郝海玲， 閆景富

(1.晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 晉中 030600；2.中國石油大學(xué)(北京) 信息學(xué)院，北京 102249)

改進求解Woods-Saxon 勢 和P?schl-Teller 勢的方法

郝海玲1， 閆景富2

(1.晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，山西 晉中 030600；2.中國石油大學(xué)(北京) 信息學(xué)院，北京 102249)

用Wang的Obrechkoff數(shù)值方法來求解常見的Schr?dinger方程，即兩步高階微商。該方法的特點是采用增加奇數(shù)高階微商使得數(shù)值結(jié)果P穩(wěn)定。Schr?dinger方程中，例如一維的 Woods-Saxon勢和P?schl-Teller勢，使用該方法計算后，不僅提高了計算效率，也提高了數(shù)值結(jié)果的精度。

P穩(wěn)定；Obrechkoff 方法；Woods-Saxon勢；P?schl-Teller勢

根據(jù)Wang的多步方法穩(wěn)定性理論，把原來具有較高精度的含有偶數(shù)階微商的P穩(wěn)定兩步方法進行改進，即在增加奇數(shù)階微商后變成連續(xù)階高階微商，從而在數(shù)值結(jié)果上提高了精度，提高了效率。這種方法叫做P穩(wěn)定兩步Obrechkoff方法[1-4]。本文利用該方法數(shù)值求解一維Schr?dinger方程能量本征值，例如，常見的Morse勢[5-6]、Woods-Saxon勢[7]和P?schl-Teller勢[8-9]，著重計算后兩個方程。計算結(jié)果顯示了該方法的數(shù)值結(jié)果在效率和精度上的優(yōu)越性。

1 方法介紹

Wang的經(jīng)典兩步Obrechkoff方法使用偶數(shù)階微商，而P穩(wěn)定兩步Obrechkoff方法使用連續(xù)階高階微商，即兩邊增加奇數(shù)階微商，其結(jié)構(gòu)可以表示為

y(x+h)+y(x-h)+c0y(x)=

h(c1(y′(x+h)-y′(x-h)))+

h2(c2(y″(x+h)+y″(x-h))+

c3y″(x))+h3(c4(y(3)(x+h)-

y(3)(x-h)))+h4(c5(y(4)(x+h)+

y(4)(x-h))+c6y(4)(x))+

h5(c7(y(5)(x+h)-y(5)(x-h)))+

h6(c8(y(6)(x+h)+

y(6)(x-h))+c9y(6)(x))

(1)

比較兩種方法，使用連續(xù)階微商的新方法的截斷誤差及其系數(shù)都要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于經(jīng)典方法。所以，可以認(rèn)為新的Obrechkoff兩步方法具有很高的精度。

另外，新方法的穩(wěn)定性也優(yōu)于經(jīng)典方法，并且是利用三角擬合方法得到的P穩(wěn)定的Obrechkoff兩步方法[9]。

2 實例求解

本文將用兩種一維Schr?dinger方程作為例子來檢驗新的Obrechkoff兩步方法的精度和效率。第一個實例是求解Woods-Saxon勢的束縛態(tài)和共振態(tài)的能量本征值；第二個實例是求解P?schl-Teller勢的束縛態(tài)能量。

計算機標(biāo)準(zhǔn)為16位精度，因此計算程序選用Mathematica高精度進行編制。

2.1 Woods-Saxon勢

Woods-Saxon勢是原子核中核子(包括原子和中子)的中心勢場，在原子結(jié)構(gòu)的研究中占有重要地位。這個勢用來近似地描述原子核模型中每一個核子的勢能函數(shù)，因此，表示每個距離核中心為x的點的核子勢能可表示如下

v(x)=c0z[1-a(1-z)]

在這里，我們進行兩種方法的比較。束縛態(tài)和共振態(tài)的初值(ψ(0)，ψ′(0))為(0，h)，那么(ψ(h)，ψ′(h))用單步Obrechkoff方法計算[11]，依次迭代得到束縛態(tài)波函數(shù)ψ(xmax)和共振態(tài)δ(Es)。ψ(xmax)是關(guān)于束縛態(tài)本征值Es的函數(shù)，共振態(tài)波函數(shù)利用δ(Es)表達(dá)如下

