王小平，江 鍵，許佳捷

(第二軍醫(yī)大學(xué) 基礎(chǔ)部數(shù)理教研室，上海 200433)

波動(dòng)光學(xué)條紋公式及其條紋級(jí)次的討論

王小平，江 鍵，許佳捷

(第二軍醫(yī)大學(xué) 基礎(chǔ)部數(shù)理教研室，上海 200433)

文中就如何正確書寫波動(dòng)光學(xué)的條紋公式進(jìn)行了討論。從光的干涉和衍射條紋與光程差之間的關(guān)系出發(fā)，分析了楊氏雙縫、薄膜干涉和單縫衍射相關(guān)公式中正、負(fù)符號(hào)的問(wèn)題，條紋級(jí)次的取值范圍及其對(duì)應(yīng)的物理意義，并介紹了求解光柵衍射條紋數(shù)目的一般方法。

干涉；衍射；條紋公式；條紋級(jí)數(shù)

波的干涉、衍射是指由波的疊加而引起波的強(qiáng)度重新分布的現(xiàn)象。對(duì)光波而言，這種疊加區(qū)域表現(xiàn)為具有某種規(guī)律分布的明暗相間的條紋。而條紋的形狀、位置、分布、移動(dòng)以及數(shù)目等，則是光波干涉和衍射中討論的主要問(wèn)題。條紋在屏上的位置可用離開屏中心(主光軸與屏的交點(diǎn))的坐標(biāo)x或與主光軸的夾角φ來(lái)表示。一般情況下，干涉條紋的分布具有一定的對(duì)稱性，明紋之間、暗紋之間，以及明紋和暗紋之間都存在一定的函數(shù)關(guān)系，因此，常用一組整數(shù)k來(lái)對(duì)條紋進(jìn)行編號(hào)，由此可方便、簡(jiǎn)捷地描述條紋的空間位置、分布和移動(dòng)等，這組整數(shù)被稱為條紋級(jí)數(shù)(order number)或條紋級(jí)次[1]。

當(dāng)賦予了條紋級(jí)次的物理含義后，k取值時(shí)就不能只滿足光程差的關(guān)系式，還應(yīng)考慮k的取值涉及了明、暗條紋公式的關(guān)聯(lián)等。因此，何種情況下k的取值不能為零？什么情況下條紋公式中不出現(xiàn)“±”符號(hào)？k的最大值及其數(shù)目是多少？對(duì)這些問(wèn)題的討論，將有助于對(duì)光程差、相位差以及條紋空間分布等概念的理解和掌握。

1 楊氏雙縫干涉條紋級(jí)數(shù)的取值

現(xiàn)將國(guó)內(nèi)影響力較大的一些教材[1-4]中，有關(guān)楊氏雙縫干涉條紋公式部分摘錄如下[3]：按干涉條件，若相位差Δφ=±2kπ(k=0,1,2,3，…)，即

δ=±kλ(k=0,1,2,3，…)

(1)

則相遇點(diǎn)P處是亮紋(各明紋中心最亮的點(diǎn))，相應(yīng)明條紋的坐標(biāo)

(2)

式中：k=0，相應(yīng)于在O點(diǎn)處的中央明條紋；k=1，k=2，…，相應(yīng)的明條紋，分別稱為第一級(jí)明紋，第二級(jí)明紋，……

如果P處是暗的，按干涉條件則有

(3)

(4)

式(3)和式(4)中等號(hào)右端的“±”號(hào)表示明、暗條紋在中央明條紋(k=0)兩側(cè)對(duì)稱分布。由于相鄰級(jí)次明條紋(或暗條紋)相應(yīng)的光程差相差一個(gè)波長(zhǎng)，條紋的級(jí)次越高，其相應(yīng)的光程差越大，級(jí)次高的條紋離開中央明紋距離越遠(yuǎn)。

我們注意到上述教材給出的光程差或條紋公式中k的取值均有0項(xiàng)，對(duì)式(2)而言物理意義明確，然而對(duì)式(4)而言則出現(xiàn)了“0級(jí)暗紋”，而在屏中央同一處不可能同時(shí)出現(xiàn)干涉相長(zhǎng)、相消的情況，因此，屏中央不可能同時(shí)出現(xiàn)0級(jí)明紋和0級(jí)暗紋。

