張潤(rùn)民 夏井新 黃 衛(wèi)

（東南大學(xué)智能運(yùn)輸系統(tǒng)研究中心 南京210096）

0 引 言

短時(shí)交通流預(yù)測(cè)是智能交通系統(tǒng)的重要組成部分，它是實(shí)現(xiàn)城市道路交通先進(jìn)控制與誘導(dǎo)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，因此與其相關(guān)的理論和應(yīng)用研究已成為交通領(lǐng)域的研究重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一。在過去的幾十年里，研究者們做了大量的工作并提出了各種的短時(shí)交通流預(yù)測(cè)模型，它們大致可以分為7類：基于統(tǒng)計(jì)方法的模型、動(dòng)態(tài)交通分配模型、交通仿真模型、非參數(shù)回歸模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、基于混沌理論的模型、綜合模型等［1，2］。在眾多的短時(shí)交通量預(yù)測(cè)模型中，基于統(tǒng)計(jì)理論中最優(yōu)估計(jì)的卡爾曼濾波模型由于具有預(yù)測(cè)因子選擇靈活、模型參數(shù)少、計(jì)算效率高、在線預(yù)測(cè)能力強(qiáng)等特點(diǎn)，在交通流量預(yù)測(cè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。

卡爾曼濾波是Kalman［3］于1960年提出的1種最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)方法，可以應(yīng)用于受隨機(jī)干擾的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。該算法由一系列遞歸數(shù)學(xué)公式組成，它們提供了1種高效可計(jì)算的方法來估計(jì)過程的狀態(tài)，并使估計(jì)均方誤差最小?？柭鼮V波器應(yīng)用廣泛且功能強(qiáng)大：它可以估計(jì)信號(hào)的過去和當(dāng)前狀態(tài)，甚至能估計(jì)將來的狀態(tài)，即使并不知道模型的確切性質(zhì)［4］。Okutani等［5］最先將卡爾曼濾波算法應(yīng)用于交通流量預(yù)測(cè)并取得了令人滿意的計(jì)算結(jié)果，Whittaker等［6］將卡爾曼濾波算法應(yīng)用于城際公路的交通量預(yù)測(cè)，楊兆升等［7］提出了基于卡爾曼濾波理論的交通流實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)模型，Yue［8］對(duì)在相鄰位置觀察到的交通流進(jìn)行時(shí)空關(guān)系分析，建立了時(shí)空卡爾曼濾波模型。此外，還陸續(xù)發(fā)展出各種基于卡爾曼濾波算法的混合預(yù)測(cè)模型和組合測(cè)模型［9–15］。

現(xiàn)有基于卡爾曼濾波的交通量預(yù)測(cè)模型中，狀態(tài)變量會(huì)被假設(shè)為平穩(wěn)的，并采用單位矩陣作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；然而城市交通流一般具有明顯的動(dòng)態(tài)性，因此采用時(shí)變矩陣作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，將更能符合實(shí)際情況。另一方面，現(xiàn)有模型通常只采用交通流量信息作為輸入數(shù)據(jù)，沒有包括其他的交通狀態(tài)變量；但隨著科技的不斷進(jìn)步，安裝在道路上的檢測(cè)設(shè)備除了能夠獲取交通流量信息外，還可以同時(shí)得到諸如速度、占有率、車頭時(shí)距等其他的交通相關(guān)信息，而根據(jù)交通流理論可知，速度是與交通流量密切相關(guān)的，因此若能充分利用已知的速度信息，則有望進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。

1 利用速度信息改進(jìn)預(yù)測(cè)模型

1.1 基于卡爾曼濾波的短時(shí)交通量預(yù)測(cè)模型

利用卡爾曼濾波算法進(jìn)行交通流量預(yù)測(cè)時(shí)，一般假設(shè)某路段l在τ＋k時(shí)段的交通量z（τ＋k）是各上游路段ei（i＝1，2，…，m）在τ時(shí)段及之前r個(gè)時(shí)段的交通量f（τ），f（τ－1），…，f（τ－r）的線性函數(shù)

式中：Hj（τ）（j＝0，1，…，r）為參數(shù)矩陣；f（τ）＝ ［f1（τ），f2（τ），…，fn（τ）］T為各上游路段交通量組成的向量，w（τ）為誤差項(xiàng)。設(shè)

