王亞強(qiáng)，陳 波

（西南科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621010）

1 引 言

超聲醫(yī)學(xué)圖像是通過(guò)接收散射回波信號(hào)的相干波而產(chǎn)生的，超聲圖像的這種產(chǎn)生機(jī)制，使得圖像中難免會(huì)有噪聲存在。超聲圖像中的噪聲主要是散斑噪聲，噪聲的存在嚴(yán)重降低了圖像的質(zhì)量［1］，使醫(yī)生難以分辨出超聲圖像的細(xì)微特征，影響醫(yī)生對(duì)病人的診斷，因此消除噪聲是超聲圖像重要的預(yù)處理環(huán)節(jié)。

為了降低散斑噪聲，學(xué)者們提出了許多可行的方案，超聲圖像主要的去噪方法包括中值濾波［2］、自適應(yīng)中值濾波、基于小波的變換和偏微分方程去噪等方法。中值濾波根據(jù)圖像的局部統(tǒng)計(jì)特征來(lái)進(jìn)行濾波，這種方法由于對(duì)所有像素都采用相同的處理方法，因此它在圖像細(xì)節(jié)保護(hù)上并不好。自適應(yīng)中值濾波是在中值濾波的基礎(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)，它能夠很好地去除噪聲，并且對(duì)于圖像細(xì)節(jié)和邊緣的保持都要優(yōu)于中值濾波?；谛〔ㄗ儞Q的方法關(guān)鍵是小波變換尺度和閥值的確定。文獻(xiàn)［3］和文獻(xiàn)［4］提出了兩種改進(jìn)的小波去噪算法。偏微分方程去噪包括變分和分?jǐn)?shù)階等偏微分方法，各向異性擴(kuò)散也屬于偏微分方程方法，基于偏微分方程的去噪由于其對(duì)邊緣及細(xì)節(jié)等的保護(hù)很好在去噪算法中得到了廣泛的研究與應(yīng)用［5－6］。1990年P(guān)erona和Malik［7］提出了基于熱擴(kuò)散方程的各向異性擴(kuò)散算法，由于該方法在去除噪聲的同時(shí)能很好地保護(hù)邊緣，因此該算法得到了廣泛的應(yīng)用。

Perona－Malik擴(kuò)散模型的提出引發(fā)了研究人員對(duì)各向異性擴(kuò)散算法的研究熱潮［8－9］。1992年，Catte等人對(duì)PM模型進(jìn)行了改進(jìn)，提出了Catte模型［10］，解決了PM模型中存在的問(wèn)題，并在理論上證明了該模型滿(mǎn)足解的適定性。之后又有許多學(xué)者提出PM模型的改進(jìn)算法，如2002年，Yu和 Acton提出了SRAD模型［11］，2011年王常虹提出了改進(jìn)的各向異性擴(kuò)散算法即王常虹算法［12］等。

本文在研究PM模型和Catte模型的基礎(chǔ)上，提出了將自適應(yīng)中值濾波與各向異性擴(kuò)散相結(jié)合的擴(kuò)散模型。該模型將自適應(yīng)中值濾波引入到Catte模型中，同時(shí)改進(jìn)新模型中的擴(kuò)散系數(shù)，將二階微分算子引入到擴(kuò)散系數(shù)中，以使擴(kuò)散過(guò)程中能保留更多的紋理細(xì)節(jié)，并提出了自適應(yīng)選取擴(kuò)散門(mén)限K的方法，得到很好的去噪效果。

2 傳統(tǒng)各向異性擴(kuò)散模型

2.1 經(jīng)典的PM模型

針對(duì)各向同性擴(kuò)散在去噪的同時(shí)會(huì)模糊圖像的邊緣，1990年，Perona和Malik在傳統(tǒng)的熱擴(kuò)散方程的基礎(chǔ)上，提出了基于非線(xiàn)性偏微分方程的新模型即各向異性擴(kuò)散模型。

