姜 東， 費(fèi)慶國(guó)， 吳邵慶

(1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2.江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210096; 3.東南大學(xué)工程力學(xué)系, 江蘇 南京 210096)

基于區(qū)間分析的不確定性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型修正方法

姜 東1,2,3， 費(fèi)慶國(guó)2,3， 吳邵慶2,3

(1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2.江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210096; 3.東南大學(xué)工程力學(xué)系, 江蘇 南京 210096)

提出了一種基于區(qū)間分析的不確定性有限元模型修正方法。在區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)特征值分析理論和確定性有限元模型修正方法基礎(chǔ)上，假設(shè)不確定性與初始有限元模型誤差均較小，采用靈敏度方法推導(dǎo)了待修正參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)值和不確定區(qū)間的迭代格式。以三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)和復(fù)合材料板為例，采用拉丁超立方抽樣構(gòu)造仿真試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)樣本，開(kāi)展仿真研究。結(jié)果表明，當(dāng)仿真試驗(yàn)樣本能準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的區(qū)間特性時(shí)，方法的收斂精度和效率均較高；修正后計(jì)算模態(tài)參數(shù)能準(zhǔn)確反映試驗(yàn)數(shù)據(jù)的區(qū)間特性。所提出方法適用于解決試驗(yàn)樣本較少，僅能得到試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)區(qū)間的有限元模型修正問(wèn)題。

模型修正;不確定性； 區(qū)間分析； 有限元

引 言

近幾十年來(lái)，確定性的有限元模型修正技術(shù)作為建立精確動(dòng)力學(xué)模型的有效方法已取得長(zhǎng)足發(fā)展[1]。然而，由于工程問(wèn)題普遍存在不確定性，迫切需要開(kāi)展考慮不確定性的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元模型修正方法研究。

工程中的不確定性主要分為以下兩類：(1)結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，例如新型復(fù)合材料的物理參數(shù)存在較明顯不確定性，螺栓、鉚釘?shù)冗B接方式，邊界條件難以準(zhǔn)確參數(shù)化等；(2)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定性，例如高溫環(huán)境下的模態(tài)試驗(yàn)?zāi)壳霸谠囼?yàn)方法、測(cè)試手段上并不成熟，試驗(yàn)結(jié)果離散性較大；模態(tài)識(shí)別過(guò)程中不可避免的存在誤差。不確定性在很大程度上影響結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果的可信度。描述參數(shù)的不確定主要可分為概率與非概率的方法[2]，概率方法需要豐富的試驗(yàn)數(shù)據(jù)以得到較準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)信息，當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)樣本較少而不足以準(zhǔn)確描述結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)特性時(shí)，將產(chǎn)生較大的誤差[3]。非概率的方法不依賴于數(shù)據(jù)量的大小。區(qū)間分析方法為非概率方法的一種，僅需要參數(shù)的上下界即可開(kāi)展研究，是處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)量較少或某些特殊不確定性問(wèn)題的有力工具。得益于區(qū)間數(shù)學(xué)理論的提出與發(fā)展[4]，以及陳塑寰和邱志平[5-6]、Ben-Haim和Elishakoff[7]等學(xué)者的先驅(qū)性工作，區(qū)間分析方法已成功應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析的靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

