(12).

        3.賀信淳.從多角度審視一道中考試題說開去——談對初中數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀之惑[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2013(12).

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