馬 茜，米洪海

(1.軍事交通學院基礎部，天津300161;2.北京師范大學珠海分校應用數(shù)學學院，廣東珠海519085)

包含度刻劃的是一集合被另一集合包含的程度的量，是包含關系的定量描述，它包容了“關系”的不確定性。包含度理論同模糊集理論相輔相成，成為研究不確定性問題的重要工具。不同的包含度的具體形式各有優(yōu)劣，為了應用時能夠有更多模糊粗糙集的包含度的具體形式可供選擇，給出模糊粗糙集的包含度的生成方法很有意義［1－2］。本文給出了L－模糊集的包含度的性質，在此基礎上定義了Nanda意義下模糊粗糙集的包含度，利用所證的包含度的性質給出了模糊粗糙集包含度的生成方法，最后從另一角度通過構造某些函數(shù)進一步討論了強包含度的生成問題。

1 包含度的性質

定義1 設(L，≤)是非空偏序集，若映射D:L×L→［0，1］，對任意的 α，β，γ∈L 滿足:當 α≤β時，D(β/α)=1;當 α≤β≤γ 時，D(α/γ)≤D(α/β)，則稱D為L上的包含度函數(shù)，D(β/α)為α在β中的包含度。若當 α≤β≤γ 時，D(α/γ)≤D(α/β)∧D(β/γ)，則稱 D 為強包含度函數(shù)，D(β/α)為α在β中的強包含度。

定義 2［3］映射 T:［0，1］×［0，1］→［0，1］稱為三角模，如果對?a，b，c，d∈［0，1］滿足:T(a，1)=a;T(a，b)=T(b，a);T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c));T(a，b)≤T(c，d)(a≤c，b≤d)。若T(a，1)=a 改為 T(0，a)=a，稱 T 為反三角模，記為S。

定義3［4］L－模糊集為給定論域U上的一個映射U→L，其中(L，≤，＇)是一個帶有一元逆序對合算子＇的完備格。

設 U1，U2，…，Un為論域，U=U1× U2× … ×Un，F(xiàn)L(Ui)是 Ui上 L－模糊集組成的集合，i=1，，式中

定理1 設 D1、D2分別為 FL(U1)、FL(U2)上的(強)包含度，則 D(B/A)=TS(D1(B1/A1)，D2(B2/A2))是 H2(U)上的(強)包含度，其中，TS 表示三角?；蚍慈悄?。

證 以反三角模為例，證強包含度時成立。

(1)顯然0≤D(B/A)≤1;

(2)A?B?A1?B1，A2?B2?D1(B1/A1)=1，D2(B2/A2)=1?D(B/A)=S(D1(B1/A1)，D2(B2/A2))=1;

(3)A?B??Ai?Bi?Ci，i=1，2?

D1(A1/C1)≤ D1(A1/B1)∧ D1(B1/C1)，D2(A2/C2)≤D2(A2/B2)∧D2(B2/C2)

D(A/C)=S(D1(A1/C1)，D2(A2/C2))≤S(D1(A1/B1)，D2(A2/B2))=D(A/B)

D(A/C)=S(D1(A1/C1)，D2(A2/C2))≤S(D1(B1/C1)，D2(B2/C2))=D(B/C)

故 D(A/C)≤D(A/B)∧D(B/C)，故 D(B/A)是H2(U)上的強包含度。

定理1可用于遞推生成Hn(U)上的(強)包含度，由于三角模與反三角模有多種具體形式，從而可在Hn(U)上生成多種形式的(強)包含度。

推論1

式(1)—(4)都是Hn(U)上的(強)包含度，其中 N1、N2是{1，2，…，n}的任意兩個互補的子集。

定義4［3］設(U，≤1)和(V，≤2)是兩個非空偏序集，若映射 g:U→V 對?A1，A2∈U，當A1≤1A2時，有g(A1)≤2g(A2)，則稱g為保序映射。

定理 2［3］設 g 是(U，≤1)到(V，≤2)上的保序映射，D是(V，≤2)上的(強)包含度函數(shù)，則D＇(B/A)=D(g(B)/g(A))是(U，≤1)上的(強)包含度函數(shù)，其中A，B∈U。