在不確定性的有限元模型修正方法研究方面，最初Collins等[8]提出采用統(tǒng)計(jì)方法處理了僅考慮噪聲引起的試驗(yàn)結(jié)果隨機(jī)性的問(wèn)題；Mares等[9]采用多元回歸模型計(jì)算不確定參數(shù)的靈敏度矩陣，采用梯度方法計(jì)算得到參數(shù)的均值和協(xié)方差。Hua[10]和Khodaparast[11]分別采用攝動(dòng)法修正結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，前者需要計(jì)算待修正參數(shù)的二階靈敏度矩陣，而后者在不考慮試驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定性對(duì)待修正參數(shù)影響的情況下僅計(jì)算一階靈敏度也能得到較準(zhǔn)確的結(jié)果。Govers和Link[12]將修正問(wèn)題考慮成試驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果殘差最小的優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)包含試驗(yàn)與計(jì)算均值的殘差以及方差的殘差兩部分。上述方法均采用概率方法來(lái)描述參數(shù)或試驗(yàn)數(shù)據(jù)的不確定性，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型修正，這類方法需要大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，增大了工程應(yīng)用的難度。采用區(qū)間分析的不確定性有限元模型修正對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)沒(méi)有嚴(yán)格要求，根據(jù)數(shù)據(jù)的上下限進(jìn)行修正能夠得到相對(duì)準(zhǔn)確的有限元模型。王登剛和秦仙蓉[13]提出了結(jié)構(gòu)計(jì)算模型修正的區(qū)間反演方法，將修正問(wèn)題歸結(jié)為全局優(yōu)化問(wèn)題，并采用遺傳算法進(jìn)行求解。Khodaparast和Mottershead等[14]用克里金模型[15](Kriging Model)來(lái)替代有限元模型，在修正過(guò)程中采用優(yōu)化方法來(lái)處理區(qū)間反問(wèn)題。然而，替代模型僅能在參數(shù)一定取值范圍內(nèi)代替有限元模型,且僅能保證樣本處的精度。

考慮試驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)的區(qū)間不確定性，在區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)特征值分析理論基礎(chǔ)上，提出了區(qū)間不確定性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元模型修正方法。推導(dǎo)了待修正參數(shù)中點(diǎn)值和不確定區(qū)間的迭代格式。

1 區(qū)間參數(shù)結(jié)構(gòu)特征值分析

結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征值問(wèn)題可表示為

(1)

剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M均為結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)，可表示為

(2)

(3)

(4)

對(duì)于具有區(qū)間參數(shù)的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)特征值問(wèn)題的表達(dá)式中的剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M、特征值λ和特征向量u都具有區(qū)間性質(zhì)；特征值的區(qū)間可表示為

(5)

(6)

將λ(p)在區(qū)間參數(shù)中點(diǎn)值附近進(jìn)行Taylor展開(kāi)

(7)

其中

(8)

采用區(qū)間數(shù)學(xué)中的區(qū)間自然擴(kuò)張理論[4]，由式(7)可得

(9)

通過(guò)區(qū)間運(yùn)算，可得到特征值區(qū)間的上界

(10)

和下界

(11)

其中，特征值對(duì)參數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)

(12)

2 不確定性模型修正方法

在確定性方法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)區(qū)間不確定性結(jié)構(gòu)有限元模型修正方法的迭代格式。確定性的有限元模型修正可歸結(jié)為優(yōu)化問(wèn)題

(13)

目標(biāo)函數(shù)J(p)定義為在結(jié)構(gòu)待修正參數(shù)p∈RN的合理取值范圍p1≤p≤p2內(nèi)，試驗(yàn)與計(jì)算模態(tài)參數(shù)的加權(quán)殘差取極小值。ε為模態(tài)參數(shù)的殘差，zm,za(p)∈Rn分別為試驗(yàn)與計(jì)算的模態(tài)參數(shù)；p∈RN為結(jié)構(gòu)待修正參數(shù)的N維向量；加權(quán)矩陣W為反映各模態(tài)參數(shù)殘差相對(duì)權(quán)重的對(duì)角陣。設(shè)定待修正參數(shù)的初值，采用靈敏度分析的方法迭代求解優(yōu)化問(wèn)題，確定性的有限元模型修正第j個(gè)迭代步的問(wèn)題描述為

(14)

為了表述方便，先不考慮各階模態(tài)參數(shù)殘差的相對(duì)權(quán)重，修正問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

(15)

其中Sj=?zj/?pj表示模態(tài)參數(shù)對(duì)待修正參數(shù)的靈敏度矩陣，可根據(jù)式(12)計(jì)算得到。

為了考慮試驗(yàn)數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)的區(qū)間不確定性，將式(15)中的變量采用區(qū)間分析的方法表示為

(16)

(17)

(18)

將式(16)代入式(15)，可得

(19)

采用攝動(dòng)法，將式(19)中的關(guān)于Δ的零階項(xiàng)和一階項(xiàng)分離，并忽略二階項(xiàng)可得

(20)

