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        從激活到升華:積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的基本路徑*
        ——探索三角形相似的條件(3)教學(xué)片斷賞析與思考

        2015-05-13 07:09:24江蘇省泰州市教育局教研室錢德春
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年6期
        關(guān)鍵詞:升華三角形經(jīng)驗

        ☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

        ☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué) 石建華

        從激活到升華:積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的基本路徑*
        ——探索三角形相似的條件(3)教學(xué)片斷賞析與思考

        ☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

        ☉江蘇省泰州市姜堰區(qū)實驗初級中學(xué) 石建華

        《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)·數(shù)學(xué)》(2011年版)[1](以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)指出:“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀,是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的.”江蘇省“十二五”重點規(guī)劃資助課題《基于積累初中生“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”的教學(xué)設(shè)計研究》正是從積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的視角來研究課堂教學(xué)的基本路徑,將初中數(shù)學(xué)課堂分為經(jīng)驗激活、經(jīng)驗積累、經(jīng)驗遷移與經(jīng)驗升華等活動經(jīng)驗的四個層次.那么,基于積累初中生“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”的教學(xué)設(shè)計有何特征、四個層次相互關(guān)系如何、對課堂教學(xué)有何意義,本文以蘇科版義務(wù)教育實驗教科書·數(shù)學(xué)八年級(下)[2]第十章第4節(jié)“探索三角形相似的條件(3)”為例,結(jié)合課堂教學(xué)路徑的探微與賞析,談?wù)劰P者的幾點思考.

        一、基于積累活動經(jīng)驗的教學(xué)路徑探微

        這是2013年泰州市教育局組織的“名師送教下鄉(xiāng)”活動中的一節(jié)觀摩課,教者根據(jù)活動經(jīng)驗的四個板塊設(shè)計并實施課堂教學(xué).

        1.經(jīng)驗激活

        教學(xué)片斷1如下所示.

        師:同學(xué)們,今天我們繼續(xù)來探索三角形相似的條件.(板書課題:探索三角形相似的條件(3))

        師:老師這里有幾個問題,同學(xué)們有興趣和膽量來挑戰(zhàn)嗎?

        生(異口同聲):有.

        師:問題1:如圖1,在△ABC中,點M、N分別是AB、AC的中點,連接MN.△AMN與△ABC相似嗎?為什么?

        圖1

        生1:因為MN是△ABC的中位線,所以MN∥BC,根據(jù)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似,可知△AMN∽△ABC.

        生3:因為MN是△ABC的中位線,所以MN∥BC,所以∠AMN=∠B,而∠A為公共角,根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似,可知△AMN∽△ABC.

        師:剛才3位同學(xué)不僅找到了證明思路,而且還清晰、完整地表達(dá)出來了,很好!上面的3種思路實際上是我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“說明三角形相似”的3種條件,誰再說一遍?

        生4:(略).

        【賞析】通過一個簡單問題的解決,激活學(xué)生已有認(rèn)知經(jīng)驗,為積累更高層次的活動經(jīng)驗奠定基礎(chǔ).本節(jié)課之前學(xué)生已有了說明三角形相似的經(jīng)驗(方法):①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或延長線)所得的三角形與原三角形相似;②有兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似;③兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.本節(jié)課的核心知識是三角形相似的條件(3):“三邊成比例的兩個三角形相似”,教師設(shè)計了問題1,并通過一題多證的活動,旨在激活學(xué)生已有的經(jīng)驗,為探究新知作鋪墊.

        2.經(jīng)驗積累

        教學(xué)片斷2如下所示.

        師:△ABC與△AMN三邊之間存在什么關(guān)系?對應(yīng)邊的比值是多少?

        生5:△AMN≌△DEF.

        師:能說明理由嗎?

        圖2

        師:你的說理很到位,那么△ABC與△DEF之間又是什么關(guān)系呢?

        生5:相似,因為△AMN≌△DEF,△AMN∽△ABC,從而△ABC∽△DEF.

        師:在說明△ABC與△DEF相似的過程中,你認(rèn)為哪一步至關(guān)重要?

        生5:找出△AMN,因為這個三角形既與△ABC相似,又與△DEF全等.

        師:對,△AMN既與△ABC相似,又與△DEF全等,它相當(dāng)于是一座橋梁,溝通了△ABC與△DEF的關(guān)系.

