張艷青,貢金鑫,張 勤,韓 石

(1. 大連理工大學 土木工程學院結(jié)構(gòu)工程研究所，遼寧 大連 116024；2. 河海大學 土木與運輸工程學院結(jié)構(gòu)工程研究所，南京 210098)

鋼筋混凝土圓柱等效阻尼比及在橋梁抗震分析中的應用

張艷青1,貢金鑫1,張 勤2,韓 石1

(1. 大連理工大學 土木工程學院結(jié)構(gòu)工程研究所，遼寧 大連 116024；2. 河海大學 土木與運輸工程學院結(jié)構(gòu)工程研究所，南京 210098)

基于對50根彎曲破壞鋼筋混凝土圓柱低周反復試驗結(jié)果的分析，建立了完整滯回環(huán)的數(shù)學表達式并推導得出等效阻尼比計算模型；以雙柱墩橋梁為例，說明了建立橋梁整體結(jié)構(gòu)等效阻尼比與墩柱端部塑性鉸等效阻尼比關系的方法。研究表明，完整滯回環(huán)數(shù)學表達式較好地反映了彎曲破壞鋼筋混凝土圓柱的滯回特性，得到的等效阻尼比模型計算結(jié)果與試驗結(jié)果符合較好；采用建立的橋梁整體結(jié)構(gòu)等效阻尼比與墩柱端部塑性鉸等效阻尼比的關系進行pushover分析更能反映實際情況。采用等效阻尼比模型算得的目標位移與基于Rosenblueth模型和Kowalsky模型算得的位移之間存在較大差距。

鋼筋混凝土;圓柱;彎曲破壞;滯回環(huán);等效阻尼比

非線性靜力彈塑性分析方法是近年來結(jié)構(gòu)抗震分析常用的一種方法[1-6]，能力譜法是該方法中的一種。此類方法將結(jié)構(gòu)等效為一個單自由度體系，采用等效割線剛度和等效阻尼比,結(jié)合地震反應譜計算規(guī)定地震下結(jié)構(gòu)的最大反應位移。等效阻尼比的合理確定非常重要。

關于等效阻尼的確定，眾多學者已進行了大量研究。Jacobsen[7-8]最早針對彈塑性單自由度體系提出了等效粘性阻尼的概念，其成果對等效阻尼比的研究產(chǎn)生了重要意義。Rosenbluethn等[9]將實際的荷載-位移關系簡化為Kinematic雙線型模型，基于Jacobsen的等效粘性阻尼概念，利用一個運動循環(huán)滯回曲線所圍成的面積與阻尼消耗的能量相等的關系確定等效阻尼比。Kowalsky[10]將該方法用于Takeda[11]提出的具有卸載剛度退化特征的滯回模型，將卸載剛度系數(shù)取為0.5,確定了等效單自由度體系的等效阻尼比計算模型。Gulan等[12]根據(jù)小比尺鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)的振動臺試驗結(jié)果，結(jié)合Taketa等[11]滯回模型提出了等效阻尼比模型。Iwan等[13]利用庫侖滑移單元和彈性單元得到的滯回模型，根據(jù)12條地震波作用下的時程分析結(jié)果，得出了等效阻尼比模型。Kwan等[14]根據(jù)Iwan所提出的方法研究了6種滯回模型、20條地震波、周期范圍在0.1～1.5 s的等效阻尼比模型和等效周期關系式，所提出的等效阻尼比模型中考慮了滯回模型的影響。中國也有學者從不同角度對等效阻尼比進行了研究[15-19]。馬愷澤等[20]在統(tǒng)計分析的基礎上，提出了考慮場地類別和設計地震分組的等效阻尼比模型。陸本燕等[21]通過對不同研究者提出的等效阻尼比模型進行對比研究指出，滯回模型對等效阻尼比有很大影響。

按照能量相等原理得到的等效阻尼比是針對一個構(gòu)件塑性鉸的，并不適用于有多個塑性鉸的結(jié)構(gòu)(盡管目前仍這樣做)；通過地震數(shù)值分析得到的經(jīng)驗等效阻尼比公式是針對所分析情況的，當實際結(jié)構(gòu)與所分析結(jié)構(gòu)不同時，采用這種等效阻尼比是不合理的。

