王紅霖 焦朋朋 孫文博

（1.北京建筑大學(xué)北京市城市交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)工程技術(shù)研究中心 北京100044；2.航天長征化學(xué)工程股份有限公司 北京101111）

0 引 言

作為系統(tǒng)解決城市交通問題的重要手段之一，智能交通系統(tǒng)（intelligent transportation system，ITS）是建立在正確分析交通流實(shí)時以及未來分布形態(tài)的基礎(chǔ)之上，這一分析需要建立城市動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)分析模型，而動態(tài)路段走行時間函數(shù)是其重要組成部分。

在動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)中，由于引入了時間維度，動態(tài)OD、路段流量、路段走行時間等都是時間序列變量，在這種情況下，必須建立適用于動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)分析的動態(tài)路段走行時間函數(shù)。然而，到目前為止，國內(nèi)外的學(xué)者們還沒有找到1種動態(tài)路段走行時間函數(shù)的合適形式。如果不討論其細(xì)節(jié)，動態(tài)路段走行時間函數(shù)一般被認(rèn)為是路段的自由流行程時間加上在路段的下游節(jié)點(diǎn)處由于交通擁擠而產(chǎn)生的延誤時間之和。動態(tài)路段走行時間最早出現(xiàn)在動態(tài)交通分配模型中，Merchant和Nemhauser［1］在對動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化（DSO）問題建模時，認(rèn)為路段駛出率是關(guān)于路段交通量的比例函數(shù)，進(jìn)而提出了離散型的動態(tài)路段走行時間模型；Wie等［2］假設(shè)路段駛出率函數(shù)與路段交通量負(fù)荷有關(guān)，同M-N模型具有高度的一致性；Daganzo［3］根據(jù)前人對動態(tài)交通分配模型的研究，認(rèn)為每個時刻進(jìn)入路段的車輛行程時間與該路段的交通狀態(tài)相關(guān)，而路段的交通狀態(tài)與路段的駛?cè)肼?、駛出率和交通量相關(guān)，據(jù)此建立了動態(tài)路段走行時間函數(shù)的一般形式；在一般形式的基礎(chǔ)之上，Kuwahara和 Akamatsu［4］在 對 動 態(tài) 用 戶 最 優(yōu)（DUO）問題建模時，將路段中車輛看作點(diǎn)，認(rèn)為路段中節(jié)點(diǎn)前方的車輛排隊長度為0，采用了點(diǎn)排隊模型建立了動態(tài)路段走形時間函數(shù)；袁振洲［5］根據(jù)車流波動理論，提出基于車流集散波理論確定交叉口前車輛長度的方法，可稱為車流集散波法；而宋志勇［6］認(rèn)為忽略路段中的車輛排隊長度是不合理的，考慮了路段中車輛的長度建立了有度排隊的車輛走行時間模型。Daganzo［7－8］提出了交通流元胞傳輸模型（cell transmission model，CTM），該模型重現(xiàn)了著名的LWR模型（Lighthill和 Whitham［9］以及 Richard［10］）的一些重要特征，可以清楚地描述排隊的物理效應(yīng)以及一些交通流動力學(xué)特性，對描述波動較大的交通流特性有相當(dāng)優(yōu)勢。Ziliaskopoulos［11］提出的動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)的動態(tài)交通分配模型中，在交通流的元胞傳輸模型基礎(chǔ)上求解動態(tài)路段走形時間。

相比于以往成果，筆者研究的重點(diǎn)是利用元胞自動機(jī)NaSch模型來描述動態(tài)路段交通流，并在此基礎(chǔ)上建立動態(tài)路段走行時間模型。在這一模型中，時間、空間、速度都被整數(shù)離散化，路段被劃分為離散的元胞，隨著元胞劃分?jǐn)?shù)量的增加，路段交通流的微觀描述就更加細(xì)致［12］，模型求解精度就更加良好。

1 元胞自動機(jī)交通流模型

元胞自動機(jī)（cellular automata，CA）是1種時空離散的局部動力學(xué)模型，是研究復(fù)雜系統(tǒng)的1種典型方法，特別適合用于空間復(fù)雜系統(tǒng)的時空動態(tài)模擬研究［13］。Nagel和Schreckenberg在元胞自動機(jī)第184號規(guī)則的基礎(chǔ)上提出了一維交通流 CA 模型［14］。

在NaSch模型中時間步長一般取1s，道路被劃分為L個元胞，每輛車長度為l個元胞，速度取｛0，1，…，vmax｝ ，每個元胞的狀態(tài)或者是空的，或者被車輛車占據(jù)。用車輛的速度vn和位置xn表示第n輛車的狀態(tài)，令dn＝xn＋1－xn表示第n輛車與前車之間的空的元胞數(shù)。該模型在1個時間步長t→t＋1過程中，按照如下規(guī)則進(jìn)行演化更新。