(21)

分別求解式(20)與(21)，得到待修正參數(shù)中點(diǎn)值與不確定性區(qū)間的迭代格式

(22)

(23)

其中

(24)

若考慮加權(quán)，且計(jì)算模態(tài)參數(shù)對(duì)待修正參數(shù)的加權(quán)靈敏度矩陣病態(tài)，應(yīng)采用求解不適定問(wèn)題的正則化方法[16]，則

(25)

式中W1為反映各模態(tài)參數(shù)殘差相對(duì)權(quán)重的對(duì)角加權(quán)矩陣；W2=αI，其中α為正則化參數(shù)，通過(guò)作L-curve圖可求得α的值。

基于區(qū)間分析的不確定性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)有限元模型修正方法實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(7)滿足精度，參數(shù)收斂，則迭代終止。

3 仿真算例研究

以三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)和復(fù)合材料板為例，采用拉丁超立方體抽樣(LatinHypercubeSampling,LHS)[17]，按照參數(shù)的真實(shí)值構(gòu)造樣本，代入有限元模型中計(jì)算得到仿真試驗(yàn)樣本，開(kāi)展仿真研究來(lái)驗(yàn)證方法的可行性。

3.1 算例一 三自由度系統(tǒng)

如圖1所示為三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)[14]。在此模型中，確定性的參數(shù)為：

m1=m2=m3=1.0 kg,k3=k4=1.0 N/m,k6=3.0 N/m。

假設(shè)其他不確定的彈簧彈性系數(shù)取值區(qū)間為：

k1=[0.8 1.2] N/m,k2=[0.8 1.2] N/m,k5=[0.8 1.2] N/m。

圖1 三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)Fig.1 Three degrees of freedom spring-mass system

圖2 待修正參數(shù)區(qū)間的迭代收斂曲線 (10 samples)Fig.2 Convergence of the interval of updating parameters

以均勻分布的拉丁超立方體抽樣分別構(gòu)造10個(gè)和1 000個(gè)試驗(yàn)樣本，針對(duì)三自由度彈簧-質(zhì)量模型開(kāi)展基于區(qū)間分析的不確定性模型修正方法仿真研究。由于試驗(yàn)的模態(tài)參數(shù)通過(guò)仿真得到，試驗(yàn)數(shù)據(jù)不受其他因素影響，取加權(quán)矩陣W1=I；迭代過(guò)程中修正問(wèn)題的線性方程組性態(tài)良好，未出現(xiàn)病態(tài)，取正則化參數(shù)α=0。

假設(shè)不確定的待修正參數(shù)初始值為：

k1=[1.5 2.5] N/m,k2=[1.5 2.5] N/m,k5=[1.5 2.5] N/m。

如圖2所示為待修正參數(shù)區(qū)間的迭代收斂曲線(10 samples)，對(duì)于三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，區(qū)間參數(shù)的中點(diǎn)值與區(qū)間參數(shù)寬度均經(jīng)過(guò)8次迭代，收斂到真實(shí)值附近；試驗(yàn)樣本數(shù)量為1 000時(shí)，收斂曲線同樣能快速收斂。對(duì)不同數(shù)量試驗(yàn)樣本情況下的修正精度進(jìn)行了比較分析，圖3和4所示為修正前后參數(shù)區(qū)間的比較，表1和2所示為修正前后的參數(shù)區(qū)間誤差。10個(gè)樣本情況的修正誤差大于樣本數(shù)為1 000的情況，表明樣本數(shù)量越多，試驗(yàn)樣本的區(qū)間越準(zhǔn)確，則修正結(jié)果更精確。

圖3 修正前后參數(shù)區(qū)間的比較 (10 samples)Fig.3 Comparison between the initial and updated interval of parameters (10 samples)

圖4 修正前后參數(shù)區(qū)間的比較(1 000 samples)Fig.4 Comparison between the initial and updated interval of parameters (1 000 samples)

圖5 修正前后計(jì)算模態(tài)參數(shù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較的散點(diǎn)圖(1 000次計(jì)算)Fig.5 Scatter plot of the comparison between the numerical and experimental modal data (1 000 samples)

