☉上海市嘉定區(qū)婁塘學校 朱文娟

教學參謀

基于師生思維差異的課堂觀察與反思

☉上海市嘉定區(qū)婁塘學校 朱文娟

一、問題背景與觀測方法

背景：總感覺課堂上的有些教學行為不是十分有效，總感覺有些課堂上教師的教不符合學生此刻的學習需要，總感覺教師的教與學生的學之間存在著一些距離，總感覺師生的思維存在著諸多差異，而這些差異恰恰被廣大教師所忽視.

于是，想借助具體的一些題目、具體的課，觀察師生之間的思維差異.

題目：如圖1，BA⊥MN，A點是垂足，AB=4，P是直線MN上的一個動點，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過點C作CD⊥MN，D點是垂足.設AP=x，PC=y.

圖1

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出定義域.

（2）線段CD的長是否會隨著x的變化而變化？若變化，請用含x的代數式表示線段CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度.

（3）當△PDC與△PBA相似時，求x的值.觀察方法：

二、教學者的思維發(fā)生與發(fā)展過程

剛看到題目時，筆者的第一直覺是線段CD的長會隨著x的變化而變化，恰如第一問中的y與x之間的函數關系式y(tǒng)=（可利用△PCB∽△PBA求得），于是筆者開始思考如何用含x的代數式表示CD的長度.

緊張地思考了3分鐘左右，當發(fā)現沒有辦法找到CD的長度與x之間的函數關系式的時候，筆者開始反思這個直覺：CD的長度會不會是一個固定的值？

再次讀題，筆者感覺CD的長度應該是一個定值，從而開始思考如何找到這個定值.

假如CD的長度是一個定值，那么當∠APB=60°或者當∠APB=30°時，CD的長度應該一樣.

圖2

圖3

此刻，筆者已經確認CD的長度就是一個定值，而且這個定值就是8.

至此，筆者已深信不疑：CD的長度就是一個定值，這個定值就是8.

可是該如何運用推理的方法來說明CD的長度不隨x的變化而變化呢？

筆者先后找到了下面五種方法.

方法1：過點B作BE⊥CD，垂足為E，BE交CP于F，則四邊形BADE是矩形（如圖4）.

圖4

CD=DE+CE=AB+CE=4+4=8.

總感覺方法1有些煩瑣，于是想尋找更好的方法.

CD=DE+CE=AB+CE=8.

還有沒有其他的方法？筆者繼續(xù)反思、努力尋找，又發(fā)現了三種方法.

方法3：∠CBE=∠PBA=∠PCB，于是可設∠CBE=∠PBA=∠PCB=α.

方法4：作輔助線（如圖4）.

由∠CBE=∠PCB，得CF=BF.

又∠FBP+∠CBF=90°，∠FPB+∠PCB=90°，則∠FBP=∠FPB，則BF=FP.

則CF=FP.

則CE=DE=AB=4.

方法5：如圖5，過點C作CE⊥AB，交AB的延長線于點E，過點B作BF⊥PC交PC于點F，得四邊形ADCE是矩形，∠EBC=∠BPA=∠BPF，∠BCE=∠PBA=∠PBF=∠PCB.

由∠BPA=∠BPF，BA⊥AP，BF⊥PC，知BF=BA.

同理BF=BE.

則BE=BF=AB=4.

則CD=AE=8.

圖5

三、走進課堂之后的嘗試與部分學生的思維概述

1.在一個平行班上記錄的部分數據

上課3分鐘后，教師開始詢問第一問中的函數關系式.發(fā)現：約有的學生在三分鐘的時間內，精力沒有集中到題目上.

上課6分鐘后，發(fā)現約有15%的同學認為線段CD的長度會隨著x的變化而變化；43%的同學認為CD的長度不變；42%的同學尚在迷惘困惑中，不知道“變”還是“不變”.

生1：老師，要不要加輔助線？

師：我認為當前的主要問題不是要不要加輔助線，而是首先判斷CD的長度會不會隨x的變化而變化.假如你認為CD的長度隨x的變化而變化，那么請努力尋找CD的長度與x之間的函數關系式；假如你認為CD的長度不隨x的變化而變化，那么你有沒有辦法知道CD的長度是多少呢？

在發(fā)現學生尚沒有領會教師的意圖時，教師進一步提示學生：在解決與動點有關的問題、解決與定值有關的問題時，運用從特殊到一般的思想方法分析問題，時常有效.比如，我們可以從幾種特殊情況開始考慮，如∠APB=60°、∠APB=30°時.

生2：這樣也可以算證明嗎？

師：這樣不可以算證明，但這樣嘗試能夠幫助我們解決CD的長度會不會隨x的變化而變化的問題.

上課第10分鐘，學生L發(fā)現了與方法1類似的方法（限于篇幅，不再具體將這個方法單列，統(tǒng)一使用方法1表示師生雙方此刻的思考結果）.

師：很好，看來我們的思路還是有某些共同之處的，老師想到的第一個方法也是這個，只不過我在發(fā)現這個方法之后即感覺這個方法有點繁，于是我試圖改進這個方法，再后來，我就連續(xù)發(fā)現了四種方法.同學們可以繼續(xù)尋找新方法，也可以考慮改進這個方法，少部分同學也可以在練習本上整理這個方法.

上課第20分鐘時，學生Z發(fā)現了方法4.

