諸 赟， 張美艷， 唐國安

(復(fù)旦大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系， 上海 200433)

一種基于子結(jié)構(gòu)界面動剛度的模態(tài)綜合法

諸 赟， 張美艷， 唐國安

(復(fù)旦大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系， 上海 200433)

針對傳統(tǒng)模態(tài)綜合法中由于高階截斷模態(tài)帶來的計算誤差問題，將子結(jié)構(gòu)界面動剛度展開成頻率的泰勒級數(shù),表示為子結(jié)構(gòu)的固定界面主模態(tài)。利用位移協(xié)調(diào)和力平衡條件對子結(jié)構(gòu)界面動剛度進(jìn)行模態(tài)綜合，保留了截斷模態(tài)高階項(xiàng)的部分貢獻(xiàn)，發(fā)展了一種新的模態(tài)綜合方法。推導(dǎo)過程不必引入質(zhì)量矩陣為對角塊的假設(shè)，比現(xiàn)有改進(jìn)方法更具普適性。數(shù)值算例的結(jié)果表明在相同自由度的前提下，該方法能獲得更高的模態(tài)綜合精度。

動態(tài)子結(jié)構(gòu)； 模態(tài)綜合法;動剛度

引 言

對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，出于分工協(xié)作或工程實(shí)際的需要，將整體結(jié)構(gòu)劃分成若干個子結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行動力學(xué)特性分析，然后根據(jù)子結(jié)構(gòu)間界面的位移協(xié)調(diào)條件和力平衡條件進(jìn)行綜合，從而得到整體結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性，這種由子結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性綜合分析而得到整體結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的方法就是動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法[1]。按照子結(jié)構(gòu)界面自由度處理方法的不同，可以將動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法分為固定界面模態(tài)綜合法、自由界面模態(tài)綜合法和混合界面模態(tài)綜合法[2]。其中，固定界面模態(tài)綜合法在用子結(jié)構(gòu)低階模態(tài)信息表示高階模態(tài)信息時不存在因剛體模態(tài)導(dǎo)致的奇異剛度矩陣的求逆問題，計算過程簡單，得到了較多應(yīng)用。

在固定界面模態(tài)綜合法的工程應(yīng)用中，Craig-Bampton-Hurty(CBH)方法[3-4]在計算低階模態(tài)時具有精度高、易于編程等優(yōu)點(diǎn)，包含在很多商業(yè)動力學(xué)計算軟件中，解決了大量的復(fù)雜工程問題[5]。近十年間，許多學(xué)者對于CBH方法的工程應(yīng)用做了深入的研究。鄧峰巖等[6]探討了CBH方法在多體動力學(xué)建模中的應(yīng)用。黃道瓊等應(yīng)用CBH方法分析了四機(jī)并聯(lián)發(fā)動機(jī)的低頻特性[7]。史紀(jì)鑫等利用CBH方法對含復(fù)合柔性太陽翼的航天器進(jìn)行了動力學(xué)建模[8]。孫曉陽等[9]利用CBH方法實(shí)現(xiàn)輪胎子結(jié)構(gòu)模型與車輛多體動力學(xué)模型的耦合分析。高星斗等[10]利用CBH方法建立了車載導(dǎo)彈發(fā)射系統(tǒng)多體動力學(xué)模型。鄧四二等[11]采用了CBH方法建立了高速角接觸球軸承保持架柔體動力學(xué)方程。陳海衛(wèi)等[12]采用CBH方法建立了波輪式洗衣機(jī)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型。何鑫等[13]利用CBH方法建立了直升機(jī)起落架實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型。

在以上工程應(yīng)用的研究中，CBH方法在計算低階模態(tài)時表現(xiàn)出很高的精度，但該方法完全忽略高階截斷模態(tài)的影響，對于高階模態(tài)的計算誤差較大。Suarez和Singh[14]考慮了截斷的高階模態(tài)的影響，但是沒有注意到新方法存在Ritz基線性相關(guān)的問題。邱吉寶和Williams[15]利用矩陣級數(shù)展開構(gòu)造了非線性的特征方程，雖然充分考慮了高階模態(tài)的影響，但是非線性的特征方程求解比較復(fù)雜，需要經(jīng)過多次迭代。王緬和鄭鋼鐵[16]提出的改進(jìn)的固定界面模態(tài)綜合法充分考慮了高階截斷模態(tài)的影響，且不會出現(xiàn)Ritz基線性相關(guān)問題和非線性的特征方程，但是該方法對結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣做了對角塊的假設(shè)，限制了方法的應(yīng)用范圍。

