祖啟航，朱建青，張毅

(1.蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

一類非自治Birkhoff系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示

祖啟航1，朱建青1，張毅2*

(1.蘇州科技學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011)

研究非自治Birkhoff系統(tǒng)階α=2的分?jǐn)?shù)維梯度表示.首先,給出非自治Birkhoff系統(tǒng)和非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)成為梯度系統(tǒng)的條件.其次，給出非自治Birkhoff系統(tǒng)和非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)成為階α=2的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)的條件，并給出梯度系統(tǒng)勢函數(shù)V的表達(dá)式.最后，舉例說明結(jié)果的應(yīng)用.

非自治Birkhoff系統(tǒng)；非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)；梯度系統(tǒng)；分?jǐn)?shù)維

1 非自治Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示

非自治Birkhoff方程表示為[12]

(1)

其中B=B(a,t)為Birkhoff函數(shù)，Rμ=Rμ(a,t) 為Birkhoff函數(shù)組.如果Birkhoff函數(shù)B和Birkhoff函數(shù)組Rμ都顯含時間t，則稱為非自治的.

假設(shè)系統(tǒng)非奇異，則方程(1)可表為

(2)

一般來說，非自治Birkhoff系統(tǒng)不是一個梯度系統(tǒng).

如果滿足條件

(3)

以及

(4)

則方程(2)是一個梯度系統(tǒng).此時，可找到勢函數(shù)V=V(a)，使得

(5)

2 非自治Birkhoff系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示

非自治Birkhoff系統(tǒng)(2)一般不是一個分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng).如果滿足條件

(6)

以及

(7)

則它是一個階α=2的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng).

對滿足條件(6)和(7)的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)，可以找到勢函數(shù)V，使得

(8)

例1 某二階Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組為

陳橋驛先生正式發(fā)表的地名學(xué)論文成果卓越，名文迭出，除了上述所舉論文之外，還有：《地名學(xué)與地理教學(xué)》(《地理教學(xué)參考》1980年5月)、《論浙江省的方言地名》(《浙江學(xué)刊》1983年2期)、《浙江省縣(市)名簡考》(《中國歷史地理論叢》1985年1期)、《論地名重合》《論地名重合(續(xù))》(《中國地名》1991年1期、3期)、《中國的非漢語地名——以〈水經(jīng)注〉記載為例》(《中國方域》1993年3期)、《論中國的非漢語地名》《論中國的非漢語地名(續(xù))》(《中國地名》1998年3期、4期)、《中國古代的地名研究》《中國古代的地名研究(續(xù))》(《中國地名》2000年5期、6期)。

B=a1a2et,R1=a2et,R2=a2et

(9)

這是一個非自治Birkhoff系統(tǒng).

由式(9)得

(10)

方程(2)給出

(11)

現(xiàn)考察系統(tǒng)(9)是否為梯度系統(tǒng).當(dāng)μ=1,ρ=2時，代入式(3)和式(4)

式(3)左端和右端分別為

(12)

(3)式不成立，則系統(tǒng)(9)不是梯度系統(tǒng).

與此同時，容易驗(yàn)證式(6)和式(7)成立，則系統(tǒng)(9)是一個階α=2的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng).由此得到勢函數(shù)

(13)

3 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示

廣義Birkhoff系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為[13]

(14)

如果Birkhoff函數(shù)B，Birkhoff函數(shù)組Rμ以及附加項Λμ都顯含時間t，則稱為非自治的.

(15)

一般而言，非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)也不是一個梯度系統(tǒng).

如果滿足條件

(16)

以及

(17)

則方程(15)是一個梯度系統(tǒng).此時，可以找到勢函數(shù)V=V(a)，使得

(18)

4 非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)維梯度表示

非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)(15)一般不是一個分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng).如果滿足條件

(19)

以及

(20)

則它是一個階α=2的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng).

對滿足條件(19)和(20)的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)，可以找到勢函數(shù)V，使得

(21)

例2 某二階Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組為

B=a1a2+t2,R1=a1t2+a2,R2=2a1+a2t2

(22)

附加項為

Λ1=2a1t+a1,Λ2=2a2t

(23)

這是一個非自治廣義Birkhoff系統(tǒng).