Perona和Malik提出的各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型如下：

式中：div是散度算子，.為梯度算子，‖表示幅度，c（｜.I｜）為擴(kuò)散系數(shù)方程，I0為初始圖像，t為引入的時(shí)間算子，表示降噪過(guò)程與擴(kuò)散持續(xù)時(shí)間有關(guān)。Perona等給出了擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)的兩種經(jīng)典的選擇：

其中，K為梯度閥值也就是擴(kuò)散門(mén)限，.I表示圖像I的梯度，當(dāng).I遠(yuǎn)大于梯度閥值K 時(shí)，則c（｜.I｜）趨于0，擴(kuò)散過(guò)程被抑制；而.I遠(yuǎn)小于梯度閥值K 時(shí)，那么c（｜.I｜）趨于1，則擴(kuò)散過(guò)程被加強(qiáng)。

式（1）中的方程需要離散化之后，才能應(yīng)用于圖像去噪過(guò)程，其離散化形式如下：

PM模型還有一些缺點(diǎn)［13］，第一，PM模型本身在數(shù)學(xué)上是一個(gè)病態(tài)的方程，不能保證解的存在性和唯一性；第二，PM模型對(duì)于孤立的噪聲點(diǎn)及強(qiáng)噪聲去噪效果不好，有時(shí)不僅不能消除噪聲，反而會(huì)增強(qiáng)噪聲。

2.2 Catte模型

為了解決PM模型的不足，Catte等人于1992年提出了改進(jìn)的PM模型，本文稱(chēng)為Catte模型，該模型中首先使用高斯濾波對(duì)圖像進(jìn)行高斯平滑，采用平滑后的梯度模代替原始圖像的梯度模，優(yōu)化后的模型如下：

其中：Gσ是標(biāo)準(zhǔn)差為σ的高斯函數(shù)，“＊“表示卷積。使用高斯平滑后的梯度?？刂茢U(kuò)散的過(guò)程，克服了PM模型對(duì)噪聲的敏感性，每次迭代先用高斯平滑對(duì)圖像加以濾波，降低圖像中強(qiáng)噪聲的梯度，在消除噪聲的同時(shí)又能保護(hù)邊緣，這對(duì)于強(qiáng)噪聲也能很好的去噪。Catte等人還證明了該模型是適定的，確保了擴(kuò)散過(guò)程的穩(wěn)定性。

雖然Catte模型獲得了很好的去噪效果，但是模型中采用高斯平滑進(jìn)行濾波，它不僅破壞了各向異性擴(kuò)散的本質(zhì)，而且會(huì)導(dǎo)致圖像的結(jié)構(gòu)偏離原始位置，邊緣模糊性加大，此外，參數(shù)σ的選取也是該模型的一個(gè)難點(diǎn)［14］，且σ趨于0時(shí)，模型變的不穩(wěn)定。

2.3 王常虹算法

針對(duì)PM模型中各項(xiàng)異性擴(kuò)散存在的不足，王常虹等于2011年提出了一種改進(jìn)的擴(kuò)散方法，本文稱(chēng)為王常虹算法，該算法首先使用多方向中值濾波對(duì)圖像進(jìn)行處理，然后使用歸一化的局部方差和圖像梯度組成的擴(kuò)散系數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行擴(kuò)散去噪。算法中改進(jìn)的擴(kuò)散系數(shù)如下：

該算法雖然克服了PM模型中梯度閥值K的選取難題，達(dá)到了一定的去噪效果，但該算法仍然存在一定的缺陷，圖像歸一化局部方差沒(méi)有考慮圖像局部對(duì)整體圖像的影響，不能夠很好地表現(xiàn)細(xì)節(jié)，此外，該方法僅僅考慮了四方向的擴(kuò)散，容易丟失圖像細(xì)節(jié)及產(chǎn)生虛假邊緣。

