張 宏，李順群，張少峰，馮慧強(qiáng)

(1. 內(nèi)蒙古大學(xué) 交通學(xué)院，呼和浩特 010070；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)橋梁檢測(cè)與維修加固工程技術(shù)研究中心，呼和浩特 010070；3.天津城建大學(xué) 土木工程學(xué)院，天津 300384)

三維應(yīng)力計(jì)的工作原理及誤差分析

張 宏1,2，李順群3，張少峰3，馮慧強(qiáng)3

(1. 內(nèi)蒙古大學(xué) 交通學(xué)院，呼和浩特 010070；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)橋梁檢測(cè)與維修加固工程技術(shù)研究中心，呼和浩特 010070；3.天津城建大學(xué) 土木工程學(xué)院，天津 300384)

常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)由3個(gè)正應(yīng)力和3個(gè)剪應(yīng)力共6個(gè)分量組成，因此,確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)至少需要6個(gè)單向應(yīng)力計(jì)?；谌S應(yīng)力狀態(tài)理論，以單向應(yīng)力計(jì)或壓力計(jì)為基本元件，設(shè)計(jì)了一種能測(cè)試受力體內(nèi)部三維應(yīng)力狀態(tài)的裝置。該測(cè)試裝置由6個(gè)單向應(yīng)力計(jì)組成，且應(yīng)力計(jì)的軸線構(gòu)成四面體的6個(gè)棱?？紤]測(cè)試裝置對(duì)穩(wěn)定性、合理性、便利性等技術(shù)要求，該四面體的形狀可以設(shè)計(jì)為正四面體和由正方體截取的正三棱錐。根據(jù)某一方向上正應(yīng)力與常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)表示方法中6個(gè)應(yīng)力分量之間的關(guān)系，建立了三維應(yīng)力計(jì)各分量與常規(guī)應(yīng)力分量之間的映射關(guān)系，并進(jìn)一步導(dǎo)出了由三維應(yīng)力計(jì)計(jì)算常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)的方法及產(chǎn)生誤差的原因。

飽和土；分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)；地震波；地震放大系數(shù)；液固耦合系數(shù)

鋼材、混凝土、巖土材料等在低應(yīng)力狀態(tài)下可以認(rèn)為其力學(xué)性質(zhì)是線性的，但在稍高應(yīng)力狀態(tài)下則往往表現(xiàn)出強(qiáng)烈的非線性和非均勻性[1-2]。因此，工程材料在某一外界條件下的變形、屈服、流變等力學(xué)性能不僅取決于其本身的物質(zhì)組成，還依賴(lài)于其所處的應(yīng)力水平[3-5]。所以，準(zhǔn)確測(cè)試、認(rèn)識(shí)工程材料當(dāng)前的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)正確認(rèn)識(shí)其變形特征和工作狀態(tài)，進(jìn)行工程健康診斷和維修加固等工作具有重要意義[6-8]。

目前，物體表面或內(nèi)部某點(diǎn)的單向應(yīng)力測(cè)試技術(shù)比較成熟。常用方法是在受測(cè)物體表面某一確定方向上布置直接測(cè)試元件或間接測(cè)試元件。直接測(cè)試元件包括鋼筋計(jì)、應(yīng)力計(jì)等；間接測(cè)試(通過(guò)應(yīng)變算應(yīng)力)元件包括各類(lèi)應(yīng)變片。

一點(diǎn)的空間應(yīng)力狀態(tài)包含3個(gè)正應(yīng)力和3個(gè)剪應(yīng)力共6個(gè)分量。多數(shù)材料的物理力學(xué)性質(zhì)必須在三維條件下研究才更具工程價(jià)值和理論意義[9-12]。比如，混凝土在拉扭剪或三向壓縮作用下的應(yīng)力狀態(tài)研究；巖土在三向軸力作用下的變形特性研究等，均較單向受力更具普遍性，也更為復(fù)雜[13-16]。而進(jìn)行三維應(yīng)力狀態(tài)測(cè)試，則是開(kāi)展上述研究的基礎(chǔ)性工作。

現(xiàn)有的只測(cè)試某一確定方向上主應(yīng)力的方法至少存在兩方面的弊病。一是大主應(yīng)力方向多數(shù)情況下是不明確的，從而直接導(dǎo)致按最大主應(yīng)力方向布置應(yīng)力計(jì)的方法存在一定的主觀性。二是材料的強(qiáng)度、變形、屈服等性質(zhì)與6個(gè)應(yīng)力分量都有關(guān)系而不僅僅依賴(lài)于最大正應(yīng)力。因此，在工程中僅僅謀求測(cè)試最大正應(yīng)力的方法往往是片面的。