本文對項目組16根[22]和PEER數(shù)據(jù)庫中34根[23]彎曲破壞的圓形截面鋼筋混凝土柱低周反復試驗試驗結(jié)果進行了分析，建立了滯回環(huán)的數(shù)學模型，推導得出構(gòu)件的等效阻尼比計算公式；以雙柱墩橋梁為例，建立了橋梁整體結(jié)構(gòu)等效阻尼比與墩柱端部塑性鉸等效阻尼比的關系式。闡述了本文等效阻尼比公式在鋼筋混凝土雙柱墩橋梁抗震pushover分析中的應用。

1 滯回環(huán)模型

1.1 曲線上的特征點

設計制作了16根圓形截面鋼筋混凝土試件，試件截面直徑為235 mm，混凝土保護層厚度為20 mm，剪跨比為6和7，如圖1所示?；炷翉姸鹊燃墳镃40，實測混凝土立方體抗壓強度51.39 MPa，彈性模量3.66×104N/mm2?？v筋采用HRB335級鋼筋，采用8φ16和6φ12 mm兩種配筋方式，對應的配筋率為3.7%和1.56%，沿試件周邊均勻布置。箍筋采用直徑6.5 mm的HPB235級鋼筋，間距分別為50、100 mm，對應的配箍率分別為0.28%和0.56%，主要試驗參數(shù)如表1所示。

圖1 試件截面尺寸和配筋(單位：mm)Fig.1 Dimensions and reinforcements of column specimens(Unit：mm)

圖2 試驗加載裝置Fig.2 Details of test setup

試驗在大連理工大學結(jié)構(gòu)工程實驗室進行，采用懸臂梁式擬靜力加載方法加載，如圖2所示。首先利用液壓千斤頂在試件頂部施加恒定的豎向荷載，千斤頂通過滾子滑板與反力架橫梁相連，以確保千斤頂與試件一起平動。試件頂部水平荷載通過固定于兩側(cè)反力架上的液壓千斤頂施加。試驗采用位移控制，開始加載時變形為2 mm，3個循環(huán)后按照4 mm的倍數(shù)遞增，每級循環(huán)3次，直到試件發(fā)生嚴重破壞而無法承受軸力。試驗加載制度如圖3所示。試驗測量的主要參數(shù)包括：柱頂水平加載點處的水平荷載和位移；沿柱試件高度一定范圍內(nèi)的彎曲、剪切變形及塑性鉸區(qū)段的轉(zhuǎn)角；縱向鋼筋和箍筋應變等。儀表和應變測點布置如圖4所示。所有荷載、位移和應變均采用32通道的德國imc數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集。

圖3 水平荷載加載制度Fig.3 Horizontal displacement history

圖4 位移計和應變儀布置圖Fig.4 Layout of instruments and strain gauges

所選PEER數(shù)據(jù)庫中34根彎曲破壞圓形截面鋼筋混凝土柱的主要試驗參數(shù)同樣列于表1中，表中所有試件均為低周反復加載。

表1 試件試驗參數(shù)Table1 Parameters of specimens

續(xù)表1

注：C表示圓柱，第1個數(shù)字表示剪跨比，計算為柱的剪跨與截面有效高度的比值，截面有效高度為截面直徑的0.8倍；第2個數(shù)字表示縱向配筋；第3個數(shù)字表示軸壓比；第4個數(shù)字表示箍筋間距。例如，C7-6L12-50-0.2表示試件的剪跨比為7，縱向配置6根12 mm的鋼筋，箍筋間距為50 mm，軸壓比為0.2。

