陳 松 良

(貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550018)

Sylowq-子群循環(huán)的p3qn階群的分類

陳 松 良

(貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550018)

設(shè)p，q是兩個(gè)奇素?cái)?shù)，且p>q，n是正整數(shù)，G是Sylowq-子群循環(huán)的p3qn階群，對(duì)G進(jìn)行了同構(gòu)分類，并確定了Sylowq-子群循環(huán)的p3qn階群的全部構(gòu)造.

有限群；同構(gòu)分類；群的構(gòu)造

設(shè)p，q是不同的素?cái)?shù)，文獻(xiàn)[1]對(duì)p3q階群進(jìn)行了分類，文獻(xiàn)[2]研究了23p階群(p是奇素?cái)?shù))，得到了其全部構(gòu)造.對(duì)于任意正整數(shù)n，p3qn階群的構(gòu)造是非常復(fù)雜的，但當(dāng)p>q時(shí)，文獻(xiàn)[3]確定了Sylowp-子群循環(huán)的pnq3階群的全部構(gòu)造，這是對(duì)文獻(xiàn)[1]的一種推廣.本文將繼續(xù)推進(jìn)這一工作，確定Sylowq-子群循環(huán)的p3qn階群的全部構(gòu)造.

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)G是Sylowq-子群循環(huán)的p3qn階群，那么：

(6) 當(dāng)qm‖(p+1)，且m≥1時(shí)，G恰有5+2l個(gè)不同構(gòu)的類型.

2 定理證明

設(shè)G是Sylowq-子群循環(huán)的p3qn階群，P是G的一個(gè)Sylowp-子群，Q是G的一個(gè)Sylowq-子群，則可設(shè)Q的構(gòu)造是Q=〈x〉，其中|x|=qn.而由文獻(xiàn)[2]之定理7.1，P必為下列5種類型之一：

(ⅰ)P1=〈a|ap3=1〉；

(ⅲ)P2=〈a，b|ap2=bp=1=[a，b]〉；

(ⅳ)P3=〈a，b，c|ap=bp=cp=1=[a，b]=[a，c]=[b，c]〉；

(ⅳ)P4=〈a，b|ap2=1=bp，ab=ap+1〉；

(ⅴ)P5=〈a，b，c|ap=bp=cp=1=[a，c]=[b，c]，[a，b]=c〉.

由于p>q，所以由文獻(xiàn)[4]之定理Ⅳ.2.8得，P?G，從而G=PQ.因此，我們作如下討論.

2.1 P?P1時(shí)G的構(gòu)造

Gk=〈a，x|ap3=1=xqn，ax=ark〉.

(1)

引理1 如果G是Sylow子群皆循環(huán)的p3qn階群，那么當(dāng)qm‖(p-1)時(shí)，G恰有1+l個(gè)互不同構(gòu)的形如(1)式的構(gòu)造.

2.2 P?P2時(shí)G的構(gòu)造

由于P的Frattini子群Φ(P)=〈ap〉是p階群，而Φ(P)charP，P?G，于是Φ(P)?G.又〈ap，b〉是P唯一的p2階初等交換子群，從而它是P的特征子群，于是它又必是G的正規(guī)子群.故G是超可解群.

由于〈ap〉及〈ap，b〉均為G的正規(guī)子群，從而都是Q-不變的.由文獻(xiàn)[8]之定理8.4.6知，〈ap〉在〈ap，b〉中有Q-不變的補(bǔ)子群，不失一般性，可設(shè)〈b〉是Q-不變的.于是〈ap，b〉/〈ap〉是Q-不變的p2階初等交換p-群〈a，b〉/〈ap〉的Q-不變子群，因此再由文獻(xiàn)[8]之定理8.4.6知，〈ap，b〉/〈ap〉在〈a，b〉/〈ap〉中有Q-不變的p階補(bǔ)子群〈aibj〉/〈ap〉，其中，0

(1)當(dāng)k≥u的情形

(2)

(2)當(dāng)k

(3)

2.3 P?P3時(shí)G的構(gòu)造

P的自同構(gòu)群Aut(P)的階是(p3-1)(p3-p)(p3-p2).當(dāng)q不整除(p3-1)(p+1)時(shí)，Q在P上的作用只能是平凡的，從而G是交換群，其構(gòu)造

G=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

[a，b]=[a，c]=[a，x]=[b，c]=[b，x]=[c，x]〉.

(4)

當(dāng)q整除(p3-1)(p+1)時(shí)，G也可以是非交換群.由文獻(xiàn)[8]之定理8.4.2，P=CP(Q)×[P，Q].