為此，本文作者推導(dǎo)了子結(jié)構(gòu)界面動剛度的完備級數(shù)展開式，在此基礎(chǔ)上提出了基于位移協(xié)調(diào)和力平衡條件的模態(tài)綜合方法。該方法保留了截斷模態(tài)高階項(xiàng)的貢獻(xiàn)得以提高模態(tài)綜合的精度，界面力高階平衡條件的利用則減少了界面自由度的引入。在相同自由度的前提下，該方法能獲得更高的模態(tài)綜合精度，同時方法的推導(dǎo)過程不必引入質(zhì)量矩陣為對角塊的假設(shè)，比現(xiàn)有方法更具普適性。數(shù)值算例的計算結(jié)果表明了方法的有效性。

1 子結(jié)構(gòu)界面動剛度表達(dá)式

考慮一子結(jié)構(gòu)，內(nèi)部和界面的位移分別記為Xi和Xj，相應(yīng)的質(zhì)量、剛度矩陣為

(1)

該子結(jié)構(gòu)僅在界面力作用下的頻域方程為

(2)

在固定界面條件下(Xj=0j)，內(nèi)部位移滿足運(yùn)動方程

(3)

該特征方程具有ni=dim(xi)對固有頻率和固有模態(tài)，記為

(4)

從固有頻率和固有模態(tài)所滿足的正交歸一條件

(5)

可以導(dǎo)出

(6)

由式(6)得

(7)

對上式兩端分別求逆后，得到固定界面條件下內(nèi)部自由度的動柔度矩陣

(8)

其中

(9)

由方程(2)第一行，將內(nèi)部位移Xi用界面位移Xj表示

(10)

則方程(2)中，第二行可以整理為界面力和界面位移的頻域關(guān)系

(11)

(12)

利用式(8)，可以將界面動剛度用固定界面主模態(tài)表示為

(13)

由Δii(ω2)定義式可以推得

(14)

移項(xiàng)后可得

(15)

從而

(16)

將關(guān)系式(15)和(16)代入式(13)，經(jīng)過整理得

(17)

將固定界面的固有頻率和模態(tài)矩陣按低頻和高頻分塊成

(18)

式中Ωkk和Φik是低階固有頻率和模態(tài)矩陣，Ωhh和Φih是高階固有頻率和模態(tài)矩陣，分別為

(19)

在此分塊表示下，可推導(dǎo)出如下關(guān)系

(20)

利用上式和模態(tài)正交關(guān)系，方程(17)可以改寫為

(21)

2 子結(jié)構(gòu)界面動剛度的完備展開式

(22)

代入到式(21)，考慮到固有頻率和模態(tài)矩陣滿足關(guān)系

界面動剛度可以表示為

(23)

上式中

(24)

由方程(23)可知，子結(jié)構(gòu)界面力和位移的關(guān)系為

(25)

引入輔助變量

(26)

則界面力與位移的關(guān)系式可以改寫為

(27)

而輔助變量與界面位移的關(guān)系式可以寫成約束方程形式

(28)

3 利用界面動剛度完備展開式的子結(jié)構(gòu)綜合

為便于表述，考慮一個含有兩個子結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，分別用下標(biāo)“1”和“2”表示。由關(guān)系式(27)，界面力與界面位移的關(guān)系分別寫成

(29)

引入位移協(xié)調(diào)和力平衡條件

(30)

可以得到兩個子結(jié)構(gòu)綜合以后的頻域平衡方程

(31)

上式中

(32)

兩個子結(jié)構(gòu)綜合后的約束方程(28)變?yōu)?/p>

(33)

將方程(31)和(33)聯(lián)立，得

(34)

4 界面位移高階導(dǎo)數(shù)的消去

由約束方程(33)，可以將方程改寫為

(35)