基于三維應(yīng)力狀態(tài)理論，以電阻應(yīng)變片為基本元件，設(shè)計(jì)了一種能測(cè)試受力體內(nèi)部三維應(yīng)力狀態(tài)的裝置——三維應(yīng)力計(jì)。該測(cè)試裝置由6個(gè)布置在某一四面體6條棱上的單向應(yīng)力計(jì)或電阻應(yīng)變片組成。根據(jù)某一方向上正應(yīng)力與常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)6個(gè)應(yīng)力分量之間的關(guān)系，建立了三維應(yīng)力計(jì)各分量與常規(guī)應(yīng)力分量之間的關(guān)系，并進(jìn)一步導(dǎo)出了由三維應(yīng)力計(jì)計(jì)算常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)的方法。

1 三維應(yīng)力計(jì)的結(jié)構(gòu)形式

平面應(yīng)力狀態(tài)包括2個(gè)正應(yīng)力和1個(gè)剪應(yīng)力，如圖1(a)所示。

平面應(yīng)力狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

三維應(yīng)力狀態(tài)包含3個(gè)正應(yīng)力和3個(gè)剪應(yīng)力，如圖1(b)所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2)

式中:σxy=σxy，σxz=σzx，σyz=σzy，即3個(gè)正應(yīng)力和3個(gè)剪應(yīng)力共6個(gè)分量可以完整刻畫(huà)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。因此，要想測(cè)得一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，需要測(cè)得6個(gè)應(yīng)力分量，也即需要6個(gè)普通應(yīng)力計(jì)。最直觀、最簡(jiǎn)單的一種三維應(yīng)力計(jì)可以設(shè)計(jì)為圖2所示的結(jié)構(gòu)形式。

圖1 一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的常規(guī)表示方法Fig.1 The common expression of stress state at a point

圖2 直角式三維應(yīng)力計(jì)的結(jié)構(gòu)組成Fig.2 The structure of the right-angle three dimensional stress apparatus

在圖2中，OABC-DEFG為正六面體，OACD為其一角。在相互垂直的3個(gè)方向OA、OC和OD上可以布置3個(gè)應(yīng)力計(jì)a、b和c，在AC、CD和AD方向布置另外3個(gè)應(yīng)力計(jì)d、e和f。這6個(gè)應(yīng)力計(jì)分布在不同的方向上，因此可以測(cè)得該點(diǎn)6個(gè)不同方向上的正應(yīng)力，并進(jìn)一步可以得到該點(diǎn)基于常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)表示方法的三維應(yīng)力狀態(tài)。

另外一種三維應(yīng)力計(jì)的結(jié)構(gòu)形式是基于正四面體的，即在正四面體OABC的六條棱上布置測(cè)試元件，如圖3所示。與圖2相比，圖3所示的正四面體結(jié)構(gòu)更為穩(wěn)定，且6個(gè)應(yīng)力計(jì)均處于同等位置。因此，無(wú)論從骨架的穩(wěn)定性方面考慮，還是從現(xiàn)場(chǎng)操作的便利性講，正四面體應(yīng)力計(jì)更為合理。

圖3 正四面體式三維應(yīng)力計(jì)的結(jié)構(gòu)組成Fig.3 The structure of the regular tetrahedron three dimensional stress apparatus

圖4為2種應(yīng)力計(jì)的實(shí)物照片。為了保證各測(cè)試單元之間的相對(duì)角度在施工過(guò)程中保持穩(wěn)定，各交叉點(diǎn)處以塑料球鉸相聯(lián)。塑料球鉸有一定剛度但強(qiáng)度較低。它的使用即起到了固定各測(cè)試單元的作用，又能保證在較高應(yīng)力狀態(tài)時(shí)自動(dòng)失去聯(lián)結(jié)作用從而確保各測(cè)試單元在不受其他測(cè)試單元干擾的情況下獨(dú)自變形。

圖4 2種三維應(yīng)力計(jì)的實(shí)物照片F(xiàn)ig.4 The photoes of the three dimensional stress apparatuses