2 模糊粗糙集的包含度

定義5［5］設 U為一非空集合，(L，≤)為一格，B為U上所有子集構成的布爾代數(shù)的子布爾代數(shù)，一粗糙集 X=(XL，XU)∈B2并且 XL?XU，則X中的一模糊粗糙集 A=(AL，AU)由一對映射μAL、μAU刻劃:

為了簡便，記X中模糊粗糙集全體構成的集合為 FR，粗糙集全體構成的集合為 R，μAL為AL(x)。

定理3 設 A=(AL，AU)∈FR，X=(XL，XU)∈R，則(FR(X)，?)為偏序集。

定義6 設FR(X)為X上模糊粗糙集組成的集合，若存在映射 DR:FR(X)×FR(X)→［0，1］，對?A=(AL，AU)，B=(BL，BU)，C=(CL，CU)∈FR(X)滿足:當 A?B 時，DR((BL，BU)/AL，AU)=1;當 A?B?C 時，DR((AL，AU)/(CL，CU))≤DR((AL，AU)/(BL，BU))。則稱 DR為 FR(X)上的包含度函數(shù)，DR((BL，BU)/(AL，AU))為 A 在 B 中的包含度。把 DR((BL，BU)/(AL，AU))簡記為DR(B/A)。

若當A?B?C時，DR(A/C)≤DR(A/B)∧DR(B/C)，則稱DR為FR(X)上的強包含度函數(shù)，DR(B/A)為A在B中的強包含度。

3 模糊粗糙集包含度的生成

設FR(X)為X上粗糙集組成的集合，定義映射 g:FR(X)→H2(U)，g((AL，AU))=AL× AU，易證g為保序映射。這樣就可利用(H2(U)，?)上的(強)包含度生成FR(X)上的(強)包含度。

定理4 設 FRL={AL|(AL，AU)∈FR(X)}，F(xiàn)RU={AU|(AL，AU)∈FR(X)}，DL、DU分別為FRL、FRU上的(強)包含度，則

證明由前面的定理容易推出。

下面拋開三角模與反三角模，從另一個角度通過構造某些函數(shù)由已知的(強)包含度生成新的(強)包含度。

定理5 設D是FR(X)上的強包含度，映射h:［0，1］2→［0，1］滿足 h(1，1)=1，h(a，b)關于a、b是非減函數(shù)，則D＇(B/A)=h(D(B/A)，D(ˉA/ˉB))是FR(X)上的強包含度函數(shù)。

證 (1)?A，B∈FR(X)，A?B?D(B/A)=1。

因 A?B?AL(x)≤BL(x)，?x∈XL，AU(x)≤BU(x)，?x∈XU;

同理可證 D＇(A/C)≤D＇(B/C)，故 D＇(A/C)≤D＇(B/C)∧D＇(A/B)，故 D＇是強包含度。

值得注意的是此定理當D為包含度時是推不出D＇為包含度的。

定理6 設 D1、D2是 FR(X)上的(強)包含度，映射 h:［0，1］2→［0，1］滿足:h(1，1)=1，h(a，b)關于 a，b 非減，則 D(B/A)=h(D1(B/A)，D2(B/A))是FR(X)上的(強)包含度函數(shù)。

證 以強包含度為例證。

(1)?A，B∈FR(X)，A?B?D1(B/A)=1，D2(B/A)=1?D(B/A)=h(1，1)=1;

(2)A?B?C?D1(A/C)≤D1(A/B)，D2(A/C)≤D2(A/B)?

h(D1(A/C)，D2(A/C))≤ h(D1(A/B)，D2(A/B))?D(A/C)≤D(A/B)。

同理可證 D(A/C)≤D(B/C)，故 D(A/C)≤D(B/C)∧D(A/B)，故 D是 FR(X)上的強包含度函數(shù)。

4 結語

包含度理論同模糊集理論相輔相成，成為研究不確定性問題的重要工具。不同的包含度的具體形式各有優(yōu)劣，為了應用時能夠有更多的模糊粗糙集的包含度的具體形式可供選擇，給出模糊粗糙集的包含度的生成方法是有意義的。近年來，包含度在人工智能、模式識別等領域都有著廣泛的應用，而模糊粗糙集包含度理論的豐富又極大地促進了包含度的應用。

［1］ 張文修，梁廣錫，梁怡.包含度及其在人工智能中的應用［J］.西安交通大學學報，1995，29(8):111-116.

［2］ 程國勝，徐宗本.包含度族的一些性質［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學，1999，13(2):7-11.

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