3 改進(jìn)的各向異性擴(kuò)散去噪算法

針對(duì)以上分析，本文在PM模型和Catte模型的基礎(chǔ)上，提出了改進(jìn)的擴(kuò)散系數(shù)，并將Catte模型中的高斯濾波用自適應(yīng)中值濾波代替，結(jié)合改進(jìn)的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)散，同時(shí)使用自適應(yīng)的擴(kuò)散門(mén)限K，避免了PM模型和Catte模型中K的選取依靠經(jīng)驗(yàn)確定的缺點(diǎn)。

3.1 引入自適應(yīng)中值濾波改進(jìn)擴(kuò)散模型

針對(duì)Catte模型中高斯平滑會(huì)導(dǎo)致圖像的結(jié)構(gòu)偏離原始位置的缺點(diǎn)，文獻(xiàn)［15］提出了使用中值濾波與各向異性相結(jié)合的方法，但是該算法中并沒(méi)有改進(jìn)擴(kuò)散函數(shù)，此外，中值濾波雖然有較好的細(xì)節(jié)及邊緣保護(hù)能力，但是中值濾波也有一定的缺點(diǎn)，它對(duì)所有像素點(diǎn)采用同樣的處理方法，這樣會(huì)在濾除噪聲的同時(shí)改變像素點(diǎn)中的真實(shí)值，從而引入誤差，進(jìn)而不能很好地保護(hù)圖像細(xì)節(jié)信息，此外，中值濾波的效果受濾波窗口的大小影響很大，采用固定的濾波窗口很難達(dá)到理想效果。

本文基于中值濾波的優(yōu)缺點(diǎn)，使用自適應(yīng)中值濾波代替中值濾波，從而避免了中值濾波對(duì)圖像細(xì)節(jié)及邊緣保護(hù)的不足。該自適應(yīng)中值濾波根據(jù)圖像的特點(diǎn)自適應(yīng)地選取濾波窗口的大小，從最初的3×3到7×7，使用3種濾波窗口來(lái)進(jìn)行濾波，達(dá)到了很好的消除噪聲的目的，同時(shí)也增強(qiáng)了對(duì)高斯噪聲和均勻分布的噪聲的去除效果，對(duì)圖像細(xì)節(jié)和邊緣保護(hù)的效果要優(yōu)于中值濾波，改進(jìn)后的模型如下：

其中：AMF表示自適應(yīng)中值濾波，其他參數(shù)同PM模型的相同。

3.2 改進(jìn)擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)

PM模型中擴(kuò)散系數(shù)c（｜.I｜）的改進(jìn)，要滿(mǎn)足以下3點(diǎn)［16］：

（1）c（｜.I｜）是以｜.I｜為自變量的減函數(shù)，并且c（｜.I｜）＞0；

在PM模型擴(kuò)散函數(shù)的兩種經(jīng)典選擇中，本文選用式（2）為參考依據(jù)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，為使擴(kuò)散方程對(duì)圖像的細(xì)節(jié)信息更加敏感，更好的保持圖像的細(xì)節(jié)和紋理信息，本文根據(jù)以上擴(kuò)散系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的3個(gè)條件，提出如下擴(kuò)散系數(shù)：

式中：Δ表示拉普拉斯算子，其余的參數(shù)與PM模型的相同，在PM模型中僅僅使用了.I來(lái)對(duì)圖像進(jìn)行擴(kuò)散，這難免會(huì)使圖像在細(xì)節(jié)方面有所缺失，而式（8）綜合利用了圖像的一階和二階微分算子，這使得在擴(kuò)散過(guò)程中能夠更好地捕捉到超聲圖像的尖峰線(xiàn)條等細(xì)微特征，從而使擴(kuò)散過(guò)程避免了對(duì)這些細(xì)微特征的平滑，以此來(lái)保護(hù)超聲圖像的特征和細(xì)節(jié)，達(dá)到了很好的擴(kuò)散效果。

