☉安徽省當涂縣大隴初中 倪興隆
☉安徽省馬鞍山市丹陽中學袁慶明
對一道中考壓軸題的解析與思考
☉安徽省當涂縣大隴初中 倪興隆
☉安徽省馬鞍山市丹陽中學袁慶明
中考壓軸題的主要功能是對不同水平層次的同學進行區(qū)分和選拔,突出考查同學們在初中階段對核心知識和重要數(shù)學方法、數(shù)學思想的理解和掌握水平.2014年安徽省中考數(shù)學壓軸題(有改動),以正六邊形為背景,命題的立意高、選材精、定位準;解題的入口寬、思路廣、方法多,蘊含著豐富的數(shù)學思想和解題技巧,是難得的一道好題.
(2014年安徽卷第23題,有改動)如圖1,正六邊形ABCDEF的邊長為a,P是BC邊上一動點,過P作PM∥AB交AF于M,作PN∥CD交DE于N.
(1)求證:PM+PN=3a.
(2)如圖2,點O是AD的中點,連接OM、ON.求證:OM=ON.
(3)如圖3,點O是AD的中點,OG平分∠MON,判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形,并說明理由.
圖1
圖2
圖3
圖4
先探討第一問的解法.
【思維導引】證明線段的和、差與倍分關(guān)系,通常采用“截長法”或“補短法”,解決本問的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化思想,將線段PM和PN轉(zhuǎn)化為正六邊形的邊長.
【思路分析1】如圖4,通過連接AD,把線段PM和PN分割,使圖中產(chǎn)生平行四邊形和等邊三角形,利用平行四邊形對邊相等和等邊三角形三邊相等的性質(zhì)把線段PM和PN轉(zhuǎn)化為正六邊形的邊長,從而完成證明.
證法1:如圖4,連接AD,交PM于G點、PN于H點.
由PM∥AB,PN∥CD,六邊形ABCDEF是正六邊形,易知△AMG、△DHN和△PGH都是等邊三角形,四邊形ABPG和四邊形DCPH是平行四邊形,AD=2a.
PM+PN=PG+MG+PH+HN=AB+AG+CD+DH=BP+ PC+2a=BC+2a=3a.
【思路分析2】觀察圖形還可以發(fā)現(xiàn)圖中存在等腰梯形,因等腰梯形兩腰相等,所以還可以利用平行四邊形、等腰梯形和等邊三角形的性質(zhì),把線段PM和PN轉(zhuǎn)化為正六邊形的邊長來證明.
證法2:如圖4,由PM∥AB,PN∥CD,六邊形ABCDEF是正六邊形,易知△AMG、△DHN和△PGH都是等邊三角形,四邊形ABPG和四邊形DCPH是平行四邊形,四邊形ABPM和四邊形DCPN是等腰梯形,AD=2a,AM+DN=BP+PC=a.
PM+PN=MG+PG+HN+PH=AM+AB+DN+CD=3a.
【思路分析3】如圖5,過B點作BG∥AM交PM于G,過C點作CH∥DN交PN于H,這樣可以把PG與PH的和直接轉(zhuǎn)化為BC,然后利用平行四邊形對邊相等把剩余兩段分別轉(zhuǎn)化為正六邊形的邊長.
圖5
證法3:過B點作BG∥AM交PM于G,過C點作CH∥DN交PH于N.
由PM∥AB,PN∥CD,六邊形ABCDEF是正六邊形,BG∥AM,CH∥DN,得△BPG、△CPH是等邊三角形,四邊形ABGM和四邊形DCHN是平行四邊形.
PM+PN=PG+MG+PH+HN=PB+AB+PC+CD=BC+2a= 3a.
【思路分析4】連接BE,利用兩個平行四邊形和一個等邊三角形,結(jié)合正六邊形的對角線等于邊長的2倍這一性質(zhì),把PM與PN的和轉(zhuǎn)化為邊長的3倍.
證法4:如圖6,連接BE(或CF)交PM于點G.
由PM∥AB,PN∥CD,六邊形ABCDEF是正六邊形,得△BPG是等邊三角形,四邊形ABGM和四邊形PGEN是平行四邊形,BE=2a.
PM+PN=PG+MG+GE=BG+AB+GE=AB+BE=3a.
【思路分析5】上述幾種方法是利用“截長法”來證明線段的和、差與倍分關(guān)系的,除此外還可以采用“補段法”來證明,即延長PM與PN.
證法5:如圖7,分別延長PM和PN,與EF和FE的延長線分別交于G和H.
由PM∥AB,PN∥CD,六邊形ABCDEF是正六邊形,易知△FMG、△EHN和△PGH都是等邊三角形,四邊形ABPM和四邊形DCPN是等腰梯形.