通過編程計算，我們得到的束縛態(tài)本征值的數(shù)值結(jié)果，用圖形表示，如圖1和圖2所示。

圖1 兩種方法計算束縛態(tài)本征值的CPU時間比較

圖2 兩種方法在步長取1/10和1/15的ΔE比較

從圖2可以看出，當(dāng)步長較大時，計算機計算比較復(fù)雜，所用的CPU時間就少。其中ΔE=Es-Esi，Esi的選取參考文獻(xiàn)[9]。新方法和經(jīng)典方法的主結(jié)構(gòu)的最高階微商都是6階，而初值的單步Obrechkoff方法分別選取了6階和9階，可見，在選取相同步長和相同初值的情況下，新方法的精度明顯高于經(jīng)典方法。再者，從圖1中可以看出，相同步長時新方法和經(jīng)典方法的時間基本相同。這樣，我們可以判斷出，如果用兩種方法求解同一方程，取相同的步長，要想達(dá)到同樣精度的結(jié)果，新方法計算的CPU時間明顯少于經(jīng)典方法。因此，可以說新方法比經(jīng)典方法效率高。從這點可以看出，新方法比經(jīng)典方法更加有效。

共振態(tài)本征值的數(shù)值結(jié)果如圖3和圖4所示，其中，ΔE=Es-Esi。同理，新方法的主結(jié)構(gòu)和初值的方法都與求束縛態(tài)的方法相同，同樣步長情況下，新方法的精度明顯高于經(jīng)典方法?？梢缘贸觯谇蠼夤舱駪B(tài)時間效率和精度方面，新方法仍然優(yōu)于經(jīng)典方法。

圖3 兩種方法計算共振態(tài)的CPU時間比較

圖4 兩種方法在步長取1/10和1/30時ΔE的比較

2.2P?schl-Teller勢

P?schl-Teller勢是用來描述非線性光學(xué)性能的勢函數(shù)。其函數(shù)形式如下

P?schl-Teller勢也是一個勢阱，類似于諧振子。我們的任務(wù)同樣是找到它的束縛態(tài)的能量本征值，而且通過解析解可以看出它的波函數(shù)圖形也與一維諧振子類似。一維P?schl-Teller勢的Schr?dinger方程為

那么，我們計算上式的20個能量本征值，其解析解為

圖5 兩種方法在步長分別取1/10和1/20時ΔE的比較

圖6 兩種方法在步長分別取1/15和1/30時ΔE的比較

3 結(jié)束語

利用P穩(wěn)定兩步Obrechkoff方法求解Woods-Saxon勢和P?schl-Teller勢能量本征值，驗證了其是一種高效率、高精度且穩(wěn)定性比較好的數(shù)值方法。對于求解一維Schr?dinger方程的本征值問題，該方法具有很大的優(yōu)越性。

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Method for the Woods-Saxon Potential and P?schl-Teller Potential

HAO Hailing1，YAN Jingfu2

(1.Department of Foundation , Jinzhong Vocational Technical College, Jinzhong 030600, China;2. School of Information,China University of Petroleum - Beijing, Beijing 102249, China)

In this paper, we focus on the new kind of P-stable two-step Obrechkoff method for the ultra-high-accurate solution of a one-dimensional Schr?dinger equation.Through improving the Wang’s method, we develop a new kind of P-stable two-step Obrechkoff method by adding the odd higher-order derivatives. This proposed method is very effective but has very high local truncation error. We apply our new method to the one-dimensional Schr?dinger equation such as the well-know Woods-Saxon potential and P?schl-Teller potential. Their numerical solution testified that the new method is very reliability.

P-stable；Obrechkoff method；Woods-Saxon potential；P?schl-Teller potential

2014-09-19；修改日期: 2014-11-06

郝海玲(1979- )，女，碩士，講師，研究方向：物理問題的數(shù)值解法。

O411

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2015.04.006