        【賞析】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個不斷積累新經(jīng)驗的活動過程,“多次經(jīng)歷類似的數(shù)學(xué)活動,學(xué)生就會將在前一活動中獲得的經(jīng)驗運用于新活動中,‘還原’前一活動經(jīng)驗于新活動中的數(shù)學(xué)對象……獲得進(jìn)一步的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.”[3]“經(jīng)驗積累”過程是提出并解決新問題、積累新經(jīng)驗的過程.“有效利用學(xué)生已有的經(jīng)驗,展開課堂教學(xué),提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,可以滋長新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗.”[4]這個板塊中,首先由“問題1”的結(jié)論得到“兩個相似三角形三對應(yīng)邊的比都為2”,進(jìn)而提出逆命題自然而然引出“問題2”,然后將三角形相似的判定方法1、2的證明思路(將問題轉(zhuǎn)化為△ABC與△AMN相似、△DEF與△AMN全等)運用于“問題2”的解決.教師從特殊位置入手,通過搭建腳手架,讓學(xué)生拾階而上,強(qiáng)化了已有經(jīng)驗的積累,并為新經(jīng)驗的形成做好準(zhǔn)備.

        3.經(jīng)驗遷移

        圖3

        教學(xué)片斷3如下所示.

        師:回答得太好了,你是如何想到的呢?

        生7:是由“點M、N分別是AB、AC的中點”情形的證明過程得到啟發(fā),也是找到了一個橋梁△AMN,先證明△ABC∽△AMN,再證明△AMN≌△DEF,從而得到△ABC∽△DEF.

        師:這種思維方式很好!當(dāng)我們直接證明△ABC∽△DEF困難時,想到借鑒“問題2”的思路,即建立橋梁溝通△ABC與△DEF的關(guān)系,就是把要解決的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題,這其實就是方法的遷移.

        【賞析】遷移能力是一種重要的創(chuàng)新能力.“第一次數(shù)學(xué)活動中獲得原初經(jīng)驗;第二次遇到相同情景時,經(jīng)驗再現(xiàn),稱為再生經(jīng)驗;再次遇到類似情景時,遷移運用先前經(jīng)驗,產(chǎn)生再認(rèn)識經(jīng)驗;在形式不同、本質(zhì)一樣的新情況下,按照‘模式’重復(fù)運用這種經(jīng)驗時,這種經(jīng)驗就成為概括性經(jīng)驗.”[5]這個過程中,學(xué)生在教師引領(lǐng)、同伴互助、研討交流活動中,運用類比的方法將解決“問題2”的活動經(jīng)驗成功地遷移到“問題3”的解決中,并自主地完成思路分析與說理過程.這個過程就是“經(jīng)驗遷移”過程.

        4.經(jīng)驗升華

        教學(xué)片斷4如下所示.

        圖4

        生眾:相似.

        師:由此我們可以大膽地猜想出說明三角形相似的又一種方法.誰仿照三角形相似的條件(1)、(2)描述一下?

        生8:如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個三角形相似.

        師:大家先獨立思考一下,再請同學(xué)們說說自己的想法.(學(xué)生自主思考3分鐘)

        生9:老師,感覺這個問題無從下手.

        師:為什么會有這種感覺?

        生9:因為這個圖和剛才的圖不一樣.

        師:不一樣在何處?

        生9:剛才的圖中都有△AMN,而這個圖中沒有.

        師:非常好.

        生9(莫名其妙):老師,我還沒回答出問題,你怎么還夸我非常好?。?/p>

        師:你能找出圖形間的差異,而這個差異恰恰就是解決問題的關(guān)鍵,當(dāng)然要表揚你!

        (生9摸了摸頭,憨厚地笑了)

        師:你能不能想出什么辦法讓這個圖與前面的圖類似呢?

        生9:構(gòu)造出△AMN.

        師:如何構(gòu)造呢?

        生9:分別在邊AB、AC上截取AM=DE,AN=DF,連接MN,這樣就出現(xiàn)了△AMN.

        師:太棒了!有了△AMN后,我們又該怎么辦呢?

        生9:和前面的方法類似,先說明△AMN與△ABC是相似的,再說明△AMN與△DEF是全等的,這樣就可以知道△ABC與△DEF是相似的.

        師:又該如何來說明△AMN與△DEF是全等的呢?