3.3 擴(kuò)散門(mén)限K的自適應(yīng)選取

由2.1節(jié)可知，擴(kuò)散門(mén)限K的選取直接關(guān)系到超聲圖像的去噪效果，各向異性擴(kuò)散在每次迭代之后圖像的梯度都會(huì)降低，如果擴(kuò)散門(mén)限K采用常數(shù)，就會(huì)使得超聲圖像的平滑和保邊效果下降，因此，要自適應(yīng)的選取擴(kuò)散門(mén)限K，使其隨著迭代的進(jìn)行自適應(yīng)的減少以符合擴(kuò)散過(guò)程。

由上述分析可知擴(kuò)散門(mén)限K是一個(gè)減函數(shù)，它又稱(chēng)為梯度閥值。信噪比表征了圖像有用信息和噪聲方差的比值，在每次迭代之后圖像信噪比都會(huì)增加，因此將圖像信噪比作為分母則可以構(gòu)造一個(gè)減函數(shù)，而圖像最大最小灰度值的差值則表明了一幅圖像中像素的整體跨度，也即是圖像的最大梯度。故本文采用信噪比和圖像最大最小灰度值來(lái)自適應(yīng)的選取擴(kuò)散門(mén)限K，信噪比的定義如下：

其中：I（i，j）為待估計(jì)的圖像，I－（i，j）無(wú)噪聲源圖像。

由于每次迭代之后圖像信噪比都會(huì)增加，且圖像的最大梯度也會(huì)改變，因此采用每次迭代后圖像的最大梯度與圖像信噪比的比值能正確反映圖像中梯度的變化，而梯度閥值K正應(yīng)該是隨著圖像梯度變化而變化的，因此本文采用的擴(kuò)散門(mén)限K的表達(dá)式如下：

其中：Imax和Imin是超聲圖像最大和最小灰度值。0.5是控制比值變化的權(quán)重系數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與評(píng)價(jià)

4.1 算法評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了從客觀上評(píng)價(jià)算法的去噪性能，本文引入以下兩個(gè)評(píng)價(jià)降噪效果的標(biāo)準(zhǔn)：

4.1.1 峰值信噪比PSNR

為衡量超聲圖像去噪后與原始圖像的逼近程度，可采用峰值信噪比作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，圖像峰值信噪比的定義如下［17］：

其中：M，N 表示圖像的行和列數(shù)，u（i，j）和u（i，j）分別是原始圖像和去噪后的圖像，L是圖像中灰度的取值范圍，對(duì)于8bit的灰度圖像而言L＝255。峰值信噪比越大表示去噪后的圖像越接近于原始圖像。

4.1.2 品質(zhì)因數(shù)FOM

一個(gè)好的去噪算法，應(yīng)該在去噪的同時(shí)盡量保留圖像的邊緣特征，可以使用FOM來(lái)估計(jì)邊緣位置的準(zhǔn)確性［18］，F(xiàn)OM的定義如下：

其中：IN＝max（II，IA），II和IA分別代表理想和實(shí)際邊緣分布圖上的點(diǎn)數(shù)，α是比例常數(shù)，一般設(shè)α＝1／9；d是實(shí)際邊緣點(diǎn)離理想邊緣線(xiàn)的法線(xiàn)距離（在數(shù)字圖像中，d可認(rèn)為是實(shí)際邊緣點(diǎn)離最近理想邊緣點(diǎn)的距離）。FOM是歸一化的，范圍是［0，1］，對(duì)于完善檢測(cè)的邊緣FOM＝1。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證本文算法對(duì)圖像處理的有效性和適用性，本文分別使用超聲腎臟圖像和超聲心臟圖像以及標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像進(jìn)行了3組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)使用Matlab對(duì)圖像進(jìn)行仿真。

第一組為超聲腎臟圖像如圖1，圖像大小為256×256像素，分別采用了PM模型、Catte模型、王常虹算法、MFPM算法及本文算法對(duì)加入散斑噪聲的圖像（圖1（a））進(jìn)行了處理，散斑噪聲的均值為0，方差為0.05，濾波的結(jié)果如圖1（b）～圖1（f），各去噪算法的評(píng)價(jià)指標(biāo)見(jiàn)表1。