為避免“0級(jí)暗紋”的出現(xiàn)以及k從1開始取值又會(huì)漏掉緊挨中央明紋兩側(cè)的暗紋，式(3)和式(4)可修正為以下形式：

(5)

或

(6)

值得注意的是，“±”號(hào)放入暗紋公式中與放在k的取值前，結(jié)果是不一樣的：

2 薄膜干涉中條紋級(jí)數(shù)的取值

如前所述，條紋公式的正、負(fù)號(hào)表示同一級(jí)條紋在零級(jí)明紋兩側(cè)對(duì)稱分布，即相干光束抵達(dá)一處條紋的光程差始終大于零，而另一對(duì)稱處的光程差等值且始終小于零。因此，若疊加區(qū)域的光程差只存在始終大于零(或小于零)的情況，則條紋公式中將不出現(xiàn)“±”符號(hào)。薄膜干涉討論的是薄膜上、下表面分別反射的兩束反射光(或兩束透射光)產(chǎn)生的干涉，無(wú)論是等傾干涉還是等厚干涉，兩束反射光(或兩束透射光)的光程差只可能大于或等于零，因而在薄膜干涉公式中，無(wú)論是明紋還是暗紋，均不出現(xiàn)“±”號(hào)。

在薄膜干涉中，空氣劈尖(等厚)干涉的明紋條件為：

(7)

式中：k不取0，是因?yàn)闃?gòu)成劈尖的兩塊玻璃片相接觸處(棱邊)e=0。由于“半波損失”的存在(式中的λ/2)，即光程差不等于0而等于λ/2，為暗紋條件，故明紋的條紋級(jí)次k值須從1開始。

但是，劈尖及其上方和下方折射率滿足一定條件時(shí)，條紋級(jí)次k值也可從0開始。設(shè)劈尖的折射率為n2，其上方和下方的折射率分別為n1和n3，若n1n2>n3時(shí)。這兩種情況下，一是劈尖上下表面均有半波損失出現(xiàn)，二是劈尖上下表面均不產(chǎn)生半波損失。由此，兩束反射光均不用考慮附加光程差，式(7)則變?yōu)棣?2n2e=kλ，k取0,1,2，…，k=0對(duì)應(yīng)棱邊處的零級(jí)眀紋。

當(dāng)平行單色光垂直照射到牛頓環(huán)裝置上的平凸透鏡后，經(jīng)過(guò)空氣層上下表面反射后的兩束光存在光程差，它們?cè)谄酵雇哥R的凸面相遇后將發(fā)生干涉，形成以平面玻璃板接觸點(diǎn)為中心的一系列明暗相間的同心圓環(huán)。在接觸點(diǎn)處，d=0，但由于存在相位突變，有一個(gè)附加光程差λ/2，所以在反射光看到的牛頓環(huán)中心是暗斑，此時(shí)與空氣劈尖棱邊的情況相同。

3 單縫衍射條紋中k的取值

單縫衍射條紋的明、暗公式分三種情況

1)暗條紋中心

Δ=asinφ=±kλ(k=1,2,3,…)

(8)

2)明條紋中心

(9)

3)中央明紋中心

φ=0

(10)

上述明、暗條紋公式中，k取值均不包含0。對(duì)暗紋而言，若k=0，則φ=0，衍射角為0的方向?qū)?yīng)于光屏中心，而此處為中央明紋。故暗條紋級(jí)次的取值為k=1,2,3,…，它對(duì)稱分布在中央明紋的兩側(cè)。由式(9)可以看出，若k=0，則Δ=asinφ=±λ/2，其物理含義是單縫波陣面在±φ方向所有子波到達(dá)光屏的最大光程差為λ/2，正好為一個(gè)“半波帶”，為亮紋，但由于衍射條紋處在中央明紋區(qū)內(nèi)，并不是明紋中心。因此，單縫衍射的中央明紋是單獨(dú)討論的，即φ=0方向上為中央明紋中心。