(1) 如果CP(Q)是p2階群，則不妨設(shè)CP(Q)=〈b，c〉，[P，Q]=〈a〉，這時(shí)應(yīng)有q整除(p-1)，從而類似于2.1，G有構(gòu)造

Gk=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

[a，b]=[a，c]=[b，c]=[b，x]=[c，x]，ax=atk〉.

(5)

其中1≤k≤l，qm‖(p-1)，m≥1.易見構(gòu)造(5)共表示l個(gè)互不同構(gòu)的p3qn階群.

(2) 如果CP(Q)是p階群，則不妨設(shè)CP(Q)=〈c〉，[P，Q]=〈a，b〉，于是Q無不動(dòng)點(diǎn)的作用在〈a，b〉上.

(a) 首先，假定Q〈a，b〉是超可解群，于是不妨假設(shè)〈a〉，〈b〉都是Q-不變的，從而必有q整除(p-1)，且CQ(a)與CQ(b)都不是Q.

(ⅰ) 當(dāng)CQ(a)=CQ(b)時(shí)，G可有構(gòu)造

Gk(i)=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

(6)

(ⅱ) 當(dāng)CQ(a)≠CQ(b)時(shí)，應(yīng)有qm‖(p-1)，m≥2，不妨假設(shè)CQ(a)

Gk(i)=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

(7)

(b) 其次，假定Q〈a，b〉不是超可解群，那么Q在〈a，b〉上的作用是不可約的.又〈a，b〉是p-元域p上的2維線性空間，x是它的1個(gè)可逆線性變換，于是x的特征多項(xiàng)式(記為f(λ))是p上的2次不可約多項(xiàng)式，但x是q-元，所以存在正整數(shù)k，使得f(λ)整除λqk-1.另一方面，p上的全體2次不可約多項(xiàng)式的積是(λp2-1-1)/(λp-1-1)，因此q整除(p+1).設(shè)x的矩陣是M，則|M|qk≡1(modp).又顯然(q，p-1)=1，且|M|p-1≡1(modp)，所以|M|≡1(modp).當(dāng)qm‖(p+1)，m≥1，x是〈a，b〉的qk階線性變換時(shí)，1≤k≤l，可設(shè)f(λ)=λ2-βkλ+1，它是(λqk-1)/(λqk-1-1)的2次不可約因式，于是G有構(gòu)造

Gk=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

[a，b]=[a，c]=[b，c]=[c，x]，ax=b，bx=a-1bβk〉.

(8)

其中1≤k≤l，而qm‖(p+1)，m≥1，βk∈p，使得λ2-βkλ+1是p元域p上多項(xiàng)式(λqk-1)/(λqk-1-1)的一個(gè)2次不可約因式.易見構(gòu)造(8)共代表l個(gè)互不同構(gòu)的p3qn階群.

(3) 如果CP(Q)=1，且G是超可解群，則不妨設(shè)G有正規(guī)群列G?〈a，b，c〉?〈b，c〉?〈c〉.顯然有q整除(p-1)，由Maschke定理[8]知Q在P上的作用是完全可約的，所以不妨假定〈a〉與〈b〉都是Q-不變的.設(shè)qm‖(p-1)，則m≥1.

(ⅰ) 當(dāng)ax，bx，cx的指數(shù)至少有兩個(gè)相同時(shí)，不妨設(shè)ax，bx的指數(shù)相同，則G有構(gòu)造

Gk(i)=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

(9)

其中1≤k≤l，0

(ⅱ) 當(dāng)ax，bx，cx的指數(shù)兩兩不等時(shí)(這時(shí)，若q=3，則k>1)，則G有構(gòu)造

Gk(i，j)=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

(10)

其中1≤k≤l，11.因此，集合{i，j}={u，ju}={v，iv}時(shí)，必有j3≡1(modqk)，i≡j2(modqk)，且q≡1(mod 3)，或q=3但k>1，同時(shí)λ3-1=(λ-1)(λ-i)(λ-j)(modqk).否則集合{i，j}，{u，ju}，{v，iv}是三個(gè)不同的集合.反之，若q≡1(mod 3)，或q=3但k>1.則存在唯一的j∈，使得λ3-1=(λ-1)(λ-i)(λ-j)(modqk).從而{i，j}，{u，ju}，{v，iv}是同一個(gè)集合當(dāng)且僅當(dāng)j3≡1(modqk)，i≡j2(modqk)，而j∈{1}.綜上所述，對(duì)每個(gè)k，當(dāng)q≡1(mod 3)或q=3但k>1時(shí)，構(gòu)造(10)代表個(gè)互不同構(gòu)的p3qn階群；當(dāng)q≡-1(mod 3)時(shí)，構(gòu)造(10)代表個(gè)互不同構(gòu)的p3qn階群.因此，若qm‖(p-1)，且m≥1，則：

(b) 如果CQ(a)，CQ(b)，CQ(c)中恰有兩個(gè)相同(這時(shí)必有m≥2)，不妨設(shè)CQ(a)=CQ(b).