則式（1）可改寫為以下形式

同時(shí)令

式中：B（τ；τ－1）為參數(shù)矩陣；u（τ－1）為誤差項(xiàng)。經(jīng)上述變換后，以式 （5）作為觀測(cè)方程，式（6）作為狀態(tài)方程，便可得到1個(gè)狀態(tài)空間模型，繼而可以利用如下的卡爾曼濾波算法遞推方程組，對(duì)狀態(tài)變量x（τ）的估計(jì)值＾x（τ）進(jìn)行求解

式中：K（τ）為卡爾曼增益矩陣；P（τ｜τ－1）和P（τ）分別為＾x（τ｜τ－1）和＾x（τ）的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣；Q（τ）為系統(tǒng)過程噪聲w（τ）的協(xié)方差矩陣；R（τ）為觀測(cè)噪聲u（τ）的協(xié)方差矩陣，均為對(duì)稱非負(fù)定矩陣。

1.2 模型的改進(jìn)

在基于卡爾曼濾波的短時(shí)交量預(yù)測(cè)模型中，通常會(huì)假設(shè)狀態(tài)變量x（τ）是平穏的，因而狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣B（τ；τ－1）可取單位矩陣I，使得式（6）簡(jiǎn)化為

上述的狀態(tài)變量x（τ）是由式（1）中的系數(shù)矩陣Hi（τ）所組成，通過分析交通流運(yùn)作機(jī)理可知，Hi（τ）的取值主要會(huì)受到2方面的因素影響：①上游車輛的路徑選擇；②車輛的行程時(shí)間。由于車輛的行程時(shí)間是隨著路面的交通狀況而變化的，具有一定的時(shí)變特性，若狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣B（τ；τ－1）的取值選為時(shí)間變量τ的函數(shù)而非固定值，令x（τ）具有適當(dāng)?shù)膭?dòng)態(tài)性，會(huì)更符合實(shí)際情況。

假設(shè)車輛從上游路段ei的檢測(cè)斷面到達(dá)目標(biāo)路段l的檢測(cè)斷面所經(jīng)歷的行程時(shí)間為ξei，l，則ξei，l與該行程上的行駛速度vei，l的倒數(shù)有關(guān)，因此vei，l應(yīng)該是影響狀態(tài)變量x（τ）的因素之一；另一方面，根據(jù)交通流理論，速度是描述交流狀態(tài)的主要指標(biāo)之一，因此在式（6）中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣B（τ；τ－1）應(yīng)與速度信息有關(guān)。然而，vei，l隨時(shí)間和位置變化，要準(zhǔn)確獲得其數(shù)值將需要采用復(fù)雜的檢測(cè)技術(shù)并且費(fèi)用高昂，因而在實(shí)際操作上往往并不可行。嘗試?yán)每色@取的斷面平均車速來對(duì)其進(jìn)行近似估計(jì)。將路段l及其上游路段ei在τ時(shí)段內(nèi)所檢測(cè)到的車輛平均速度（τ）及（τ）的算術(shù)平均值（τ）＋（τ））／2作為整個(gè)行程的平均速度i的近似值，亦即以起點(diǎn)及終點(diǎn)的速度來估算整個(gè)行程的平均速度，則行程時(shí)間ξei，l與2／（τ）＋（τ））相關(guān)。然而，兩者之間的具體函數(shù)關(guān)系尚未能決定，因此一般可假設(shè)ξei，l與2／（τ）＋（τ））的n次方相關(guān)。其中：n為待定系數(shù)。顯然，除了n＝0和n＝1的情況外，都將會(huì)出現(xiàn)非線性關(guān)系?？紤]到所采用的卡爾曼濾波模型屬于線性模型，為避免引入非線性項(xiàng)，因此對(duì)上述變量之間的相關(guān)性進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，由于［2／（（τ）＋（τ））］n取 對(duì) 數(shù) 后 轉(zhuǎn) 化 為n×［ln（2）－ln（τ）＋（τ））］，因此不管n的實(shí)際值是多少，該表達(dá)式均保持為線性的。

按照以上的分析，則式（6）中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣B（τ；τ－1）采用由（r＋1）×m 個(gè)元素bj，i（τ；τ－1），（j＝0，1，2，…，r；i＝1，2，…，m）組成的對(duì)角陣組成的對(duì)角陣，具體形式如下

其中的對(duì)角元素bj，i（t；s）按如下方式取值

由于待定系數(shù)n同時(shí)出現(xiàn)在分子和分母，因而相互抵消掉，所以無需對(duì)其進(jìn)行求值。而按照式（13）及式（14）定義的B（t；s）能滿足以下要求［16］