4 光柵衍射明紋(譜線)的級(jí)次

光柵衍射圖樣是由來(lái)自每一個(gè)單縫上若干子波以及來(lái)自各單縫對(duì)應(yīng)的子波彼此相干疊加而形成，光柵衍射光強(qiáng)分布曲線的包跡(即曲線輪廓)與單縫衍射曲線強(qiáng)度曲線輪廓一樣，因此，它是單縫衍射和多縫干涉的總效果。

當(dāng)一束單色光照射在光柵上時(shí)，各狹縫的光線因衍射而向各方向傳播，經(jīng)透鏡會(huì)聚相互產(chǎn)生干涉，并在透鏡的焦平面上形成一系列明暗條紋。如圖1所示。

圖1 光柵衍射圖

有一束單色平行光與光柵的法線成i角，入射到光柵上產(chǎn)生衍射；出射光夾角為θ。從B點(diǎn)引兩條垂線到入射光C和出射光D。如果在F處產(chǎn)生了一個(gè)明條紋，其光程差CA+AD必等于波長(zhǎng)λ的整數(shù)倍，即d(sinθ± sini)=±kλ，式中θ、i均取正值，入射光線與衍射光線處在光柵法線同側(cè)取“+”,在異側(cè)取“-”；若平行光垂直入射，i=0，光柵方程變?yōu)閐sinθ=±kλ，式中k(=0,1,2,3，…)為衍射眀紋(光譜)的級(jí)次。

若平行光以與光柵的法線成i角入射到光柵時(shí)，光柵方程變?yōu)閐(sinθ± sini)=±kλ，此時(shí)垂直于光柵方向上的兩側(cè)條紋不再對(duì)稱，令sinθ=1，kml=d(1+sini)/λ，kmr=d(1-sini)/λ，顯然，其中kml比垂直入射時(shí)的km值大，而kmr比km值小。因而，在其他條件不變的情況下，傾斜入射時(shí)可以觀察到較高級(jí)次的條紋。

5 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)，明條紋公式中的條紋級(jí)次k可取零，且只取正整數(shù)；薄膜干涉條紋公式中不出現(xiàn)“±”號(hào)，劈尖干涉中明條紋級(jí)次k是否取零取決于劈尖折射率與上、下方折射率的關(guān)系，當(dāng)三方折射率不滿足n1n2>n3，k不取0；對(duì)單縫衍射而言，無(wú)論是暗紋中心還是明紋中心的公式中，條紋級(jí)次k值都不能取零；利用光柵方程(并注意是否有缺級(jí)現(xiàn)象)可求出衍射條紋的最大級(jí)次，以及可觀察的總條紋數(shù)目。總之，在波動(dòng)光學(xué)中，無(wú)論是條紋公式還是條紋級(jí)次k的取值都要有明確的物理含義，而不僅僅是數(shù)學(xué)上成立就可以。

[1]David Halliday,Robert Resnick,Jearl Walker.Fundamentals of Physics[M].8th Ed.New York：Wiley,2008：1189-1190.

[2]福里斯,季莫列娃.普通物理學(xué)(第三卷，第一分冊(cè))[M].2版.吉林大學(xué)物理系普通物理教研室，程路，譯.北京：人民教育出版社,1963:32-33.

[3]程守洙,江之永.普通物理學(xué)(第三冊(cè))[M].4版.北京：高等教育出版社,1982:8-9.

[4]母國(guó)光,戰(zhàn)元令.光學(xué)[M].北京：人民教育出版社,1979:205-206.

Discussion on Fringe Formula and Fringe Order in Interference and Diffraction

WANG Xiaoping, JIANG Jian, XU Jiajie

(Department of Mathematics and Physics, The Second Military University, Shanghai 200433, China)

Based on the physical meaning of fringe formula in interference and diffraction, this paper analyses the symbol problems of formula on Young’s double slit and thin film interference and single slit diffraction as well as discuses the values range of order number, and introduces a general method for solving the grating diffraction fringe number.

interference; diffraction; fringe formula; order number

2014-02-18；修改日期: 2014-03-29

軍隊(duì)院校物理教育教學(xué)研究基金資助課題(JWJ2012013)。

王小平(1960-)，男，學(xué)士，副教授，主要從事醫(yī)用物理學(xué)教學(xué)及科研工作。

O436.1

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2015.01.002