圖5 滯回環(huán)Fig. 5 Hysteretic loop for one cycle

試驗表明[22-23]，對于箍筋約束良好、以彎曲破壞為特征的圓形截面偏心受壓試件，滯回環(huán)比較飽滿，呈外凸型，沒有捏縮現(xiàn)象，可以表示為圖5(a)所示的形式。曲線關于原點對稱，A、B、B′、C、C′和D為滯回環(huán)上的6個特征點，其中，點A(Δ1,P1)和點D(-Δ1,-P1)為滯回環(huán)在正、反加載方向上位移最大的點，位于滯回曲線的骨架曲線上，點B′(-Δ2,0)和點C′(0,P3)為曲線上半環(huán)與Δ軸(變形)和P軸(荷載)的交點，點B(Δ2,0)和點C(0,-P3)為曲線下半環(huán)與Δ軸(變形)和P軸(荷載)的交點。為了能夠?qū)⑺性嚰硎驹谕粋€坐標系下，采用圖5(b)所示的無量剛形式確定滯回環(huán)上的特征點，該圖中，x=Δ/Δy；y=P/Py，屈服點Y(Δy,Py)采用圖6所示的能量法計算得到。對文獻[22]的16根試件和PEER數(shù)據(jù)庫[23]中34根試件的滯回環(huán)數(shù)據(jù)進行分析，得到x2與x1的關系如圖7所示。對50根試件的滯回環(huán)數(shù)據(jù)進行擬合，得到關系式

x2=0.765×(x1-1)1.074

(1)

圖8所示為所選50根試件的滯回環(huán)上y3/x2與y1/x1關系圖，擬合得到其關系式

(2)

圖6 屈服位移的確定Fig. 6 Definition of yield displacement of specimens

圖7 滯回環(huán)上x2與x1的關系Fig. 7 Relationship between x2 and x1 in one hysteretic loop

圖8 滯回環(huán)上y3/x2與y1/x1的關系Fig. 8 Relationship between y3/x2 and y1/x1 in one hysteretic loop

y3/x2和y1/x1分別為圖5(b)中直線OA和BC的斜率，式(2)中2個擬合參數(shù)分別為0.928和0.975，說明直線OA與BC近似平行[24]。

1.2 滯回環(huán)模型

根據(jù)彎曲破壞圓形截面偏心受壓構(gòu)件滯回環(huán)的特點，采用式(3)描述圖5(b)所示滯回環(huán)的下半環(huán)。

(3)

式中：a、b和c為待定系數(shù)。

利用如下3個條件：1)x=x1，y=y1；2)x=x2，y=0；3)x=-x1，y=-y1得到

(4)

將式(4)代入式(3)，得到過A、B和D三點的滯回環(huán)下半環(huán)的表達式

(5)

在式(5)中，取x=0，得到圖5(b)中滯回環(huán)下半環(huán)與y軸的交點C的縱坐標值，即y3=-x2y1/x1。通過計算可以得出點B(x2,0)與點C(0,-x2y1/x1)連線的斜率為y1/x1，該值恰好等于點O(0,0)與點A(x1,y1)連線的斜率，說明采用式(5)表示滯回

環(huán)的下半環(huán)時，直線OA與BC是近似平行的，這與圖8圓形截面試件滯回曲線上特征點的分析結(jié)果是一致的。因此，式(5)表示的數(shù)學表達式合理描述了試件滯回曲線的下半環(huán)。

考慮滯回環(huán)的反對稱性，一個完整的滯回環(huán)曲線可用式(6)描述。

(6)

圖9所示為式(6)的計算結(jié)果與試驗所得荷載-位移(P-Δ)滯回曲線的比較,圖中，計算滯回環(huán)的(x1,y1)是根據(jù)試驗結(jié)果的骨架曲線確定的。并可以看出，根據(jù)式(6)計算得到的滯回曲線與試驗滯回曲線非常接近。點(Δ1,P1)在滯回曲線的骨架曲線，分析實際的結(jié)構(gòu)構(gòu)件時，骨架曲線可以采用纖維法比較準確地確定，Δ2可根據(jù)式(1)確定。因此，只要根據(jù)構(gòu)件的材料性能、截面尺寸和配筋計算得到構(gòu)件滯回曲線的骨架曲線，即可由式(6)得到構(gòu)件不同位移下的滯回曲線。

圖9 模型計算的滯回環(huán)與試驗滯回環(huán)的比較Fig. 9 Comparison of hysteretic loops between the predicted and the experiment

2 等效阻尼比

等效阻尼比ζeff為結(jié)構(gòu)的粘滯阻尼比ζvis與等效滯回阻尼比ζhys之和。對于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，ζvis取為0.05，ζhys按照結(jié)構(gòu)的一個完整非線性滯回環(huán)消耗的能量與等效線性結(jié)構(gòu)的一個循環(huán)粘滯阻尼消耗的能量相等確定(圖5(b))。