(ⅰ) 當(dāng)CQ(a)=CQ(b)

Gk(i，j)=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

(11)

(ⅱ) 當(dāng)CQ(a)=CQ(b)>CQ(c)時(shí)，設(shè)CQ(c)=〈xqk〉，則G有構(gòu)造

Gk(i，j)=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

(12)

(c) 如果CQ(a)，CQ(b)，CQ(c)兩兩不同(這時(shí)必有m≥3)，則不妨設(shè)CQ(a)=〈xqu〉，CQ(b)=〈xqv〉，CQ(c)=〈xqw〉，其中1≤w

Guvw(i，j)=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=

(13)

個(gè)互不同構(gòu)的p3qn階群.

(4) 如果CP(Q)=1，且G不是超可解群，則Q在P上的作用是不可約的.又x可以看成p元域p上的3階矩陣，而x沒有非平凡不變子空間，于是x的特征多項(xiàng)式f(λ)是p元域p上的3次不可約多項(xiàng)式.又存在正整數(shù)m，使得CQ(P)=〈xqm〉，1≤m≤n，此時(shí)易知〈xqm〉?G，而且G/〈xqm〉是補(bǔ)為Q/〈xqm〉而核為P的p3qm階Frobenius群，于是(qm，p3-1)=qm，即p3≡1(modqm).顯然λqm-1是x的矩陣M的零化多項(xiàng)式，所以f(λ)是λqm-1的因式.眾所周知，λp3-λ是p上的所有一次不可約多項(xiàng)式和三次不可約多項(xiàng)式的積，于是f(λ)也是λp3-1-1的因式.

Gk=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=[a，b]=[a，c]=[b，c]，ax=b，bx=c，cx=abβkcγk〉.

(14)

其中1≤k≤l，q≡1(mod 3)，q|(p-1)，而qm‖(p2+p+1)，m≥1，βk，γk∈p.使得λ3-γkλ2-βkλ-1是p上多項(xiàng)式(λqk-1)/(λqk-1-1)的一個(gè)3次不可約因式.

(b) 如果q|(p-1)，則因f(λ)是λqm-1的3次不可約因式，所以也有q|(p2+p+1)，從而q|(p2+p+1，p-1)=(p2+2p，p-1)=(p+2，p-1)=(3，p-1)，因此q=3.由此不難證明3‖(p2+p+1)，于是3m-1‖(p-1)，λ3m-1-1是3m-1個(gè)不同的一次因式的積.再由CQ(P)=〈xqm〉知，必有m≥2，且x在P上的作用是P的3m階自同構(gòu)，因而f(λ)是p上多項(xiàng)式的一個(gè)3次不可約因式.由于σ是p的一個(gè)原根，令，則λ3-ζ是p上的一個(gè)3次不可約因式.不難驗(yàn)證λ3-ζ的友矩陣是GL(3，p)中的3m階元，所以λ3-ζ是的一個(gè)3次不可約因式，由此可得G的構(gòu)造

G=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=x3n=1=[a，b]=[a，c]=[b，c]，ax=b，bx=c，cx=a-ζ〉.

(15)

綜上所述，注意到m=1時(shí)，(7)，(10)，(12)式都表示0個(gè)G的構(gòu)造，而m=1，2時(shí)，(13)式也表示0個(gè)G的構(gòu)造，因此我們有下面的引理.

引理3 如果G是Sylowq-子群循環(huán)而Sylowp-子群為初等交換群的p3qn階群，那么：

(6) 當(dāng)qm‖(p+1)，且m≥1時(shí)，G恰有1+l個(gè)不同構(gòu)的類型.