利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，在方程(35)兩端同乘以ω2q(q≥1)，可以得到

(36)

在方程組(36)中取q=1,…,nT，并且略去ω2p(p>nT)項(xiàng)，經(jīng)排列后得到

(37)

上式中

α=

由此可得

(38)

(39)

其中

(40)

(41)

上式中

將關(guān)系式(38)擴(kuò)展成

(42)

代入方程(41)，并左乘矩陣TT，最終得到

(43)

其中

(44)

從方程(43)可以解出特征值和對應(yīng)的特征向量

(45)

將這些特征向量寫成分塊形式

(46)

(47)

數(shù)值計算中，采用高次冪級數(shù)容易帶來計算穩(wěn)定性問題，在本文中具體表現(xiàn)為方程中系數(shù)矩陣α的條件數(shù)會變大。因此，級數(shù)階次不宜過高，算例表明保留兩項(xiàng)較為合適,即取nT=3。

5 數(shù)值算例

采用文獻(xiàn)[14]中給出的直升機(jī)尾部桁架作為分析對象，結(jié)構(gòu)如圖1～3所示。整個結(jié)構(gòu)左端固定，全部元件采用鋁管組裝，共計58個節(jié)點(diǎn)，192個單元。鋁管的彈性模量E=7.239 5×1010Pa, 截面積A=8.193 5×10-4m2。慣性矩I=2.780 4×10-7m4，極慣矩J=4.646 8×10-7m4。整個結(jié)構(gòu)分為a,b兩個子結(jié)構(gòu)，尾桁子結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖4,5所示。

圖1 尾桁-頂視圖Fig.1 Top-view of the tailboom

圖2 尾桁-正視圖Fig.2 Front-view of the tailboom

圖3 直升機(jī)尾桁-端部圖(單位:m)Fig.3 Base of the tailboom(Unit:m)

圖4 子結(jié)構(gòu)a的有限元模型Fig.4 Finite element model of substructure a

圖5 子結(jié)構(gòu)b的有限元模型Fig.5 Finite element model of substructure b

子結(jié)構(gòu)a端部固定后的自由度為138，子結(jié)構(gòu)b的自由度數(shù)目為162。兩個子結(jié)構(gòu)的界面共有4個節(jié)點(diǎn)、24個自由度，節(jié)點(diǎn)編號為28#,29#,30#,31#。

整體結(jié)構(gòu)200 Hz以下的固有頻率計算結(jié)果如表1。表中還列出了整體有限元模型計算結(jié)果以及CBH方法的計算結(jié)果，其中誤差err定義為

如表1所示，在100 Hz以下及附近，本文方法與CBH方法精度都非常高，與有限元方法相比的誤差均不超過1%，在200 Hz附近，本文方法的精度明顯高于CBH方法。

表1 固有頻率計算結(jié)果

表2 子結(jié)構(gòu)一致質(zhì)量矩陣結(jié)果與對角塊質(zhì)量陣結(jié)果比較

Tab.2 Results comparison between substructure consistent mass matrix and diagonal dominance mass matrix

階次Mij=0時的固有頻率Mij≠0時的固有頻率相對誤差121．29920．96941．57%222．47422．12441．58%3103．610399．67663．95%4107．5918104．12053．33%5109．3923105．30313．88%6192．3118188．35962．10%

表2結(jié)果表明，文獻(xiàn)[16]將子結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣設(shè)為對角塊矩陣的假設(shè)，會帶來高達(dá)3.95%的模型誤差，相比表1中1%以內(nèi)的計算誤差要大得多。可見文獻(xiàn)[16]關(guān)于質(zhì)量矩陣是對角塊的假設(shè)有一定的局限性。在有限元建模時，即便采用集中質(zhì)量矩陣，當(dāng)體系中存在多點(diǎn)約束關(guān)系時，質(zhì)量矩陣仍然會表現(xiàn)出非對角塊形式，多點(diǎn)約束關(guān)系是復(fù)雜結(jié)構(gòu)建模常用的手段。本文方法是對文獻(xiàn)[16]的完善，取消了質(zhì)量矩陣對角塊的假設(shè)，同時保留了對寬頻動力學(xué)分析的優(yōu)勢[17]。