教師表揚了學生Z，并鼓勵大家繼續(xù)思考，隨后，這節(jié)課上也出現了幾個有價值的思考，但教師也發(fā)現部分同學的注意力已經開始分散.于是教師只好收回嘗試，引導全班學生集中思考教師發(fā)現的其他方法.

2.在一個特長班上記錄的部分數據

與平行班類似，開始的前三分鐘效率依然不是很高，盡管這是一個特長班.

上課第6分鐘的時候，發(fā)現：約有30%的同學認為CD的長度隨x的變化而變化，其中有兩位同學居然肯定地回答：變！一定變！

只有20%左右的同學認為“不變”，其余的同學也是在“變”與“不變”之中彷徨，不知道是“變”還是“不變”，也缺乏從特殊到一般的思考問題的方法.

與平行班一樣，教師進行了類似的提示.

意外的是，在這個班上生成的第一個方法居然是我們沒有想到的方法（記為方法6）.

方法6：延長CB交直線MN于點M（如圖6）.

圖6

易證∠AMB=∠ABP=∠PCB.

又PB⊥CM，則CB=MB.

則CD=2AB=8.

相對于前面所找到的幾種解題方法，方法6的簡潔與巧妙，令人折服.教師發(fā)自內心地贊美了這種方法，表揚了這個學生.畢竟是特長班，在教師表揚的聲音尚未散盡的時候，方法4與方法5先后在這個班上生成.

更令人驚喜地是，學生J又提出了方法7.

圖7

又四邊形ADCE是矩形，則CD=AE=8.

大約在第20分鐘的時候，這個班上才出現類似方法1的方法，因為同學們的方法相對簡潔，所以將其稱為方法8.

方法8：作輔助線（如圖4）.

在這個過程中，同學們又先后在上述輔助線的基礎上，添加若干輔助線，提出了利用全等三角形證明問題的方法（本文不再介紹）.

四、基于師生思維差異的比較與思考

1.教師與學生之間的思維存在著諸多差異，扎實的“雙基”未必一定催生優(yōu)秀的思維方式

教師的“雙基”絕對要比任何一位同學都要扎實，但是扎實的“雙基”未必就一定能夠生成優(yōu)秀的思維方式.相對于這兩個班級的學生，我們發(fā)現教師的解題能力穩(wěn)居80%的學生之上，但是位于部分數學優(yōu)秀生之下.

由此想到，習題教學，未必需要先講老師備課時設計好的方法，應該先讓學生充分嘗試，即使在這個班上沒有生成預設之外的方法，那么更多的學生也一定能夠在親歷或欣賞他人思考的過程中，收獲更多預設之外的東西.

2.教師擅長反思，善于運用多種方法解決問題；學生側重于多做幾個題目，不善于反思，缺乏尋找多種方法解決問題的意識

整體分析這兩個班級的學生情況，感覺90%以上的學生都不善于主動反思、監(jiān)控自己的思維過程，他們滿足于找到解決問題的方法.就在筆者與多數同學沉浸于發(fā)現的喜悅中的時候，筆者發(fā)現也有個別同學沒有參與其中，而是忙于思考后面的問題.

3.需要進一步引導學生明確解題的目的

會解答某個題目不是目的，我們的目的是借助這個解決問題的過程，完善我們的思維方式，優(yōu)化我們的思維方式，即使達不到優(yōu)化思維、改善思維的方式，至少也應該嘗試從不同的角度思考問題，嘗試尋找運用不同的方法解決問題.

4.欲減輕學生過重的課業(yè)負擔，必須走出純知識立意的教學環(huán)境

學生的課業(yè)負擔仍然過重，師生雙方均沉淪在題海、試卷、教輔之中，這依然是不爭的事實.本文中的個別學生不愿意將時間投入到多種方法的探究過程中，而寧愿利用這個時間多解答幾個題目，就可以從側面說明問題.

作為一名有理想的數學教師，必須要勇敢地從純知識立意的教學環(huán)境中走出來，走進思維教學的層面，走進能力立意、人本立意的教學空間，研究學生的思維狀態(tài).

如何研究學生的思維狀態(tài)？

不妨從最初思考、思維變化、最終思考著手調查！

可以統(tǒng)計依據最初思考（即直覺）就可解決問題的同學，恰當地鼓勵這些同學；幫助因通過最初思考無法解決問題而思路受阻的同學走出困境，引導他們換一個視角審視問題；引導全體同學回顧整體解題分析過程，并經梳理形成最終的思考，力爭借助某種愉悅的情感體驗將這個最終思考凝聚生成新的情境.假如此刻，我們能夠在學生臉上尋覓到若有所悟或恍然大悟的神態(tài)，那么我們此刻的“教”，或許才可以真正稱得上有效！

5.教學相長，只有生成于容納教學相長的環(huán)境中，生成于教師勇于向學生袒露真實思維的教學環(huán)境之中，生成于能夠容“變”、順“變”的非線性執(zhí)行預設的教學流程中

與學生一起解答一個大家都未曾思考的題目，讓學生能夠零距離地看到成功的解題思考固然很重要，讓學生能夠真實地看到諸多未能解決問題的真實思考更重要！即使是讓學生偶爾看到老師的窘態(tài)，也不是什么大事.

善于向學生學習，真正樹立為學生的學習服務的意識，教學相長，或許才能夠真正呈現于你、我、他、大家身上.