(7)

式中:Ehys為一個完整加載循環(huán)的耗能，即圖5(b)中的陰影部分面積S(B′AB+BDB′)；Eel為等效線性結(jié)構(gòu)(構(gòu)件)在一個加載循環(huán)中對應于最大位移的彈性變形能，即圖5(b)中三角形OAF的面積S(OAF)或者三角形ODG的面積S(ODG)。

根據(jù)式(6)求得：

(8)

根據(jù)圖5(b)，Eel=S(OAF)=S(ODG)=x1y1/2。由式(7)得到

(9)

定義γ=x2，根據(jù)式(1)可以得出γ=0.765(μ-1)1.074，則式(9)可以表示為

(10)

圖10為按式(10)、Rosenblueth等[9]和Kowalsky[10]所提模型計算的等效阻尼比隨延性系數(shù)μ的變化，α為雙線性荷載-位移曲線中屈服后剛度與初始剛度的比值。由圖10可以看出，按Rosenblueth等[9]所提模型計算的等效阻尼比明顯低于試驗得到的等效阻尼比，按Kowalsky[10]所提模型計算的等效阻尼比明顯高于試驗得到的等效阻尼比，按本文模型計算得到的等效阻尼比與試驗結(jié)果則比較接近。

圖10 計算與試驗ξeff-μ關系曲線的比較Fig.10 Comparison of ξeff-μ relationship between the predicted and the experiment

圖11為按不同公式計算的等效阻尼比ζeff,c與試驗50根試件阻尼比ζeff,t的對比結(jié)果。從圖中可以看出，根據(jù)Rosenblueth等[9]所提模型算得的等效阻尼比基本上都位于45度線之上，表明該模型高估了實際的等效阻尼比；相反，按照Kowalsky[10]所提模型算得的結(jié)果位于45度線之下，表明該模型低估了實際阻尼比；而采用本文所提模型算得的結(jié)果位于45度線附近，表明本文所提出的公式更為合理。

圖11 計算阻尼比與試驗阻尼比的比較Fig. 11 Comparison of equivalent damping ratios between the predicted and that obtained based on experimental results

3 雙墩柱橋梁的整體結(jié)構(gòu)等效阻尼比

以圖12(a)所示雙柱墩鋼筋混凝土簡支梁橋為例，說明建立結(jié)構(gòu)整體等效阻尼比與構(gòu)件塑性鉸阻尼比關系的方法。

圖12 雙柱墩鋼筋混凝土簡支梁橋Fig.12 Two column piers supported bridge

用于分析的橋梁單元及分析單元上塑性鉸區(qū)域如圖12(b)所示。蓋梁上作用有豎向力N和水平力P。假定墩柱的底部及頂部分別固定在底座和蓋梁上，且底座及蓋梁的強度、剛度均大于墩柱，則作用在蓋梁上的側(cè)向力P會均分到兩個墩柱上，單個墩柱上側(cè)向力為P/2。隨著側(cè)向力的增加，墩柱上會出現(xiàn)雙曲率彎曲，反彎點距離頂部、底部的距離分別為l1和l2，如圖13(a)所示。

通過截面分析可以確定墩柱頂部(i=1)及底部(i=2)的曲率φi，進而求得墩柱底部及頂部相對于反彎點的側(cè)移[25]

(11)

式中

lpi=0.08li+0.022fyidi

(12)

式中：φyi為墩柱頂部(i= 1)和底部(i= 2)塑性鉸的屈服曲率；Δyi和Δpi為墩柱頂部(i= 1)和底部(i= 2)的屈服位移及屈服后位移；lpi為塑性鉸區(qū)長度；fyi和di分別鋼筋的屈服強度及直徑。

根據(jù)式(11)求得墩柱頂部及底部的側(cè)向荷載-位移曲線如圖13(b)～(d)所示。假定圖12(b)所示的雙柱墩中兩墩柱底部縱向的配筋率大于頂部，塑性鉸首先在頂部形成，隨著荷載的增加，墩柱底部的塑性鉸形成，該雙柱墩的總側(cè)向位移為