圖6
圖7
PM+PN=PG-MG+PH-NH=2GH-GF-HE=2(EF+GF+ HE)-GF-HE=2EF+(GF+EH)=2a+(GF+EH).
易知AM+DN=a.
GF+EH=MF+NE=AF+DE-AM-DN=2a-a=a.故PM+PN=3a.
再探討第二問的解法.
【思維導引】證明線段相等主要是通過三角形全等來證明,解決該題的關(guān)鍵是通過添加輔助線構(gòu)造出全等的三角形.
【思路分析1】由于圖中OM和ON所在的三角形顯然不全等,所以必須通過添作輔助線構(gòu)建全等的三角形,而垂線是常作的輔助線之一.
證法1:如圖8,過O點分別作OG⊥AF,OH⊥DE,垂足分別為G和H.
由六邊形ABCDEF是正六邊形,OG⊥AF,OH⊥DE,易知OG=OH,AG= DH=a.
圖8
圖9
則△OGM≌△OHN,故OM=ON.
【思路分析2】雖然圖中OM和ON所在的三角形不全等,但是若在圖中標上適當?shù)淖帜福偷玫接锌赡苋鹊娜切?,如圖9中的△MGO和△OHN.
證法2:如圖9,設(shè)PM、PN和AD分別交于點G和H.
易知△AGM和△DHN都是等邊三角形,所以∠MGO=∠OHN=120°.
由AM+DN=a,AG+GO=a,AM=AG,DN=HN,得GO= HN.
同理,MG=OH.
則△MGO≌△OHN,故OM=ON.
【思路分析3】平行線也是常作的輔助線之一.如圖10,連接BF,就有BF∥PN,這樣就構(gòu)建了可能全等的△AMO和△ENO.
圖10
證法3:如圖10,連接EB(或CF).
易知四邊形ABPM和四邊形EBPN都是等腰梯形,則AM=BP=EN.又AO=EO=a,∠MAO=∠NEO=60°,則△AMO≌△ENO,故OM=ON.
【思路分析4】點O既是正六邊形的外心,又是它的內(nèi)心,如果能夠把O點轉(zhuǎn)化為△PMN的外心,那么根據(jù)三角形外心的性質(zhì)同樣可以得到OM=ON.
證法4:如圖11,連接OP和MN,過O分別作線段AB和CD的垂線l1、l2.
由l1、l2分別垂直平分線段AB和CD,四邊形ABPM和四邊形DCPN都是等腰梯形,得l1、l2也分別垂直平分線段MP和NP,即O是△MPN的外心,則OM=ON.
圖11
【思維導引】四邊形OMGN是菱形.由于根據(jù)第二問已經(jīng)知道OM=ON,所以只要證明四邊形OMGN是平行四邊形即可.
【思路分析1】欲證明四邊形OMGN是菱形,已經(jīng)知道OM=ON,因此只要證明MG=ON即可(或證明OM=ON= MG=NG,利用四邊相等的四邊形是菱形得到證明).
解法1:如圖12,設(shè)PN交OD于H,連接EO.
由△AMO≌△ENO(圖10已經(jīng)證明),得∠MOA=∠NOE.又∠EOA= 120°,則∠MON=120°.
而OG平分∠MON,則∠MOG= 60°.
圖12
則∠MOA=∠GOF,又∠MAO=∠GFO,OA=OF,則△AMO≌△FGO,則AM=FG.
又AM=BP=OH,MF=PC=DN=NH,∠MFG=∠NHO= 120°,則△MFG≌△NHO,則MG=ON.
同理MO=GN.又MO=NO(已證),則四邊形OMGN是菱形.
【思路分析2】證明四邊形OMGN是平行四邊形,也可以根據(jù)已知120°的角,求出其他未知角的度數(shù),從而得到對角相等來證明.根據(jù)前面的證明不難知道圖13中有:△MFG≌△OKM≌△NHO≌△GEN.
解法2:如圖13,易得△MFG≌△OKM≌△NHO≌△GEN,則∠FMG=∠KOM.又∠KOM+∠KMO= 60°,則∠FMG+∠KMO=60°.
又∠AMK=60°,則∠GMO=60°.
同理,∠GNO=60°,∠MGN=∠MON=120°.
圖13
又OM=ON,則四邊形OMGN是菱形.
【思路分析3】證明四邊形OMGN是平行四邊形,也可以通過對角線互相平分來證明.
解法3:如圖14,連接MN.
由OM=ON(已證),OG平分∠MON,得OG垂直平分線段MN.
由MG=MO,MN垂直O(jiān)G,得MN平分線段OG.
圖14
則四邊形OMGN是菱形.
【思路分析4】證明一個四邊形是菱形,也可以利用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形是菱形這一性質(zhì)來證明.
解法4:如圖15,連接OE、OF.