根據(jù)修正前后待修正參數(shù)的區(qū)間，采用均勻分布的拉丁超立方體抽樣構(gòu)造參數(shù)的隨機(jī)樣本，代入確定性的有限元模型中計(jì)算修正前后的模態(tài)參數(shù)，如圖5為修正前后計(jì)算模態(tài)參數(shù)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較的散點(diǎn)圖(計(jì)算1 000次)，從圖中可以看出，修正之后模型的計(jì)算模態(tài)數(shù)據(jù)與10個(gè)試驗(yàn)樣本吻合良好，能夠準(zhǔn)確反映試驗(yàn)結(jié)果。

表1 修正前后的參數(shù)區(qū)間誤差比較(10 samples)

Tab.1 Comparison of errors between initial and updated parameters (10 samples)

系統(tǒng)參數(shù)/(N·m-1)真實(shí)值修正后中點(diǎn)值區(qū)間半徑中點(diǎn)值誤差/%區(qū)間半徑誤差/%k11．00．21．0282．80．1981-0．95k21．00．20．9891．10．197-1．5k51．00．20．9920．80．195-2．5

表2 修正前后的參數(shù)區(qū)間誤差比較(1 000 samples)

Tab.2 Comparison of errors between initial and updated parameters (1 000 samples)

系統(tǒng)參數(shù)/(N·m-1)真實(shí)值修正后中點(diǎn)值區(qū)間半徑中點(diǎn)值誤差/%區(qū)間半徑誤差/%k11．00．20．999-0．10．1985-0．75k21．00．21．002-0．20．198-1．0k51．00．21．0010．10．1985-0．75

3.2 算例二復(fù)合材料板

以幾何尺寸為300 mm×300 mm×3 mm，彈性參數(shù)如表3所示的復(fù)合材料板為例，進(jìn)一步開(kāi)展考慮區(qū)間不確定性的有限元模型修正方法仿真研究。通過(guò)靈敏度分析選取對(duì)復(fù)合材料板動(dòng)態(tài)特性影響最大的3個(gè)參數(shù)E11，E22和G12為待修正參數(shù)。

假設(shè)復(fù)合材料彈性參數(shù)中E11，E22和G12的真實(shí)區(qū)間分別為：

E11=114.16+[-11.416 11.416] GPa

E22=124.0+[-12.4 12.4] GPa

G12=36.24+[-3.624 3.624] GPa

表3 復(fù)合材料彈性參數(shù)

根據(jù)參數(shù)的真實(shí)區(qū)間，采用拉丁超立方體采樣獲得復(fù)合材料板的試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)區(qū)間。假設(shè)待修正參數(shù)的初始值：

E11=91.328+[-17.124 17.124] GPa

E22=99.208+[-18.6 18.6] GPa

G12=43.488+[-5.436 5.436] GPa

即材料的彈性模量E11，E22區(qū)間中點(diǎn)值被低估了20%，剪切模量G12區(qū)間中點(diǎn)值被高估了20%；3個(gè)參數(shù)的區(qū)間半徑初始誤差均為+50%。

采用均勻分布的拉丁超立方體抽樣根據(jù)不確定彈性參數(shù)的真實(shí)區(qū)間構(gòu)造1 000個(gè)隨機(jī)樣本，代入有限元模型中計(jì)算得到仿真的試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)樣本，由此得到試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)的區(qū)間，作為不確定性參數(shù)修正研究中的模態(tài)參數(shù)目標(biāo)值。

圖6 待修正區(qū)間參數(shù)誤差迭代收斂曲線(1 000 samples)Fig.6 Convergence of the errors of interval updating parameters

如圖6所示為區(qū)間參數(shù)中點(diǎn)值與區(qū)間半徑誤差迭代收斂曲線(1 000 samples)，從圖中可以看出，彈性參數(shù)的區(qū)間中點(diǎn)值、區(qū)間半徑在迭代到第六個(gè)迭代步時(shí)收斂，收斂后誤差均較小。表4所示為修正后彈性參數(shù)區(qū)間誤差，修正后彈性參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)值的誤差絕對(duì)值由20%下降到1%以下，區(qū)間半徑誤差不超過(guò)5%。為了更加直觀地比較修正后計(jì)算頻率與試驗(yàn)頻率，圖7中給出修正前后計(jì)算頻率區(qū)間與試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)樣本比較，可以看出修正后結(jié)果與計(jì)算結(jié)果吻合良好。