2 三維應(yīng)力計(jì)的工作原理

如前所述，只要能測(cè)得某點(diǎn)6個(gè)不同方向上的正應(yīng)力分量，就可以得到該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。因此，像二維應(yīng)力計(jì)可以有多種結(jié)構(gòu)形式一樣，三維應(yīng)力計(jì)的結(jié)構(gòu)形式也可以是多種多樣的，而不僅僅限于圖2和圖3這2種特殊形式。但是，不難看出，這2種三維應(yīng)力計(jì)最為合理、簡(jiǎn)單、實(shí)用。首先研究一般形式的三維應(yīng)力計(jì)計(jì)算方法，再進(jìn)一步給出圖2和圖3這2種特殊三維應(yīng)力計(jì)的計(jì)算方法。

在三維空間中，假設(shè)某應(yīng)力測(cè)試元件設(shè)置在OA方向，如圖5所示。則OA在x、y、z3個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影l(fā)、m、n分別為

l=sinδcosφ

(3)

m=sinδsinφ

(4)

n=cosδ

(5)

圖5 測(cè)試元件在三維空間中的方向余弦Fig.5 The direction consine for a stress gauge

式中:δ為測(cè)試元件所在直線與z軸的夾角，φ為該直線在平面xOy上的投影與x軸的夾角，這里將它們通稱(chēng)為方位角。若已知一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為σij(式(2))，則OA方向的正應(yīng)力為

σn=σxl2+σym2+σzn2+2σxylm+2σyzmn+2σzxnl

(6)

也就是說(shuō)，給定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則任意方向上的正應(yīng)力均可以由式(6)得到。設(shè)6個(gè)不同方向上的正應(yīng)力σk為

(7)

式中:k=1,2,3,4,5,6。進(jìn)一步，可以將式(7)寫(xiě)成矩陣形式，即

(8)

或

{σk}=T{σj}

(9)

式中:j=x,y,z,xy,yz,zx，而

(10)

因此

(11)

對(duì)于圖2所示的直角式布置方案，各應(yīng)力測(cè)試元件的方向余弦如表1所示。

表1 直角式三維應(yīng)力計(jì)各測(cè)試元件的方向余弦Table 1 The direction cosine of stress gauges for the right angle three dimensional stress apparatus

因此，根據(jù)式(10)可以得到

(12)

進(jìn)一步可以得到

(13)

2.2 正四面體式三維應(yīng)力計(jì)

類(lèi)似于直角式三維應(yīng)力計(jì)各測(cè)試元件一樣，正四面體式三維應(yīng)力計(jì)各測(cè)試元件的方位角和方向余弦同樣可以得到，其結(jié)果如表2所示。

表2 正四面體式三維應(yīng)力計(jì)各測(cè)試元件的方向余弦Table 2 The direction cosine of stress gauges for the regulartetrahedron three dimensional stress apparatus

同樣，根據(jù)式(10)可以得到

(14)

對(duì)應(yīng)的逆陣為

(15)

矩陣T存在逆陣的條件是其秩等于6，即

r(T)=6

(16)

因此，組成三維應(yīng)力計(jì)的6個(gè)測(cè)試元件，其布置方法不是隨意的，而應(yīng)滿足式(16)的限定條件。在構(gòu)造其他結(jié)構(gòu)形式的三維應(yīng)力計(jì)時(shí)，必須核對(duì)是否滿足這一基本要求。

3 兩種三維應(yīng)力計(jì)的誤差估計(jì)

一般認(rèn)為，誤差包括系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。由三維應(yīng)力計(jì)的制作過(guò)程產(chǎn)生的、對(duì)測(cè)試結(jié)果有穩(wěn)定影響的誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。在使用過(guò)程中，由于偶然因素產(chǎn)生的呈正態(tài)規(guī)律分布的誤差稱(chēng)為偶然誤差。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因主要包括以下幾個(gè)方面：1)3個(gè)測(cè)試元件的軸線難以絕對(duì)交匯于一點(diǎn)；2)6條棱的長(zhǎng)度存在誤差從而影響測(cè)試元件之間的角度；3)4個(gè)塑料球鉸的物理力學(xué)性能存在必然的差異性；4)4個(gè)塑料球鉸與測(cè)試元件的聯(lián)結(jié)也必然存在差異等。

設(shè)T-1的第j個(gè)行向量為rj，即

(17)

則根據(jù)式(11)可以得到σj的系統(tǒng)誤差Δσj為

rj2Δσ2+…+rj5Δσ5+rj6Δσ6

(18)