圖15
由△AMO≌△ENO(圖10已證),得∠MOA=∠NOE.又∠EOA=120°,則∠MON=120°.
而OG平分∠MON,則∠MOG= 60°.
又∠FOA=60°,則∠MOA=∠GOF.又AO=FO,∠MAO=∠GFO=60°,則△MAO≌△GFO,故MO=GO,因此,△MGO為等邊三角形.
同理,可證△NGO也是等邊三角形,故四邊形OMGN是菱形.
縱觀上述中考試題可以看出,它是以正六邊形模型為載體,突出考查了動點定值問題和底角為60°的等腰梯形內(nèi)接菱形問題.如果改變載體平臺,將正六邊形設(shè)計為其他的特殊圖形,并將原有條件做適當調(diào)整,那么又會產(chǎn)生哪些結(jié)論呢?
1.關(guān)于正三角形
如圖16,正三角形ABC的邊長為a,P是BC邊上一動點,過P作PM∥AC交AB于點M,作PN∥AB交AC于點N.
(1)思考:PM+PN的值是否變化?如果不變,則是多少?
(2)如圖17,點O是△ABC的中心,連接OM、ON.試問:OM和ON相等嗎?
圖16
圖17
參考答案:(1)PM+PN=AB=a.
(2)OM=ON.
2.關(guān)于等腰梯形
(1)動點定值問題.
如圖18,等腰梯形ABCD的對角線長為b,過下底BC上一點P作PM∥AC,PN∥BD,分別交兩腰AB、DC于點M、N,則PM+PN的值是多少?
圖18
參考答案:PM+PN=b.
(2)內(nèi)接菱形問題.
①順次連接等腰梯形各邊中點所圍成的四邊形是菱形嗎?
參考答案:是菱形.
②如圖19,已知M、N分別是等腰梯形的兩腰AB、CD上的點,且BM= DN,作線段MN的垂直平分線分別交兩底AD和BC于點E和F,判斷四邊形MFNE是否為特殊四邊形,并說明理由.
圖19
參考答案:四邊形MFNE是菱形.
3.關(guān)于正五邊形
如圖20,已知正五邊形ABCDE的邊長為a,P是CD上的一點,PM∥CB,PN∥DE,試探究PM+PN的值是多少.
圖20
深入研究上述中考題,我們會發(fā)現(xiàn)其中蘊含著許多數(shù)學思想方法.提煉這些方法,對我們解決各種類型的壓軸題有一定的指導作用.
1.動點定值問題的探究方法
動點定值問題是近年來中考命題熱點,更成為大部分學生學習的困擾.這類題型不僅考查學生對基礎(chǔ)知識和技能的理解和掌握,對基本數(shù)學思想的領(lǐng)悟,更能間接而有效地體現(xiàn)學生數(shù)學思維的廣度與深度.常見的定值問題有:線段定值、角度定值、面積定值、周長定值等.這類問題中,有時直接給出定值是何值,讓我們?nèi)フ撟C結(jié)論的正確性,但有時候卻沒有給出定值具體是何值,而是隱含在題設(shè)中,要我們自己去探討,這是解決這類題的關(guān)鍵.而將動點位置特殊化是探究定值的一種有效辦法.
2.線段相等關(guān)系的證明方法
證明線段相等關(guān)系的方法很多,主要有四種:(1)把要證的兩條線段放在兩個三角形中,利用全等三角形對應邊相等來證明;(2)把要證的兩條線段放在兩個三角形中,利用相似三角形對應邊成比例得到,從而證出a=b;(3)把要證的兩條線段放在同一個三角形中,利用等角對等邊來證明;(4)利用等式的性質(zhì),先證a=c,再證b=c,從而得到a=b.
3.線段的和、差與倍分關(guān)系的證明方法
證明線段的和、差與倍分關(guān)系,通常采用“截長法”或“補短法”,有時還會通過添加輔助線將要證的線段分解,逐步轉(zhuǎn)化到一條已知線段上,從而完成倍分關(guān)系的證明.
4.特殊四邊形的證明方法
欲想證明四邊形為某種特殊四邊形,首先要了解各種特殊四邊形的從屬關(guān)系,即:
如果要證明某四邊形是菱形,除了直接運用菱形的判定方法外(上述中考題第三問的證法1和證法4),也可以首先證明四邊形是平行四邊形,然后證一組鄰邊相等或證明對角線互相垂直即可(上述中考題的證法2和證法3).
總之,中考數(shù)學壓軸題具有立意新穎,知識點涵蓋豐富,解題能力要求高,凸顯數(shù)學思想方法,區(qū)分層次和選拔的作用,它是中考數(shù)學試題的精華部分.認真研究這樣的中考試題,能夠幫助學生克服畏難情緒,提升應試水平.