Δc=Δc1+Δc2

(13)

根據(jù)式(13)可以求得荷載從0增大至P/2，或從0反向加載至-P/2時，雙柱墩的單調(diào)荷載位移曲線荷載，如圖13(d)中的OAt和ODt。

圖13 墩柱變形圖及墩柱的滯回環(huán)Fig.13 Relationships of displacement capacity and energy dissipation between the bridge and the potential plastic hinges of its columns

當蓋梁上的加載路徑為P→0→P′→0→P時，可以得到圖13(d)所示雙柱墩的循環(huán)荷載位移曲線AtBtCtDtEtFtAt。同時，可以得到墩柱頂部及底部塑性鉸上，加載路徑為P/2→0→P′/2→0→P/2時的循環(huán)荷載位移曲線A1B1C1D1E1F1A1和A2B2C2D2E2F2A2，如圖13(b)及圖13(c)所示。由于圓形截面鋼筋混凝土構(gòu)件中縱筋沿截面邊緣均勻布置，所以，P和P′值相差不多，故可以假定曲線A1B1C1D1E1F1A1、A2B2C2D2E2F2A2以及AtBtCtDtEtFtAt為關于坐標系原點對稱的封閉滯回環(huán)，與試驗中各鋼筋混凝土試件加載情況相符。

雙柱墩的耗能能力等于兩個墩柱的耗能能力之和，因此，圖13(d)中環(huán)AtBtCtDtEtFtAt所消耗的能量為圖13(b)中環(huán)A1B1C1D1E1F1A1與圖13(c)中環(huán)A2B2C2D2E2F2A2所消耗能量的兩倍(共有4個塑性鉸)。根據(jù)式(7)，墩柱上一個塑性鉸耗散的能量為

Ehys,i=4πζhys,iEel,i=

(14)

式中:ζhys,i為墩頂(i=1)或墩底(i=2)的等效阻尼比，可根據(jù)式(10)計算。

(15)

因此，由式(14)和式(15)求得用墩柱上各塑性鉸等效阻尼比表示的雙柱墩耗能為

(16)

根據(jù)式(7)，雙柱墩的等效阻尼比為：

(17)

將式(16)代入式(17)并考慮彈性粘滯阻尼比，可以得到圖12(b)所示雙柱墩的等效阻尼比：

(18)

4 算 例

對圖12所示雙柱墩進行Pushover分析。橋墩高10m，上部集中質(zhì)量為4.0×105kg，墩柱直徑為1 000mm，墩柱頂部和底部配筋如圖14所示，縱筋屈服強度和極限強度分別為410.4MPa和615.6MPa，箍筋屈服強度為410.4MPa，間距為100mm，混凝土強度為34.5MPa，保護層厚度為30mm。

圖14 墩柱頂部及底部橫截面的配筋Fig. 14 Cross section and reinforcement details of bridge columns

鋼筋應力-應變關系采用Esmaeily等[26]的三線段強化模型，保護層混凝土和核心混凝土分別采用Mander等[27]的應力-應變模型。通過截面分析求得單根墩柱上部、下部懸臂段的水平荷載-位移(相對于反彎點)曲線及整個柱墩的水平荷載-位移(墩頂相對于墩底)曲線，如圖15所示。采用圖6所示的方法得到曲線的等效屈服位移和屈服荷載也示于圖15。

采用《公路橋梁抗震設計細則》[28]的反應譜進行Pushover分析。反應譜的形式為

(19)

式中:T為結(jié)構(gòu)的周期；Tg為特征周期，本例取為0.45s；Smax為水平加速度反應譜最大值，按式(20)計算。

Smax=2.25CiCsCdA

(20)

式中：Ci為抗震重要性系數(shù)，抗震設防類別為C類時，取為1.0；Cs為場地系數(shù)，場地類別為Ⅱ類、峰值地面加速為0.4g時，取為1.0；A為水平向設計基本地震加速度，取為0.4g；Cd為阻尼調(diào)整系數(shù)，按式(21)計算。

(21)

采用本文所的等效阻尼比模型，根據(jù)式(18)求出該雙柱墩的性能點D及等效阻尼比如圖16所示。為方便對比，也直接采用了Rosenblueth等[9]所提模型及Kowalsky[10]所提模型進行了計算。