圖6 調(diào)整后尾桁-端部圖(單位:m)Fig.6 base of the tailboom with repeated frequency(Unit:m)

為了考察本文方法在結(jié)構(gòu)(子結(jié)構(gòu))具有重頻情況下的適用性, 將直升機(jī)尾部桁架截面調(diào)整為正方形，兩端截面如圖6所示，材料參數(shù)和其他幾何尺寸保持不變。此時，直升機(jī)尾桁整體結(jié)構(gòu)和兩個子結(jié)構(gòu)均有重頻。同樣分析直升機(jī)尾桁整體結(jié)構(gòu)200 Hz以下的固有頻率, 取ca=2，子結(jié)構(gòu)的截斷頻率為400Hz,子結(jié)構(gòu)a和b的保留模態(tài)個數(shù)分別為15和5。利用本文方法分析得到的結(jié)果、CBH方法的計算結(jié)果與整體有限元模型計算結(jié)果比較如表3所示。表3結(jié)果與表1結(jié)果類似，本文方法的精度明顯高于CBH方法。說明本文的研究方法可以直接應(yīng)用到結(jié)構(gòu)存在密頻和重頻的情形。

表3 重頻結(jié)構(gòu)固有頻率計算結(jié)果

Tab.3 Results of the natural frequency for structure with repeated frequency

階次有限元法本文方法(err)CBH方法(err)121．43697321．436973(0．00%)21．437482(0．00%)221．43697421．436974(0．00%)21．437484(0．00%)3101．825459101．825614(0．00%)101．965142(0．14%)4101．825461101．825615(0．00%)101．965143(0．14%)5104．223044104．223218(0．00%)104．359683(0．13%)6189．680184194．733011(2．66%)200．239841(5．57%)

6 結(jié) 論

作者吸收了國內(nèi)外學(xué)者對固定界面模態(tài)綜合法所做的改進(jìn)工作，從推導(dǎo)子結(jié)構(gòu)界面動剛度的完備級數(shù)展開式出發(fā)，提出了基于位移協(xié)調(diào)和界面力高階平衡條件的動態(tài)子結(jié)構(gòu)綜合方法，獲得了更高的模態(tài)綜合精度，同時克服了現(xiàn)有改進(jìn)方法中對質(zhì)量矩陣所作的對角塊假設(shè)。數(shù)值算例的計算結(jié)果說明了本文方法是行之有效的。

本文方法引入了界面自由度的高階導(dǎo)數(shù)，通過高階的力平衡條件消去了這些變量，經(jīng)模態(tài)綜合得到的模型自由度與CBH方法相同。模態(tài)綜合過程中，最大的計算量在于求解固定界面條件下的子結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)，與CBH方法相比并沒有明顯增加。因此，該方法具有較高的計算效率。

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A modal synthesis method based upon dynamic stiffness on interface

ZHUYun,ZHANGMei-yan,TANGGuo-an

(Department of Mechanics and Engineering Science , Fudan University , Shanghai 200433 , China)

A new modal synthesis method is proposed in this paper for reducing errors caused by higher order modal truncations. Through series expansion, the dynamic stiffness on substructure interface is represented by the normal mode of the fixed-interface substructure. In addition, geometrical compatibility and force equilibrium on substructure interface are employed in the modal synthesis of the dynamic stiffness. Thus, a new methodology of substructure synthesis is obtained. The higher order force equilibrium on the substructure interface is employed to achieve the model reduction. Compared to Craig-Bampton method, this method keeps the contribution of the higher order terms of the truncated modes so that it can improve the accuracy of the modal synthesis. The deduction doesn′t introduce the assumption of the diagonal mass matrix which makes the method more general. The numerical result is given to show the effectiveness of the method.

dynamic substructure; mode synthesis; dynamic stiffness

2013-12-30；

2014-06-30

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202052)

O326;V214.1

A

1004-4523(2015)03-0345-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.002

諸赟(1984—)，男，博士研究生。電話：(021)58598280;E-mail: 072029014@fudan.edu.cn

唐國安(1952—)，男，教授。E-mail: tangguoan@fudan.edu.cn