1）車輛加速過程。若vn＜vmax，則vn→min（vn＋1，vmax）。

2）車輛減速過程。若dn≤vn，則vn→min（vn，dn－1）。

3）車輛隨機(jī)慢化過程（以隨機(jī)概率p慢化）。vn→ max（vn－1，0）。

4）車輛位置更新。xn→xn＋vn。

除了更新方式外，要完成模型的數(shù)值模擬還必須確定邊界條件，NaSch模型的邊界條件為：

1）周期性邊界條件。在每次更新結(jié)束后，我們要檢測道路上頭車的位置，那么這輛車將從道路的另一端進(jìn)入系統(tǒng)，變?yōu)榈缆飞系奈曹嚒?/p>

2）開口邊界條件。在t→t＋1時刻，在道路上的車輛更新完成后，檢測道路上的頭車和尾車的位置xlead和xlast。若果xlast＞vmax，則車速為vmax的車輛將以概率α進(jìn)入元胞min［xlast－vmax，vmax］［15］。在道路的出口處，如果xlead＞Lroad，那么道路上的頭車以概率β駛出路段，而緊跟其后的第二輛車成為新的頭車。

2 動態(tài)路段走行時間計算模型

圖1 累積車輛數(shù)曲線Fig.1 Cumulative arrival and departure curves

已知初始路段車輛到達(dá)率以及路段上車輛數(shù)后，經(jīng)過元胞自動機(jī)系統(tǒng)演化，可以得到累積駛?cè)胲囕v數(shù)曲線和累積駛出車輛數(shù)曲線（見圖1），進(jìn)而得到關(guān)于車輛進(jìn)入路段時刻的走行時間函數(shù)。yi（t），累積流入車輛數(shù)為Yi（t），路段最后1個元胞的單位流出流量為yo（t），累積流出量為Yo（t），初始路段上的車輛數(shù)為x（0），由圖1可見，當(dāng)Yi（t）＝Y(jié)ot＋τ（）（）t時，τ（）t即為時刻t進(jìn)入路段的車輛的走行時間。

NaSch模型的時間維度是離散的，累積車輛數(shù)曲線是1條離散點(diǎn)連接成的曲線，因此，以一定的時間步長Δt為基點(diǎn)，路段走行時間計算方法如下。

車輛在第k個時段進(jìn)入路段，此時，累積流入車輛數(shù)為Yi（k），如果在k＋m個時段第k個時段進(jìn)入路段的車輛全部流出，即累積流出車輛數(shù)Y0（k＋m）＝Y(jié)i（k），則第k個時段進(jìn)入路段的車輛的走行時間為：mΔt

如果累積流入車輛數(shù)與累計流出車輛數(shù)存在這樣的關(guān)系：Yi（t）＞Yo（t＋mΔt）且Yi（t）＜Yo（t＋ （m ＋1）Δt），那么路段的行程時間為：

通過上述方法計算出的路段走行時間函數(shù)，可以計算出任意時刻進(jìn)入路段車輛的走行時間。由以上模型可知，當(dāng)路段有車輛進(jìn)出時，模型可以準(zhǔn)確計算出該車輛的走行時間；當(dāng)沒有車輛進(jìn)出時，模型無法計算出路段走行時間函數(shù)。這就是說，模型的精度隨路段車流量的增減而增減，路段走行時間是關(guān)于車輛進(jìn)入路段時間的函數(shù)，對應(yīng)的是車輛個體，這一點(diǎn)恰好滿足了對于路段走行時間函數(shù)的需求。

3 模型求解及數(shù)值分析

3.1 模型求解

在Matlab平臺上設(shè)計了基于元胞自動機(jī)NaSch模型的單車道交通流仿真程序。仿真系統(tǒng)由主程序及路段車輛位置初始化器、路段車輛速度初始化器、前方車輛查詢器、首車查詢器、尾車查詢器、首車更新器、隨機(jī)慢化器、駛?cè)胲囕v及駛出車輛生成器等子函數(shù)組成。輸出內(nèi)容包括車輛行駛軌跡的時空分布圖、累積駛?cè)腭偝鲕囕v函數(shù)圖、以及關(guān)于車輛駛?cè)霑r刻的走行時間與車流量、平均車速之間的關(guān)系。求解程序流程圖見圖2。

3.2 數(shù)值分析

根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)計1個長度為150個元胞的路段，允許最大行駛速度為每個單位時間間隔3個元胞。駛?cè)胲囕v按泊松分布到達(dá)，每個單位時間間隔到達(dá)率為0.25，駛出車輛每周期按概率0.9離開路段，路段初始車輛數(shù)為20輛。