由圖16可以看出，采用本文模型算得的等效阻尼比為21.5%，目標位移為0.120 m；按照Rosenblueth[9]等所提模型以及Kowalsky[10]所提模型算得的等效阻尼比分別為25.52%和13.48%，目標位移分別為0.110 m和0.158 m。按本文模型算得的結(jié)果介于采用Rosenblueth等[9]所提模型和Kowalsky[10]所提模型算得的結(jié)果之間。

圖15 荷載-位移曲線Fig.15 Lateral load-displacement curves

圖16 基于不同等效阻尼比模型的目標位移及性能點Fig. 16 Performance points and target displacement in ADRS domain

5 結(jié) 論

根據(jù)彎曲破壞型鋼筋混凝土圓柱的試驗結(jié)果，建立了完整滯回環(huán)的數(shù)學模型，基于所建立的滯回環(huán)模型，根據(jù)Jacobsen理論推導得出圓柱的等效阻尼比模型。以雙墩鋼筋混凝土連續(xù)梁橋為例，建立了橋梁結(jié)構(gòu)體系等效阻尼比與墩柱端部塑性鉸等效阻尼比的轉(zhuǎn)換關系式。本研究主要結(jié)論如下：

1)所提出彎曲破壞型鋼筋混凝土圓柱的滯回環(huán)表達式較好地反映了彎曲破壞型試件的滯回特性；基于該模型建立的等效阻尼比模型概念明確，與試驗結(jié)果吻合良好，可用于地震作用下彎曲破壞鋼筋混凝土圓形截面偏心受壓構(gòu)件的抗震分析。

2)從原理上講，用反映橋梁墩柱不同位置塑性鉸及考慮塑性鉸不同出現(xiàn)次序和轉(zhuǎn)動情況的橋梁整體等效阻尼比分析地震作用下橋梁的位移，比目前Pushover分析中常用的采用一個構(gòu)件的等效阻尼比計算橋梁的位移更能反映橋梁整體的耗能和等效粘滯阻尼特性。

3)以建立的單個塑性鉸的等效阻尼比為基礎、采用本文提出的橋梁整體等效阻尼比公式進行poshover分析，計算的橋梁目標位移與基于Rosenblueth模型以及Kowalsky模型的計算結(jié)果存在較大的差距。

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(編輯 胡 玲)

Equivalent damping ratio of RC circular columns and its application in bridge seismic analysis

ZhangYanqing1,GongJinxin1,ZhangQin2,HanShi1

(1. Department of Civil Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,Liaoning,P.R. China;2.College of Civil and Transportation Engineering,Hohai University,Nanjing 210098,P.R. China)

Based on analysis of the test results of 50 RC specimens of circular columns failed in flexure,an expression for defining the hysteretic loop is proposed and a model for predicting the equivalent damping ratio is developed. The procedure for associating the equivalent damping ratio of a structure as a whole with those of its element is established by an example of double-column pier-bridge. It’s indicated that the expression of hysteretic loop proposed well defines the hysteretic loops of RC columns. Rational outcome can be expected when performing pushover analysis using the relationship of equivalent damping ratio of a bridge as a whole with those of its element. The target displacement predicted with the proposed model is different from those predicted with Rosenblueth’s model and Kowalsky’ model.

Reinforced concrete;circular columns;flexural failure;hysteretic loop;equivalent damping ratio.

10.11835/j.issn.1674-4764.2015.05.001

2015-03-03 基金項目：國家自然科學基金(51278081；51478077)

張艷青(1983-)，女，博士生,主要從事結(jié)構(gòu)工程研究，(E-mail)zhangyanqingtaian@163.com。 貢金鑫(通信作者)，男，教授，博士生導師，(E-mail)jinxingong@163.com。

Foundation item：National Natural Science Foundation of China(No.51278081,51478077)

TU357.3

A

1674-4764(2015)05-0001-10

Received:2015-03-03

Author brief：Zhang Yanqing(1983-)，PhD.main interest:seismic research of RC structure,(E-mail)zhangyanqingtaian@163.com. Gong Jinxin(corresponding author),professor,(E-mail)jinxingong@163.com.