☉江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中 徐相柱

“上下呼應(yīng)，溝通你我”
——例談綜合題的小問設(shè)計(jì)

☉江蘇省如皋市實(shí)驗(yàn)初中 徐相柱

中考綜合題的解題研究、命題研究一直都是很多同行關(guān)注的熱點(diǎn)，特別是全卷的最后一題，命題組在設(shè)計(jì)時(shí)更是匠心獨(dú)運(yùn)，苦心經(jīng)營(yíng)，從而帶來很多命題考查功能之外的試題立意、教學(xué)指向.當(dāng)然也有個(gè)別考題出現(xiàn)了一些美中不足的現(xiàn)象，這在文1、2中得到商榷和改進(jìn)，這種本著命題研討的精神而開展的教研活動(dòng)是十分難得的，值得我們學(xué)習(xí).下面也列舉兩個(gè)題例，根據(jù)個(gè)人喜好也做些賞析或改編，就教于大家，期待批評(píng).

一、題例及改編

題例1（2015年1月江蘇省某市某校七年級(jí)上學(xué)期復(fù)習(xí)卷）數(shù)軸上，點(diǎn)A表示-3，點(diǎn)B表示5，點(diǎn)P表示數(shù)p.當(dāng)AP=10BP時(shí)，求p的值.

思路分析：成功求解這道題有兩個(gè)難點(diǎn)，一是分類討論，即點(diǎn)P在線段AB上或AB的延長(zhǎng)線上；二是根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離列出方程.

命題商榷：考慮到這道習(xí)題的難點(diǎn)分解，可以將問題做如下的分步設(shè)問，使得不同的學(xué)生在這道習(xí)題上都能取得相應(yīng)的得分，從而追求更好的信度、效度與區(qū)分度.

命題改編：數(shù)軸上，點(diǎn)A表示-3，點(diǎn)B表示5.

（1）從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)在數(shù)軸上向右移動(dòng)4個(gè)單位到達(dá)C點(diǎn)，則點(diǎn)C表示的數(shù)是_____，BC=_____.

（2）線段AB上有一點(diǎn)P，PA=k·PB，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是p.

①當(dāng)k=1時(shí)，p=_____；

②當(dāng)k=3時(shí)，p=_____；

③p=_____（用含k的式子表示）.

（3）數(shù)軸上有一點(diǎn)N，當(dāng)AN=10BN時(shí)，求點(diǎn)N所對(duì)應(yīng)的數(shù)n.

解法提示：（1）1，4.

（2）①當(dāng)k=1時(shí)，點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，于是對(duì)應(yīng)著上一個(gè)問題，即此時(shí)點(diǎn)P位于（1）中的點(diǎn)C處.

②當(dāng)k=3時(shí)，點(diǎn)P為線段AB的四等分點(diǎn)之一，容易求出此時(shí)BP=2，于是p=3.

③從絕對(duì)值幾何意義、線段角度可以列出方程，p+ 3=k（5-p），解得p=

（3）與（2）相比，從“線段”到“數(shù)軸”，點(diǎn)N也就是上一問中的P，“10”就是上一問中的“k”，還是從兩點(diǎn)之間的距離來構(gòu)造方程處理較好些，而且需要分兩種情況討論.

第一種情況，點(diǎn)N在線段AB上，10（5-n）=n+3，解得n=

第二種情況，點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上，10（n-5）= n+3，解得n=

題例2（2014年廣東省廣州市，第24題，14分）已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），拋物線y= ax2+bx-2（a≠0）過點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P（m，n）（n＜0）為拋物線上一點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)∠APB為鈍角時(shí)，求m的取值范圍.

思路簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)要給出第三問的思路，結(jié)合第二問的求解，強(qiáng)化條件“若m＞當(dāng)∠APB為直角時(shí)”得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-2）.構(gòu)造圖1分析.

圖1

設(shè)存在一個(gè)圖形滿足題意，此時(shí)C、P相應(yīng)平移到C′、P′處，將點(diǎn)P′向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度到P1處，作P1關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P2，此時(shí)連接P2C′，應(yīng)該恰好經(jīng)過點(diǎn)A，才是符合要求的平移狀態(tài).