        【賞析】“概括性經(jīng)驗在多次調(diào)用、反思后才能內(nèi)化為經(jīng)驗圖式.”[4]從這個教學(xué)片斷看出,由“問題3”到“問題4”,提出了更一般化的結(jié)論和猜想.有了前面的經(jīng)驗激活、積累與遷移過程,“問題4”的證明水到渠成,數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗也得到了升華.經(jīng)驗有時可能只是淺表的、直覺的、不穩(wěn)定的,有時只能意會卻難以言表.教師的作用就在于通過恰到好處的追問、點撥、提煉,引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗升華為數(shù)學(xué)的方法、策略和思想.

        二、基于積累活動經(jīng)驗的課堂教學(xué)思考

        1.從激活到升華是經(jīng)驗積累的基本路徑

        激活、積累、遷移、升華是基于積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的初中數(shù)學(xué)課堂的基本特征與教學(xué)路徑.“經(jīng)驗激活”環(huán)節(jié)就是從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā),通過設(shè)計恰當(dāng)?shù)膯栴}(或情境),喚起與激活學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗,為進(jìn)一步積累新經(jīng)驗、探究新知識作好鋪墊;“經(jīng)驗積累”即在解決原有問題基礎(chǔ)上自然生成新問題,并通過搭建腳手架,讓學(xué)生拾階而上,在解決問題過程中積累新的經(jīng)驗;“經(jīng)驗遷移”環(huán)節(jié)則是學(xué)生通過教師引領(lǐng)、同伴互助的學(xué)習(xí)方式將已有的活動經(jīng)驗用類比、轉(zhuǎn)化的方法遷移到新的數(shù)學(xué)問題的解決之中,這個過程的主要特點是同化與順應(yīng);“經(jīng)驗升華”是課堂教學(xué)的關(guān)鍵,是將學(xué)生的感受、體驗和感悟升華為數(shù)學(xué)的方法、策略、思想和思維習(xí)慣.四個層次的板塊都以活動為載體.經(jīng)驗與活動緊密相連,活動是經(jīng)驗的源泉,經(jīng)驗在活動中獲得,也在活動中發(fā)展.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗既是教學(xué)目標(biāo)也是教學(xué)內(nèi)容,既是學(xué)習(xí)過程也是學(xué)習(xí)結(jié)果.

        2.從感性到理性是經(jīng)驗積累的必然選擇

        “經(jīng)驗是個體在認(rèn)識事物、解決問題等活動過程中獲得的關(guān)于對象的觀點、看法、做法等.從學(xué)生認(rèn)知的角度,經(jīng)驗是個體獲得知識、方法之前必然面對的事物”[6],數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是指“在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下,通過對具體事物進(jìn)行實際操作、考察和思考,從感性向理性飛躍時所形成的認(rèn)識.”[7]數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的激活、積累、遷移與升華的過程是逐層遞進(jìn)、有時還是交替提升的過程,這個過程以知識生成為線索,以數(shù)學(xué)的方法提煉、思想滲透、思維發(fā)展、情感升華為目標(biāo),只有經(jīng)過組織和內(nèi)化,才能把感性的經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為理性的知識(這里的知識是廣義的),即“將活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)能力,最終獲得極具個性特征的感性認(rèn)識、情感體驗、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).”[8]因此,數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗最終要實現(xiàn)三個方面的升華:一是將淺表層面的經(jīng)驗升華為本質(zhì)的經(jīng)驗;二是將特殊(個體)的經(jīng)驗升華為一般(普遍)的經(jīng)驗;三是將感性(會意、直觀)的經(jīng)驗升華為理性(演繹、表征)的經(jīng)驗.我們熟悉的“七橋問題”,哥尼斯堡的民眾通過若干實驗都沒能解決,而歐拉敏銳洞察到該問題與所走過的路程長度無關(guān),把七座橋抽象為七條線,從而將問題抽象為一筆畫問題得到解決.這正是歐拉將淺表的、感性的經(jīng)驗升華為本質(zhì)的理性經(jīng)驗的結(jié)果.