式中:Δσk為第k個(gè)測(cè)試元件的系統(tǒng)誤差。為了縮小系統(tǒng)誤差對(duì)三維應(yīng)力計(jì)測(cè)試結(jié)果的影響，應(yīng)針對(duì)以上引起系統(tǒng)誤差的原因進(jìn)行三維應(yīng)力計(jì)制作過(guò)程中的質(zhì)量控制。另外，三維應(yīng)力計(jì)放置位置和放置角度的準(zhǔn)確性，也會(huì)引起系統(tǒng)誤差。

當(dāng)然，由三維應(yīng)力計(jì)獲得的6個(gè)常規(guī)應(yīng)力分量參數(shù)與真值之間也會(huì)存在偶然誤差。若第k個(gè)測(cè)試元件讀數(shù)σk的標(biāo)準(zhǔn)差為δk，則第j個(gè)待測(cè)應(yīng)力分量σj的標(biāo)準(zhǔn)差δj為

(19)

若6個(gè)測(cè)試元件的標(biāo)準(zhǔn)差均等于δ0，則

(20)

(21)

對(duì)于圖3所示布置方式，各待測(cè)應(yīng)力分量的標(biāo)準(zhǔn)差為

(22)

可見(jiàn)，三維應(yīng)力計(jì)的結(jié)構(gòu)布置方式和測(cè)試時(shí)的放置角度，都會(huì)影響測(cè)試結(jié)果的誤差大小。與圖2所示的布置方式和放置方位相比，圖3所示測(cè)試方法的誤差稍大。當(dāng)某一測(cè)試元件與某一待測(cè)方向重合或測(cè)試元件對(duì)稱(chēng)時(shí)，該方向上的應(yīng)力測(cè)試值將逼近于真值，也即偶然誤差較小；相反，當(dāng)某一待測(cè)值方向均斜交于各測(cè)試元件時(shí)，偶然誤差最大。

4 結(jié) 論

基于三維應(yīng)力狀態(tài)理論，設(shè)計(jì)了一種能測(cè)試受力體內(nèi)部三維應(yīng)力狀態(tài)的裝置——三維應(yīng)力計(jì)。該測(cè)試裝置由6個(gè)單向測(cè)試元件組成，且各測(cè)試元件的軸線構(gòu)成四面體的6條棱。根據(jù)某一方向上正應(yīng)力與常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)表示方法之間的關(guān)系，建立了三維應(yīng)力計(jì)各分量與常規(guī)應(yīng)力分量之間的關(guān)系，并進(jìn)一步導(dǎo)出了由三維應(yīng)力計(jì)計(jì)算常規(guī)應(yīng)力狀態(tài)的方法。最后，對(duì)該裝置產(chǎn)生系統(tǒng)誤差和偶然誤差的原因進(jìn)行了分析和計(jì)算，并進(jìn)一步指出了減小誤差的路徑和方法。

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(編輯 郭 飛)

Principle and errors analysis of the three-dimensional stress apparatuses

ZhangHong1,2，LiShunqun3,ZhangShaofeng3,FengHuiqiang3

(1.College of Transportation,Inner Mongolia University,Hohhot 010070,P.R. China; 2. The Engineering Research Center of Bridge Inspection and Maintenance and Reinforcement of Inner Mongolia,Huhehot 010070,P.R. China;3.School of Civil Engineering,Tianjin Chengjian University,Tianjin 300384,P.R. China)

The traditional stress state is composed of two normal stresses and a shear stress in the two dimensional space,and three normal stresses and three shear stresses in the three dimensional space. Therefore,six stressometers at least are necessary to determine the stress state at a point in space. Based on the stress state theory,a stress apparatus that can detector the three dimensional stress states is devised. The apparatus is made up of six one-way stressometers which are disposed at the edges of a tetrahedron. The tetrahedron is regular of all even arbitrary shaped in theory considering rational,logical,stability and conveniently. The mapping transformation,from the traditional stress state to the stress state illustrated by the edges of the tetrahedron is constructed. Furthermore,the traditional stress state can be derived from the data collected by the three-dimensional stress apparatus,and causes of errors are analyzed.

civil engineering; stress state theory; regular tetrahedron; three-dimensional stress apparatus; transition matrixt

10.11835/j.issn.1674-4764.2015.05.008

2015-04-25 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51178290、51468047)

張宏(1978-)，男，副教授，博士， 主要從事巖土工程及路基研究,(E-mail)zhanghong3537@126.com。

Foundation item：National Natural Science Foundation of China(No. 51178290,51468047)

TU441.33

A

1674-4764(2015)05-0054-06

Received:2015-04-25

Author brief：Zhang Hong(1978-),associate professor,PhD,main research interest: geotechnical engineering,(E-mail) zhanghong3537@126.com.