由式(22)得

(24)

由方程(15)給出

(25)

當(dāng)μ=1,ρ=2時，代入式(16)和式(17).式(16)左端和右端分別為

(26)

(16)式不成立，則系統(tǒng)(22)(23)不是梯度系統(tǒng).

與此同時,容易驗(yàn)證式(19)和式(20)成立，則系統(tǒng)(22)(23)是一個階α=2的分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng).由此得到勢函數(shù)

(27)

5 結(jié) 論

本文通過非自治Birkhoff系統(tǒng)和非自治廣義Birkhoff系統(tǒng)成為通常梯度系統(tǒng)的條件，給出其成為二階梯度系統(tǒng)的條件.可將文中的勢函數(shù)做為Lyapunov函數(shù)來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[10]將分?jǐn)?shù)維梯度系統(tǒng)稱為廣義梯度系統(tǒng)，本文也是對廣義梯度系統(tǒng)的進(jìn)一步拓展.

[1]TarasovVE.Fractionaldynamics[M].Beijing:HigherEducationPress,2010.

[2]ZhouS,FuJL,LiuYS.Lagrangeequationsofnonholonomicsystemswithfractionalderivatives[J].ChinesePhysicsB,2010,19(12):120301.

[3]梅鳳翔.關(guān)于梯度系統(tǒng)[J].力學(xué)與實(shí)踐,2012, 34(1)：89-90.

[4]梅鳳翔, 吳惠彬.一階Lagrange系統(tǒng)的梯度表示[J].物理學(xué)報, 2013, 62(21)：214501.

[5]梅鳳翔, 吳惠彬.廣義Hamilton系統(tǒng)與梯度系統(tǒng)[J].中國科學(xué):物理學(xué) 力學(xué) 天文學(xué), 2013, 43(4)：538-540.

[6]梅鳳翔, 李彥敏.弱非完整系統(tǒng)的梯度表示和分?jǐn)?shù)維梯度表示[J].商丘師范學(xué)院學(xué)報, 2011, 27(9)：1-3

[7]梅鳳翔, 吳惠彬.廣義Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示[J].動力學(xué)與控制學(xué)報, 2012,10(4):289-292.

[8]MeiFX,WuHB.BifurcationforthegeneralizedBirkhoffiansystem[J].ChinesePhysicsB, 2015, 24(5)：054501.

[9]梅鳳翔, 吳惠彬.廣義Birkhoff系統(tǒng)與一類組合梯度系統(tǒng)[J].物理學(xué)報, 2015,64(18):184501.

[10]梅鳳翔, 崔金超, 吳惠彬.Birkhoff系統(tǒng)的梯度表示和分?jǐn)?shù)維梯度表示[J].北京理工大學(xué)學(xué)報,2012,32(12):1298-1300.

[11]樓智美, 梅鳳翔.力學(xué)系統(tǒng)的二階梯度表示[J].物理學(xué)報, 2012,61(2):024502.

[12]梅鳳翔, 史榮昌, 張永發(fā), 吳惠彬.Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1996.

[13]梅鳳翔.廣義Birkhoff系統(tǒng)動力學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2013.

[責(zé)任編輯：徐明忠]

A fractional dimensional gradient representation for a type of non-autonomous Birkhoffian systems

ZU Qihang1, ZHU Jianqing1, ZHANG Yi2*

(1.College of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China； 2.College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)

A fractional dimensional gradient representation for a type of non-autonomous Birkhof- fian systems is sutdied.Firstly, the conditions of the non-autonomous Birkhoffian system and the non-autonomous generalized Birkhoffian system as a gradient system are given.Then, the conditions under which the non-autonomous Birkhoffian system and the non-autonomous Birkhoffian system can be considered as a fractional dimensional gradient system are obtained.Beside, the expression of the gradient system potential functionVis given.Finally,two examples are presented to illustrate the application of the results.

non-autonomous Birkhoffian system; non-autonomous generalized Birkhoffian system ;gradient system; fractional dimension

2015-09-18;

2015-10-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(10972151；11272227)；蘇州科技學(xué)院研究生科研創(chuàng)新計劃(SKCX15_061)資助項目

祖啟航(1991-)，男，江蘇泗洪人，蘇州科技學(xué)院碩士研究生，主要從事力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法的研究.

張毅(1964-)，男，江蘇吳江人，蘇州科技學(xué)院教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事約束系統(tǒng)力學(xué)研究.

O316

A

1672-3600(2015)12-0030-04