圖2 求解程序流程圖Fig.2 Flow diagram of solution

3.2.1 車輛運(yùn)動時空圖

路段每單位間隔更新車輛位置，程序?qū)⒂涗浵旅總€時刻的車輛位置，最終形成時間－位置矩陣，進(jìn)而得到車輛時空圖［16］，見圖3。

圖3 車輛運(yùn)動時空圖Fig.3 Space-time diagram of vehicles movement

圖3 顯示了本次仿真的車輛運(yùn)動時空圖，圖中縱軸為時間軸，方向自上而下，橫軸為位移軸，方向自左而右。該圖反映出了本次仿真中的實(shí)際交通狀況，從圖中可以清晰地看出，路段交通流發(fā)生了多次自發(fā)性擁堵。特別是圖片居中靠下部分1條自上而下的1條擁堵帶，十分明顯（圖中方框部分）。這個擁堵對于后面車輛產(chǎn)生回滯波，使得排隊不斷后移，使下游交通受到了較大的影響。以上現(xiàn)象與現(xiàn)實(shí)交通流運(yùn)行狀況相吻合，說明本次次仿真實(shí)驗(yàn)具有較大可信度。但在實(shí)際情況中可能存在一些突發(fā)狀況，比如交通事故、惡劣天氣等，在這些狀況下可能會存在仿真結(jié)果與現(xiàn)實(shí)狀況相差較大。

3.2.2 累積駛?cè)?、駛出車輛函數(shù)

根據(jù)模型求解中設(shè)計的程序可知，車輛按一定概率駛?cè)肼范危?dāng)車輛進(jìn)入路段時，計數(shù)器開始記錄累積駛?cè)胲囕v，同樣出口計數(shù)器也記錄了累積駛出車輛數(shù)。

根據(jù)出入口計數(shù)器的數(shù)據(jù)得到了如圖4所示的車輛累積駛?cè)?、駛出函?shù)曲線。圖中縱軸表示累積車輛數(shù)，橫軸代表時間，實(shí)線表示累積駛?cè)胲囕v函數(shù)曲線，點(diǎn)劃線表示累積駛出車輛函數(shù)曲線。

圖4 累積駛?cè)?、駛出車輛函數(shù)Fig.4 Cumulative arrival and departure functions

由圖4可見，駛?cè)牒婉偝鲕囕v函數(shù)曲線的縱向距離隨時間的變化，體現(xiàn)出路段車流量的變化。通過分析還能得出路段車輛的分布狀態(tài)，若駛?cè)胲囕v曲線變陡，駛出車輛曲線變緩則說明車輛集中分布在上游入口處，而相反則表示是車輛分布在下游出口處。若駛?cè)腭偝鲕囕v曲線同向變化，僅表示路段車流量的增減。

圖4中駛?cè)胲囕v曲線較為平穩(wěn)，變化不大，相比之下，駛出車輛曲線卻有較大的增減幅度變化，這說明車輛在路段內(nèi)發(fā)生了自發(fā)性擁擠排隊及消散，但上圖中曲線不能夠反映出一些突發(fā)事故導(dǎo)致的路段駛?cè)腭偝鲕囕v的突變。

3.2.3 路段走行時間函數(shù)

根據(jù)本文建立的動態(tài)路段走行時間計算模型，得到了設(shè)計路段的動態(tài)走行時間函數(shù)曲線圖，見圖5。

由于數(shù)值分析只采用了1段單車道的路段，沒有涉及到交叉口，所以仿真結(jié)果不受交叉口信號配時的影響。因此，由圖5可見，路段走行時間函數(shù)與車輛駛?cè)肼范螘r刻沒有明顯的關(guān)聯(lián)。車輛由于路段隨機(jī)的自發(fā)性擁堵導(dǎo)致延誤，而自發(fā)性擁堵不僅與車流量、速度、密度相關(guān)，更與車輛的隨機(jī)慢化相關(guān)，這表明自發(fā)性擁堵導(dǎo)致的延誤有一定的隨機(jī)性，當(dāng)車輛駛?cè)肼范螘r遇到自發(fā)性擁堵，則走行時間變長；反之，則變短。

圖5 動態(tài)路段走行時間函數(shù)圖Fig.5 Dynamic link travel time functions

另一方面，從圖中還可以看出每個走行時間的峰值對應(yīng)的左側(cè)曲線比右側(cè)曲線更陡，這說明，該點(diǎn)對應(yīng)車輛隨機(jī)慢化引起了擁堵，進(jìn)而導(dǎo)致后續(xù)車輛走行時間急劇變長，然后車輛消散，車輛走行時間逐漸變小。