2.4 P?P4時(shí)G的構(gòu)造

不難證明Φ(P)=Z(P)=〈ap〉，而〈ap，b〉是P的唯一的p2階初等交換子群，從而它們都是G的正規(guī)子群，于是G必是超可解群.既然〈ap〉及〈ap，b〉都是Q-不變的，且〈ap，b〉是p2階初等交換p-群，因此〈ap〉在〈ap，b〉中有Q-不變的補(bǔ)子群，不失一般性，可設(shè)〈b〉是Q-不變的.于是〈ap，b〉/〈ap〉是Q-不變的p2階初等交換p-群〈a，b〉/〈ap〉的p階Q-不變子群，因此必有某個(gè)〈aibj〉/〈ap〉(這里(i，p)=1)是Q-不變的.但aibj與a在Q中的地位是相同的，從而不妨設(shè)〈a〉是Q-不變的，于是Q/CQ(a)同構(gòu)于Aut(〈a〉)的一個(gè)子群.當(dāng)qm‖(p-1)時(shí)，設(shè)CQ(a)=〈xqk〉，0≤k≤l，于是不妨設(shè)ax=ask.另一方面，因〈b〉是Q-不變的，可設(shè)bx=btu，0≤u≤l.但[a，b]=ap，于是[ax，bx]=apx=apsk，即apsktu=apsk，所以tu≡1(modp)，bx=b.因此得到G的構(gòu)造

Gk=〈a，b，x|ap2=bp=xqn=1=[b，x]，ab=a1+p，ax=ask〉.

(16)

其中0≤k≤l，qm‖(p-1).由此有下面的結(jié)論.

引理4 如果G是Sylowq-子群循環(huán)，而Sylowp-子群為(p2，p)型非交換群的p3qn階群，那么當(dāng)qm‖(p-1)時(shí)，G恰有1+l個(gè)互不同構(gòu)的類型，其構(gòu)造形如(16)式.

2.5 P?P5時(shí)G的構(gòu)造

這時(shí)Φ(P)=Z(P)=〈c〉，于是〈c〉?G，從而P/〈c〉是Q-不變的p2階初等交換p-群.如果G是超可解的，則G/〈c〉也是超可解的，不妨設(shè)〈b，c〉/〈c〉與〈a，c〉/〈c〉是Q-不變的.現(xiàn)在〈b，c〉是Q-不變的初等交換p-群，且〈c〉是Q-不變的，于是〈c〉在〈b，c〉中有Q-不變的補(bǔ)子群，設(shè)是〈b〉.同理，可設(shè)〈a〉也是Q-不變的.由a，b的對(duì)稱性，不妨設(shè)CQ(a)≤CQ(b).所以當(dāng)qm‖(p-1)時(shí)，可得到G的構(gòu)造

Gk(i)=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=[a，c]=[b，c]，

(17)

如果G不是超可解的，則G/〈c〉是非超可解的.類似于構(gòu)造(8)的討論，可知q整除p+1，從而Q〈c〉是交換群，G有構(gòu)造

Gk=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=[a，c]=[b，c]=[c，x]，ab=ac，ax=b，bx=a-1bβk〉.

(18)

其中1≤k≤l，qm‖(p+1)，m≥1，βk∈p，使得λ2-βkλ+1是p元域p上多項(xiàng)式(λqk-1)/(λqk-1-1)的一個(gè)2次不可約因式.易見構(gòu)造(18)共代表l個(gè)互不同構(gòu)的p3qn階群.綜上所述，我們有下面的結(jié)論.

由引理1—5可知定理1成立.

[1] WESTERN.Groups of orderp3q[J].Proc L M S，1899，30：209-263.

[2] 張遠(yuǎn)達(dá).有限群構(gòu)造[M].北京：科學(xué)出版社，1982：687-713，467.

[3] 陳松良.論Sylowp-子群循環(huán)的pnq3階群的構(gòu)造[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，45(2)：35-38.

[4] HUPPERT B.Endliche gruppenI[M].Berlin： Springer-Verlag，1967：329-362.

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[6] NATHANSON M B.Elementary methods in number theory[M].Beijing： World Publishing Corporation，2003：93.

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[8] KURZWEIL H，STELLMACHER B. The theory of finite groups[M].New York：Springer-Verlag，2004：183-201.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

On the classification of the groups of orderp3qnwith cylic Sylowq-subgroups

CHEN Song-liang

(School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal College，Guiyang 550018，China)

Letp，qbe odd primes such thatp>q，andGbe finite groups of orderp3qnwith cyclic Sylowq-subgroups.In this paper，it is discussed that the isomorphic classification ofG，and their structures are completely described.

finite group；isomorphic classification；structure of group

1000-1832(2015)04-0011-07

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.003

2014-01-26

貴州省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(黔科合J字[2012]2289號(hào)，[2013]2234號(hào)).

陳松良(1964—)，男，博士，教授，主要從事有限群論及應(yīng)用研究.

O 152.1 [學(xué)科代碼] 110·2115

A