此外，當(dāng)各路段上的速度保持穩(wěn)定不變時(shí)，對(duì)角元素bj，i（t；s）的值將全部等于1，狀態(tài)矩陣B（t；s）將退化為單位矩陣，假設(shè)x（τ）為平穏時(shí)所得的模型一致。

2 模型性能評(píng)估

為檢驗(yàn)由式（5）、（6）、（13）及（14）所組成的改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)效果，本文利用由微波車輛檢測(cè)器采集的昆山市城市道路斷面交通流量和車輛平均速度數(shù)據(jù)來進(jìn)行預(yù)測(cè)試驗(yàn)。選取了前進(jìn)西路由東往西方向以及長(zhǎng)江中路由南往北方向各1個(gè)路段（以下分別稱為路段1及路段2）作為研究對(duì)象，前者屬于城市主干道，而后者則屬于省道。數(shù)據(jù)采集日期為2012年9月24～27日，采集時(shí)間為全天24h，采樣間隔為15min。利用2種模型進(jìn)行交通量預(yù)測(cè)對(duì)比分析，并假設(shè)目標(biāo)路段的交通量與上游路段交通量的關(guān)系對(duì)應(yīng)于式（1）中k＝r＝1的情況，原模型采用單位矩陣作為狀況轉(zhuǎn)移矩陣，而改進(jìn)模型則按式（13）及（14）確定狀況轉(zhuǎn)移矩陣。預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1、圖2所示。

為了能夠評(píng)價(jià)和比較預(yù)測(cè)試驗(yàn)的結(jié)果，將使用如下幾個(gè)性能指標(biāo)進(jìn)行分析

平均相對(duì)誤差

平均絕對(duì)相對(duì)誤差

圖1 路段1的預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.1 Forecasting results of road segment I

圖2 路段2的預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.2 Forecasting results of road segment II

最大絕對(duì)相對(duì)誤差

相對(duì)誤差平方和均值平方根

均等系數(shù)

上述各式中，n為樣本數(shù)；yi為實(shí)際觀測(cè)值；＾yi為預(yù)測(cè)值。均等系數(shù)EC反應(yīng)了預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的擬合度，一般在0.9上為比較好的擬合；而其余各項(xiàng)誤差指標(biāo)的數(shù)值越小，預(yù)測(cè)效果越好，反之預(yù)測(cè)效果越差。2種模型的預(yù)測(cè)結(jié)果（從第20項(xiàng)開始計(jì)算）比較如表1所示，改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果在各項(xiàng)誤差指標(biāo)上均優(yōu)于原模型，說明了在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中引入速度信息能有助進(jìn)一步提高模型的預(yù)測(cè)精度。而對(duì)于交通量急速變化的時(shí)段，提高的幅度更為明顯。例如路段一在每天17：00～19：00時(shí)的時(shí)段，原模型的平均絶對(duì)相對(duì)誤差（MARE）為0.084 5，而改進(jìn)模型則為0.072 0，降低了14.8%。這是由于交通量的急速變化將會(huì)導(dǎo)致路段的平均速度明顯改變，改進(jìn)模型具有反映速度變化的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，所以能作出更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)；但當(dāng)路段的平均速度變化幅度不大時(shí)，改進(jìn)模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣將近似于單位矩陣，亦即與原模型非常相似，此時(shí)兩者的預(yù)測(cè)結(jié)果十分接近。

表1 交通量預(yù)測(cè)結(jié)果比較Tab.1 Comparison of traffic volume forecasting results%

3 結(jié)束語

筆者在分析城市道路交通流時(shí)空關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)流量與速度的相關(guān)性，采用與速度信息相關(guān)的時(shí)變矩陣作為卡爾曼濾波預(yù)測(cè)模型中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，從而建立了1種改進(jìn)的短時(shí)交通流量預(yù)測(cè)模型。該模型放松了對(duì)狀態(tài)變量的平穩(wěn)性要求，并充分利用了現(xiàn)代交通檢測(cè)設(shè)備所采集到的各類信息，能更好地反映交通流的時(shí)變特性。其算法簡(jiǎn)單、易于編程實(shí)現(xiàn)，亦能滿足實(shí)時(shí)應(yīng)用的要求。今后可以進(jìn)一步研究把占有率和車頭時(shí)距等其他參數(shù)加入到狀態(tài)方程中，從而能更全面地捕捉交通流的動(dòng)態(tài)性，以期得到更能適應(yīng)各種交通環(huán)境的預(yù)測(cè)模型。

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