3.2.4 路段走行時間函數(shù)與車流量關(guān)系

根據(jù)交通流守恒關(guān)系，已知累積駛?cè)搿Ⅰ偝鲕囕v函數(shù)，初始路段交通量，即容易得到各個時刻的車流量，進(jìn)而通過車流量和路段走行時間關(guān)于時間的一一對應(yīng)，繪出圖6所示的散點(diǎn)圖。

圖6 動態(tài)路段走行時間與車流量關(guān)系圖Fig.6 Relationship between dynamic link travel time and traffic flow

在靜態(tài)BPR函數(shù)中，行程時間是路段流量的單調(diào)遞增函數(shù)，而在動態(tài)走行時間的仿真中可以發(fā)現(xiàn)，二者并沒有太多聯(lián)系。實(shí)際上，在動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)中，影響路段行程時間的因素中，流量只是1個次要因素，根據(jù)動態(tài)交通分析中交通流的先進(jìn)先出規(guī)則，車輛進(jìn)入路段時刻路段以后的交通狀態(tài)是1個主要因素，而路段中的交通狀態(tài)是根據(jù)NaSch交通流傳播模型得到的。舉例來說，車輛在進(jìn)入路段時，車流量并不一定非常小，但仍可以保證以較快速度有序行駛，因此走行時間較短；當(dāng)車輛進(jìn)入路段中下游時，車輛通常因?yàn)殡S機(jī)慢化、減速換道等因素形成自發(fā)性擁堵排隊，或由下游信號燈導(dǎo)致的周期性排隊，這時盡管車流量可能很小，但走行時間仍然可能很長。

3.2.5 路段走行時間函數(shù)與區(qū)間平均車速關(guān)系

程序中每單位間隔更新車輛位置、速度，程序?qū)⒂涗浵旅總€時刻的車輛速度，根據(jù)區(qū)間平均車速定義求出各時刻的路段區(qū)間平均車速，進(jìn)而通過區(qū)間平均車速和路段走行時間關(guān)于時間的一一對應(yīng)，繪出如圖7所示的散點(diǎn)圖。

圖7 動態(tài)路段走行時間與區(qū)間平均車速關(guān)系圖Fig.7 Relationship between dynamic link travel time and average link speed

對于靜態(tài)的路段走行時間函數(shù)而言，其走行時間函數(shù)就等于路段長度除以路段區(qū)間平均車速。而從圖7中可以發(fā)現(xiàn)，此次模擬的交通流區(qū)間平均車速主要分布在1.6～2.2之間，不屬于自由流。路段走行時間和路段區(qū)間平均車速對應(yīng)的點(diǎn)，均勻分布在圖中的各個位置，路段走行時間與路段區(qū)間平均車速無明顯的關(guān)聯(lián)。

實(shí)際上，動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)中的路段走行時間隨不同時刻路段交通狀態(tài)而變化，反映在走行時間模型中為路段駛?cè)搿Ⅰ偝鲕嚵髁康淖兓?。路段區(qū)間平均車速不等于某一單獨(dú)的平均行駛速度，因此也就無法準(zhǔn)確描繪出各時刻車輛的路段走行時間。

4 結(jié)束語

通過對動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)中交通流的傳播模型進(jìn)行研究，利用元胞自動機(jī)NaSch交通流模型，建立了動態(tài)路段走行時間計算模型，并在Matlab平臺上基于元胞自動機(jī)NaSch模型設(shè)計了單車道交通流仿真程序進(jìn)行了數(shù)值分析。

交通流仿真程序輸出了車輛行駛軌跡的時空分布圖，能夠很好地重現(xiàn)眾多實(shí)際交通現(xiàn)象，準(zhǔn)確清晰的顯示出交通流波動狀態(tài)，表明NaSch交通流模型能夠很好地為動態(tài)交通網(wǎng)絡(luò)分析提供路網(wǎng)交通流傳播模式。

根據(jù)累積駛?cè)腭偝鲕囕v函數(shù)圖可知交通流狀態(tài)在路網(wǎng)中時時發(fā)生變化，結(jié)合路網(wǎng)交通流傳播的FIFO規(guī)則及累積駛?cè)?、駛出車輛函數(shù)能夠得到各時刻進(jìn)入路段車輛的走行時間，比靜態(tài)交通規(guī)劃中的路段走行時間更為復(fù)雜；由路段走行時間與車流量和區(qū)間平均車速之間的關(guān)系圖可知，由于沒有考慮到路段交通狀態(tài)的實(shí)時變化，任何靜態(tài)的交通參數(shù)，如車流量，區(qū)間平均車速等，都不能準(zhǔn)確適當(dāng)?shù)姆从硨?shí)際的動態(tài)路段走行時間的變化。

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