        3.從“支架”到“放手”是經(jīng)驗積累的教學(xué)方略

        立足課堂活動并獲得經(jīng)驗的遷移與升華,是基于積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的初中數(shù)學(xué)課堂的顯著特征.“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是建立在經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的一個自我再創(chuàng)造(或創(chuàng)新構(gòu)造)過程.在這一過程中,學(xué)生通過多樣化的活動,不斷獲得、積累經(jīng)驗,分析、理解、反思經(jīng)驗,從而獲得發(fā)展.”[9]由探索初期的“經(jīng)驗激活”到“經(jīng)驗積累與遷移”,教師通過建立“腳手架”,適時點撥和提示,引導(dǎo)學(xué)生逐步攀升,讓學(xué)生嘗試自己發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題,提煉數(shù)學(xué)思想、方法和策略,實現(xiàn)“經(jīng)驗升華”,充分體現(xiàn)了課堂“收”“放”的教學(xué)方略.這個過程中,教師對學(xué)生在知識構(gòu)建過程中的“支架式”幫助是不可或缺的,這是“收”的策略;隨著教學(xué)活動的逐步深入,教師所提供的支架自然撤去,教師的“幫助”逐漸弱化,讓位于學(xué)生的自主活動,還給學(xué)生自由發(fā)揮的空間,讓學(xué)生獨立分析和解決問題,這是“放”的藝術(shù).一“收”一“放”之間,體現(xiàn)了教師的教學(xué)智慧.

        4.自上而下結(jié)構(gòu)是經(jīng)驗積累的思維指向

        思維是數(shù)學(xué)的體操,數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累最終要指向思維.本節(jié)課以學(xué)生已有的經(jīng)驗為起點,通過搭建腳手架,讓學(xué)生拾階而上,在解決問題過程中積累、遷移并升華新經(jīng)驗,這是一種自下而上、由易到難、逐步生成的教學(xué)方法.需要指出兩點:一是學(xué)生不明白為什么要研究這些問題,即學(xué)習(xí)的價值何在,只是沿著教師預(yù)設(shè)好的路徑前行.事實上,“學(xué)生只有在感受到新異、沖突和不足時,才會產(chǎn)生一種認(rèn)知和情感方面的需要.”[3]二是“拾階而上”的方法缺少挑戰(zhàn)性,不利于創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng).修改后的“課程標(biāo)準(zhǔn)”將原課程標(biāo)準(zhǔn)的課程目標(biāo)之一的“解決問題”變?yōu)椤皢栴}解決”,在“分析問題、解決問題”之前增加了“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”,正是著眼于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).基于此,在“經(jīng)驗激活”環(huán)節(jié),可以先啟發(fā)學(xué)生提出富有挑戰(zhàn)性的問題(或情境),引起學(xué)生的憤悱與困惑,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生思考,這種自上而下的問題結(jié)構(gòu)直指數(shù)學(xué)思維.本節(jié)課問題引入部分可設(shè)計如下問題鏈.

        (1)前面我們學(xué)過的三角形相似的條件有哪些?

        (2)三角形相似的條件(1)、(2)分別是怎樣得到的?對應(yīng)于三角形全等的哪個定理?

        (3)三角形全等的判定還有什么?

        (4)你能類比三角形全等的“SSS”判定方法,提出三角形相似判定的新命題嗎?

        (5)你提出的命題正確嗎?

        問題提出之后,繼續(xù)沿著從經(jīng)驗激活到升華的路徑前行,當(dāng)學(xué)生力所不能為時,可以逐步將問題分解、后退,直至學(xué)生思維能及之處,這種設(shè)計契合了課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的理念,強(qiáng)化了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的思維指向.

        1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

        2.楊裕前,董林偉.義務(wù)教育實驗教科書·數(shù)學(xué)[M].南京:江蘇科技出版社,2012.

        3.仲秀英.促進(jìn)學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2010(10).

        4.汪佃才.“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”來自數(shù)學(xué)活動[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2014(5).

        5.仲秀英.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗研究[D].重慶:西南大學(xué)數(shù)學(xué)系,2008.

        6.馬復(fù).關(guān)于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的教學(xué)認(rèn)識[J].中國數(shù)學(xué)教育,2011(10).

        7.徐斌艷.面向基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2011(2).

        8.蔡衛(wèi)兵.轉(zhuǎn)化引領(lǐng)割補搭橋相似突破——品悟勾股定理證明的合理思維與自然證法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2014(5).

        9.黃翔,童莉.獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗應(yīng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)關(guān)注的目標(biāo)[J].課程·教材·教法,2008(1).

        *此文系江蘇省重點資助規(guī)劃課題《基于積累初中生“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”的教學(xué)設(shè)計研究》(批準(zhǔn)號E-a/2011/07)的研究成果.

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