命題商榷：求解第二問時(shí)已經(jīng)獲得直角位置，進(jìn)一步分析鈍角的狀態(tài)；而第三問卻利用所謂的強(qiáng)化條件讓學(xué)生倒過去，重拾這個(gè)直角位置，這與綜合題各個(gè)小問之間“一步一步向上走”的命題取向有所偏離.此外，作為這道綜合題最難的第三問，還有兩個(gè)難點(diǎn)：難點(diǎn)之一，在于如何將其中一個(gè)點(diǎn)平移后利用“將軍飲馬”模式實(shí)現(xiàn)定位作圖；難點(diǎn)之二，定位作圖出來后，能否順利解出答案也會(huì)阻攔不少學(xué)生，因?yàn)檫\(yùn)算較繁，惜時(shí)如金的考場(chǎng)，挑戰(zhàn)了學(xué)生的計(jì)算能力，導(dǎo)向“多思多算”的境地，值得商榷.

變式改編：如圖2，平面直角坐標(biāo)系下，拋物線y=ax2+bx-2（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0），頂點(diǎn)為C.

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為D，連接AD、BD，求證：AD⊥BD.

圖2

（3）點(diǎn)P為拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)∠APB為直角時(shí)，將該拋物線向左或向右平移t（0＜t＜）個(gè)單位，點(diǎn)

C、P平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為C′、P′，是否存在t，使得首尾依次連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長(zhǎng)最短？若存在，求t的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請(qǐng)說明理由.

改編意圖：與原題相比，給出草圖、改變第二問，使得入口較原題更寬，而且第三問刪減無關(guān)旁枝的干擾（如點(diǎn)P（m，n）（n＜0）為拋物線上一點(diǎn)，若m＞，當(dāng)∠APB為直角時(shí)），直接給出點(diǎn)P為拋物線在第四象限內(nèi)一點(diǎn)，條件是等價(jià)的.當(dāng)然，最后一問保持了原貌，讀者不妨參與優(yōu)化，筆者思考很久，但未能使運(yùn)算量減少“.少算多思”是命題的一種追求.

二、進(jìn)一步的思考

1.較難綜合題的設(shè)問宜漸次生長(zhǎng)、引導(dǎo)參與

我們知道，較難的綜合題常常所占的分值也較大，如果這樣的習(xí)題只有一個(gè)較難設(shè)問（如上文題例1），則容易造成更多的學(xué)生在考場(chǎng)上簡(jiǎn)單放棄，從而造成試題在區(qū)分度、信度上的不足.這時(shí)將問題重新改編，從一個(gè)十分簡(jiǎn)單、好懂的基礎(chǔ)條件出發(fā)，漸次生成、變式拓展，引導(dǎo)更多學(xué)生參與應(yīng)答，而最后的問題又要真正起到“把關(guān)”作用，讓一道題目就能使不同的學(xué)生的解題能力得到很好的區(qū)分.

2.不同小問之間需要加強(qiáng)關(guān)聯(lián)、溝通你我

當(dāng)前很多中考綜合題下面的幾個(gè)小問題的設(shè)計(jì)多以并列式問題為主，如題例2這樣，三個(gè)小問之間并無遞進(jìn)式關(guān)系，但是它們的求解思路、后一問的解題念頭的來源卻又需要借助上一問的思路啟發(fā)，像這種命題設(shè)計(jì)技術(shù)就是注重關(guān)聯(lián).此外，如題例1的改編那樣，第一問中的點(diǎn)C成為下一問中的點(diǎn)P，而最后一問中的N點(diǎn)溝通著上一問中的P，這種關(guān)聯(lián)前后、溝通你我的設(shè)計(jì)都需要精心構(gòu)思，待到習(xí)題講評(píng)時(shí)也需要引導(dǎo)學(xué)生思考和體會(huì).

1.鄔吉利.一類“偽坐標(biāo)系”考題的評(píng)析與商榷［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

2.朱月祥.改編考題為研討，追求簡(jiǎn)潔重關(guān)聯(lián)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（12）.

3.賀信淳.從多角度審視一道中考試題說開去——談對(duì)初中數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀之惑［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（12）.