圖1 超聲腎臟各種去噪方法效果對(duì)比Fig.1 Ultrasonic kidney various denoising method effect comparison

由圖1可以看出，各算法在一定程度上抑制了散斑噪聲，但本文算法在視角效果上優(yōu)于以上各種算法，表1的定量計(jì)算也表明了本文算法相對(duì)于其他算法在去噪的同時(shí)更好地保護(hù)了圖像細(xì)節(jié)及邊緣。

表1 超聲腎臟各去噪算法評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比Tab.1 Ultrasonic kidney various denoising method comparison of evaluation indexes

第二組為超聲心臟圖像如圖2，實(shí)驗(yàn)中采用與上一次實(shí)驗(yàn)相同的去噪方法，以便進(jìn)行對(duì)比，散斑噪聲均值為0，方差為0.05，各算法的濾波結(jié)果如圖2（b）～圖2（f），各算法的評(píng)價(jià)指標(biāo)見(jiàn)表2。

由圖2可以看出，MFPM算法在抑制噪聲的同時(shí)，細(xì)節(jié)的保護(hù)較弱，這是由于中值濾波對(duì)所有像素點(diǎn)都取中值改變了原始像素的大小，Catte算法視角效果較好，但是邊緣及細(xì)節(jié)部分模糊了，這是高斯濾波產(chǎn)生的影響，而本文算法在細(xì)節(jié)及邊緣的保護(hù)上都達(dá)到了很好的效果，表2的定量計(jì)算也表明了本文算法優(yōu)于以上各種去噪算法。

圖2 超聲心臟各種去噪方法效果對(duì)比Fig.2 Ultrasonic cardiacvarious denoising method effect comparison

表2 超聲心臟各去噪算法評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比Tab.2 Ultrasonic cardiac various denoising method comparison of evaluation indexes

第三組為標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像如圖3，實(shí)驗(yàn)中采用與前兩次實(shí)驗(yàn)相同的去噪方法，以便進(jìn)行對(duì)比，實(shí)驗(yàn)中給Lena圖像加入散斑噪聲，各算法的濾波結(jié)果如圖3（b）～圖3（f），各算法的評(píng)價(jià)指標(biāo)見(jiàn)表3。

圖3 Lena圖像各種去噪方法效果對(duì)比Fig.3 Lena image various denoising method effect comparison

表3 Lena圖像各去噪算法評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比Tab.3 Lena image various denoising method comparison of evaluation indexes

由圖3可以看出各種算法對(duì)Lena圖像的邊緣保持效果比對(duì)超聲圖像的邊緣保持效果都要稍差一點(diǎn)，但從各算法的對(duì)比中可以看出本文算法對(duì)Lena圖像的去噪效果及邊緣保持效果明顯比其他算法的效果要好，表3的定量計(jì)算也表明了本文算法對(duì)Lena圖像的去噪效果優(yōu)于以上各種算法。

5 結(jié) 論

在分析了PM模型和Catte模型及王常虹算法的基礎(chǔ)上，提出了一種新的擴(kuò)散模型，并使用改進(jìn)的擴(kuò)散系數(shù)對(duì)新模型進(jìn)行擴(kuò)散，同時(shí)提出了一種擴(kuò)散門(mén)限的自適應(yīng)估計(jì)方法，擴(kuò)散門(mén)限的自適應(yīng)估計(jì)使得圖像去噪后的階梯效應(yīng)明顯降低，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法對(duì)于超聲圖像去噪有較好的效果，去噪后圖像的FOM比PM模型高出3.34%，PSNR值比PM 模型高出0.250 6，從表1、表2及表3中也可以看出圖像細(xì)節(jié)及邊緣的保護(hù)優(yōu)于PM模型、Catte模型、王常虹算法和MFPM算法等。

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