表4 修正后彈性參數(shù)區(qū)間誤差(1 000 samples)

Tab.4 Errors of the updated elastic parameters with interval uncertainty (1 000 samples)

系統(tǒng)參數(shù)/(N·m-1)真實(shí)值修正后中點(diǎn)值區(qū)間半徑中點(diǎn)值誤差/%區(qū)間半徑誤差/%E11114．1611．416113．28-0．7710．904-4．49E22124．012．40123．35-0．5211．80-4．84G1236．243．62436．260．053．447-4．87

圖7 修正前后計(jì)算模態(tài)參數(shù)區(qū)間與試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)樣本的比較 (1 000 samples)Fig.7 Interval comparison between the numerical and experimental modal data after updating

4 結(jié) 論

根據(jù)區(qū)間擴(kuò)張理論計(jì)算模型修正過(guò)程中模態(tài)參數(shù)和靈敏度矩陣的不確定性區(qū)間，推導(dǎo)了待修正參數(shù)區(qū)間中點(diǎn)值和不確定區(qū)間的迭代格式，提出一種試驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)存在區(qū)間不確定性的模型修正方法。由于理論推導(dǎo)過(guò)程中采用了區(qū)間擴(kuò)張理論與靈敏度方法，本文方法僅用于不確定性和初始有限元模型誤差均較小的情況，收斂效率較高。通過(guò)三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)及復(fù)合材料板的仿真研究表明，樣本區(qū)間的準(zhǔn)確性是影響修正結(jié)果的重要因素；對(duì)于所采用的算例，區(qū)間參數(shù)的中點(diǎn)值與區(qū)間半徑均能快速的收斂到真實(shí)值。根據(jù)修正后參數(shù)的區(qū)間構(gòu)造隨機(jī)樣本，帶入確定性的有限元模型中進(jìn)行計(jì)算，修正之后模型的計(jì)算模態(tài)數(shù)據(jù)與試驗(yàn)樣本吻合良好，能夠準(zhǔn)確反映試驗(yàn)數(shù)據(jù)的區(qū)間特性。

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Updating of structural dynamics model with uncertainty based on interval analysis

JIANGDong1, 2,3,FEIQing-guo2,3,WUShao-qing2,3

(1.College of Mechanical and Electronic Engineering, Nanjing Forestry University,Nanjing 210037, China;2. Jiangsu Key Laboratory of Engineering Mechanics, Nanjing 210096, China;3. Department of Engineering Mechanics, Southeast University, Nanjing 210096, China)

A finite element model updating method in structural dynamics considering the effects of uncertainty is proposed using interval analysis. Based on the theory of eigen-frequency analysis of structures with interval parameters and the deterministic finite element model updating technologies, an interval model updating formulation are developed by applying the sensitivity method, under the assumption that the variability in measurements and structural parameters as well as the error in the initial finite element model are small. In the iterative formulation, each variable is presented in an interval form which consists of an interval mid-point and an interval radius. Simulation study is conducted by employing a three degrees of freedom mass-spring system and a composite panel, the simulated experimental samples are generated by adopting Latin Hypercube sampling methods. Results show that when the testing samples can accurately reflect the interval characteristics of the experimental modal data, the high convergence accuracy and high efficiency can both be achieved. The presented method provides a solution to the problem that the measured sample is small in finite element model updating of structures with uncertainties.

model updating; uncertainty; interval analysis; finite element method

2013-11-19；

2014-04-18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10902024)；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCEF-11-0086)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK2010397)；江蘇高校優(yōu)勢(shì)學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目(1105007001)

O325； TB123

A

1004-4523(2015)03-0352-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.003

姜東(1985—), 男, 博士,講師。 E-mail: jiangdonal@gmail.com